2024年新高考卷立體幾何解答題的分析及對作業命制的啟示

2 試題特征分析

2.1 相同點分析

（1）空間關系的綜合考查

新課標Ⅰ卷中的四棱錐P-ABCD涉及到點、線、面之間的垂直與平行關系，考生需要靈活運用平行和垂直的定義與性質對空間圖形的三維位置關系進行合理推導.新高考Ⅱ卷的題目則通過對平面四邊形ABCD的分析，引入了折疊變換，將二維問題轉化為三維問題，通過對△AEF的折疊，問題的解答涉及到了空間中不同平面元素間的關系，如EF與PD之間的垂直關系，這同樣考查了考生對空間圖形關系的理解與掌握.

（2）二面角的考查

二面角是立體幾何的重要內容，兩道真題都涉及到了這一考點.新課標Ⅰ卷要求考生根據二面角A-CP-D的正弦值求AD，這是對空間幾何中的一個經典問題的考查.類似地，新高考Ⅱ卷也涉及到二面角的考查，題目要求求解面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.盡管題目背景有所不同，但兩道題目均考查了考生對二面角的理解以及計算能力.這種考查方式不僅要求考生掌握二面角的定義與性質，還要求他們能夠靈活運用三維空間中的幾何關系進行推導與計算.

（3）向量法與幾何推理的結合

兩道題目都隱含了向量法與幾何推理的結合應用.雖然題目本身可能并未明確要求使用向量法，但在解答過程中，考生可以選擇通過向量的方式來簡化計算與推理.在新課標Ⅰ卷中，考生可以借助向量分析來證明AD∥平面PBC，或者計算二面角的正弦值.而在新高考Ⅱ卷中，考生同樣可以利用向量法分析EF與PD的垂直關系，或者推導出二面角的正弦值.

2.2 不同點分析

（1）空間圖形的復雜性與多樣性

新課標Ⅰ卷的立體幾何題目主要圍繞四棱錐展開，這是一個典型的立體幾何模型，涉及到空間中點、線、面之間的關系.而新高考Ⅱ卷的題目則從平面圖形出發，通過折疊操作將問題延展到三維空間，這種設計使得題目在考查立體幾何知識的同時，兼顧了平面幾何的基本內容，考生不僅要掌握基本的空間幾何知識，還需要在圖形變化的過程中保持清晰的空間想象力.

（2）變換與動態幾何的引入

新高考Ⅱ卷的題目通過折疊操作將原本的平面幾何問題轉化為立體幾何問題，這引入了動態幾何的概念，這種動態幾何的考查要求考生具備較強的空間想象能力，能夠預見圖形變換后的結果，并準確判斷新的幾何關系.相比之下，新課標Ⅰ卷的題目在解題過程中并未涉及動態幾何的內容，主要考查的是靜態的空間關系.

（3）綜合應用與創新思維的不同

通過將平面幾何問題延伸到立體幾何，并引入折疊變換的元素，新高考Ⅱ卷的題目在考查考生幾何能力的同時，也強調了他們在新情境下的應變能力與創新思維.這種創新性考查不僅要求考生具備扎實的幾何基礎，還要求他們能夠靈活運用所學知識，在復雜多變的題目情境中作出準確的推理與判斷.而新課標Ⅰ卷則更注重對傳統幾何知識的考查，要求考生在固定的空間圖形中進行較為直接的推導與證明.

3 關于作業命制的啟示

3.1 結合立體幾何與平面幾何，加強空間思維訓練

在立體幾何解答題的作業設計中，應充分結合平面幾何與立體幾何的內容，通過多角度、多層次的作業設計，促進學生的空間思維能力的發展.像新高考Ⅱ卷的題目設計不僅考查了學生對空間關系的理解，還強化了他們在立體幾何中的思維轉換能力.因此，作業命制時應設計一些能夠從平面幾何延伸到立體幾何的問題，讓學生在不同的幾何維度之間進行思維遷移.此類作業可以包括通過折疊、旋轉等幾何變換，將平面幾何問題轉換為立體幾何問題的題目，幫助學生自如地運用平面幾何的知識進行推導與驗證，從而提高空間想象力和幾何思維能力.

3.2 強化二面角與幾何關系的綜合應用

高中數學作業的命制應注重二面角與多種幾何元素的綜合應用，幫助學生掌握空間幾何中的核心概念和復雜關系.本文中的兩道題目均涉及二面角的求解，分別在四棱錐與折疊后立體幾何體中展現了二面角的計算過程.作業命制時，教師應設計一些涉及二面角的題目，不僅要考查學生對二面角定義及計算的掌握，還要結合垂直、平行等幾何關系，要求學生在解答過程中綜合運用立體幾何、三角函數以及向量等知識進行推理.這類題目應當注重場景的多樣性，如不同幾何體間的二面角計算、結合向量法進行幾何關系的推導等，提高應對復雜幾何背景的能力，從而提升學生的綜合解題能力和應用能力.

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