巧方法應用，妙類比拓展：一道橢圓題的應用

圓錐曲線間由于其特殊的關系，往往在一些相關問題上具有一定的類比性與拓展性.借助其中某一圓錐曲線的相關性質、結論，進行深入分析、探究拓展，往往可以得到有效的類比與拓展，給深度學習與創新應用創造條件.

1 問題呈現

（2024年河南省信陽高級中學高考數學三模試卷）設F是橢圓C：x29+y25=1的左焦點，x軸上方的點P在橢圓C上.若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是（ ）.

A.15

B.3

C.23

D.2

本題主要結合橢圓圖形，巧妙把圓錐曲線、平面幾何、直線的方程與斜率、軌跡問題以及線段的距離問題等加以有機交匯與融合，利用題目條件與圖形特點，根據三角形中位線定理來轉化，或借助橢圓的定義法來處理，或借助點P的軌跡通過坐標法來處理，或借助焦半徑公式通過坐標法來處理，都可以達到解決問題的目的.

本題結合橢圓的相關性質來確定相應直線的斜率，難度中等，通過深層次的分析與拓展，有效地進行類比與提升.此題綜合考查化歸與轉化思想及運算求解能力，是一道很好的圓錐曲線綜合問題.本文中在此題的基礎上，從一般性橢圓問題角度類比到雙曲線問題加以進一步的探究與拓展.

2 追根溯源

上述試題改編自以下對應的高考真題：

高考真題 （2019年浙江卷·15）已知橢圓x29+y25=1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是______.（15）

5 規律總結

其實，對于圓錐曲線中的一些相關問題，不同圓錐曲線之間往往有一定的可類比的相關性質或結論，只要認真分析，深入挖掘，就可很好地得以拓展，有所收獲，真正有效培養學生的轉向機智以及思維的應變能力，提升發散思維的變通性與拓展性，提高數學關鍵能力，培養數學核心素養.