一道雙變元代數(shù)式試題的探究

涉及“雙變元”或“雙參”的綜合應(yīng)用問題，是基于雙變元所對應(yīng)的函數(shù)、方程或不等式等的應(yīng)用，是近年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個基礎(chǔ)知識點與基本考點.此類綜合應(yīng)用問題，借助函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面的綜合與應(yīng)用，結(jié)合雙變元之間的變換與設(shè)置，成為全面考查“四基”與“四能”等比較重要的一種方向，備受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題 （2024年山東省齊魯名校高三年級下學(xué)期考前質(zhì)量檢測·14）已知兩個不同的正數(shù)a，b滿足（1+a）3a=（1+b）3b，則ab的取值范圍是______.

此題以“雙變元”所滿足結(jié)構(gòu)相同的代數(shù)式相等為問題場景，以方程形式來限制雙變元之間的關(guān)系，進(jìn)而確定雙變元乘積的取值范圍.題目場景相對比較簡單，以高次方程來創(chuàng)設(shè)，融入“雙變元”設(shè)置，進(jìn)而確定代數(shù)式的最值（或取值范圍）.

題目簡單明了，對于代數(shù)式的最值或取值范圍問題，最常見的數(shù)學(xué)思維方式就是不等式思維或函數(shù)思維，從這兩個不同的數(shù)學(xué)思維切入，結(jié)合代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的關(guān)系與應(yīng)用，實現(xiàn)代數(shù)式的最值或取值范圍的求解與確定，達(dá)到突破的目的.

4 教學(xué)啟示

破解此類涉及“雙變元”或“雙參”的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是借助問題場景的設(shè)置與應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)、方程或不等式等基礎(chǔ)知識，通過知識的轉(zhuǎn)化與變形，借助函數(shù)思維、方程思維、不等式思維等，采取切之可行的方式來處理，特別是消元處理、主次元處理、整體化處理等，還可以借助函數(shù)或方程等的構(gòu)造與應(yīng)用來分析，這些都是破解此類綜合問題的常見技巧方法與解題思路.

而涉及“雙變元”或“雙參”的函數(shù)、方程以及不等式等綜合應(yīng)用問題，以形式多樣、變化多端等特點，一直是命題中的重點與難點之一.處理此類問題時，要正確挖掘問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，聯(lián)系起對應(yīng)的函數(shù)、方程或不等式等基礎(chǔ)知識與基本思想.這對于全面考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與基本能力等方面都是非常有益處的；同時也能夠全面養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).