結合一道高考題談學生建構思維能力的培養

1 建構思維能力的內涵

建構思維能力涵蓋了以下主要能力（圖1）：①問題分析與理解能力.這包括識別問題的關鍵因素、目標和約束條件，以及理解問題在實際背景下的意義和影響.②抽象與建模能力.這種能力使他們能夠用數學語言和符號系統化地表達問題，形成清晰的結構化思維.③創新與解決方案生成能力.學生能夠靈活運用已有的知識和技能，提出新穎和創造性的解決方案.④邏輯推理與論證能力.學生能夠有效地分析問題、評估選項，并能夠清晰地展示他們的思維過程和決策依據.

2 高考試題建構思維能力的分析

2024年全國甲卷（理科）第22題作為高考壓軸題，通常設計為多層次、綜合性的問題，涵蓋了從理解和分析問題，到抽象與建模，再到創新解題和邏輯推理的完整過程，分析試題可以為針對性解題策略的提出提供前提.

2.1 真題呈現

〔2024年全國甲卷（理科）第22題〕在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=ρcos θ+1．

（1）寫出C的直角坐標方程；

（2）設直線l：x=t，y=t+a（t為參數），若C與l相交于A，B兩點，若|AB|=2，求a的值．

2.3 試題分析

（1）問題分析與理解能力分析

首先，這道題要求學生從極坐標方程入手，轉化為直角坐標方程，學生需要從整體上把握題意，明確曲線與直線的交點關系并理解曲線形狀的幾何含義.學生必須要有良好的問題理解能力，才能準確判斷如何從極坐標方程推導出直角坐標方程，并進一步分析與直線相交的問題.這一步驟強調了對問題進行結構化分析的能力，能夠在復雜問題中識別出關鍵部分，并對其進行有效處理.

（2）抽象與建模能力分析

在此題中，學生不僅要認識到極坐標方程的幾何意義，還要能夠抽象出與之對應的直角坐標方程，并進一步理解該方程代表的幾何圖形.這一過程要求學生能夠從具體的數學表達式中抽象出背后的幾何結構，并在直角坐標系中重新構建曲線的幾何模型.此外，當問題進一步要求分析直線與曲線的交點關系時，學生還需將這兩個幾何對象相結合，通過參數方程分析二者的交點位置.這一過程展示了學生在面對多種數學描述方式時，抽象和建模的能力.

（3）創新與解決方案生成能力分析

題目要求學生在理解和抽象建模的基礎上，進一步求解直線與曲線的交點，并利用這些交點信息求解相關參數，學生在解決問題的過程中，需要靈活運用已有的數學知識，形成一個完整的解決方案，體現出他們在面對復雜問題時的創新思維能力.

（4）邏輯推理與論證能力分析

這道題目中，學生在求解交點及相關參數的過程中，需要仔細分析不同條件下的曲線與直線關系，并通過演繹推理找出符合題意的解.學生在這個過程中需要運用縝密的邏輯思維，確保每一步推導和論證都合乎邏輯，以此形成一個嚴密的解題過程.

3 對學生建構思維能力的培養的思考

3.1 發展問題分析與理解能力，是培育建構思維能力的基礎

問題分析與理解能力是建構思維的基礎，涉及識別和理解問題的能力.它為后續的抽象建模、創新解決方案生成提供了必要的基礎.因而，可以從以下兩個方面著手：

第一，強調問題分析與解構.引導學生學會深入分析數學問題，理解問題的本質和要求.這包括培養他們對問題進行解構的能力，從大問題中分解出具體的數學概念和方法.例如，通過示例問題或案例分析，教導學生如何識別問題中的關鍵信息和條件，以及如何將問題分解成更小的可解決部分.

第二，促進多元化的解題思路.鼓勵學生采用多種不同的方法和策略解決數學問題.這不僅包括傳統的數學技巧，還應包括使用圖表、模型、抽象思維等方法.通過展示不同方法的優缺點，并鼓勵學生在實際問題中嘗試不同的方法，可以幫助他們培養靈活的數學思維能力.

3.2 培養抽象與建模能力，是培育建構思維能力的抓手

在建構思維過程中，抽象與建模能力能夠幫助個體將復雜的問題簡化.教師可以通過抽象化和模型建立的過程，引導學生逐步從具體問題中抽象出數學模型.這包括幫助他們識別問題中的模式和規律，并將其轉化為數學符號和表達.通過示例問題或實際案例，教導學生如何將現實情境轉化為數學模型，并探討不同模型在解決問題時的適用性和局限性.此外，通過提供豐富的實際問題和情境，鼓勵學生利用數學知識和技能進行建模和分析.這可以通過案例研究、課堂小組討論或項目作業來實現.學生在實踐中學會選擇合適的數學工具和技術，以及如何調整和優化模型以解決復雜問題.此外，鼓勵學生將數學建模與其他學科和現實生活中的問題相結合.例如，結合科學、經濟學或工程學領域的問題，讓學生體驗數學在解決跨學科問題中的應用.

3.3 培養創新與解決方案生成能力，是培育建構思維能力的落點

建構思維強調創新和尋找新穎解決方案的能力.這需要個體具備跳出常規思維模式、探索不同選項并將它們整合為有效解決方案的能力.具體教學措施有：

第一，鼓勵探索和創新.提供創造性的數學問題和挑戰有助于將學生的建構思維能力顯化，增強學習的積極性.因此，教師需要鼓勵學生嘗試新的解決方法和思路，通過開放式的問題設計或者實驗性的學習活動來實現，激發學生的好奇心和探索欲望，培養他們解決新問題和應對未知情境的能力.

第二，實踐性的項目和應用.提供具體的數學應用項目或者情境，讓學生能夠在實踐中應用他們學到的數學知識和技能，這是培育學生建構思維能力的有效方式.例如，組織數學建模比賽、工程設計挑戰或者社區服務項目，讓學生在解決實際問題的過程中，培養創新思維和團隊合作能力.

3.4 培養邏輯推理與論證能力，是培育建構思維能力的保證

邏輯推理與論證能力涉及對解決方案進行邏輯推理和論證其有效性的能力，這是培育建構思維能力的重要保證.在建構思維中，邏輯推理和論證能力確保所提出的解決方案不僅是創新的，還是經過深思熟慮和合理推斷的.因此，可以采取的策略包括：引導學生掌握邏輯推理的基本原則和方法.通過講授邏輯論證的基本結構、常見的邏輯錯誤以及正確的推理步驟，教師幫助學生建立起嚴密的思維框架，進而建立起建構思維能力；教導學生如何分析和評估數學論證的有效性和邏輯一致性，這是建立和應用學生建構思維能力的重要方式.這包括讓學生能夠識別和糾正常見的邏輯錯誤，以及通過比較不同解決方法的優缺點來提升他們的批判性思維能力.通過與同學的討論和合作，學生能夠在解決問題的過程中共同發展邏輯推理的能力，進而提高建構思維能力.