2024年高考數學全國甲卷理第12題的多視角解法及拓展

摘要：涉及直線與圓的位置關系的綜合應用問題，一直是高考中比較常見的基本考點之一.結合一道高考數學真題，借助問題的創新設置，從不等式思維與直線系思維等不同視角切入與應用，多思維層面切入，多技巧視角應用，探究破解問題的思路與變式拓展，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：直線；圓；位置關系；方程；勾股定理

直線與圓的應用問題，是基于初中平面幾何知識的應用與拓展，在邏輯推理的基礎上，借助代數運算來處理平面解析幾何中的一類基本應用問題，成為初、高中階段知識之間的一個重要紐帶.解決此類問題，將平面幾何中兩類基本平面圖形放置于平面直角坐標系中，有“形”有“數”，有效聯系起對應的基礎知識與基本思想方法，很好地鏈接數學核心素養，是每年高考數學命題中的一個基本考點.

而借助直線與圓的位置關系，回歸初中平面幾何“形”的幾何特征，聯系高中解析幾何“數”的運算性質，是多視角切入與應用的一個重要場景，切實吻合高考數學命題“在知識交匯點處命題”的理念，常考常新，一直成為高考的考查重點.

1 真題呈現

高考真題 （2024年高考數學全國甲卷理·12）已知b是a，c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（ ）.

在直線與圓的位置關系的基礎上，結合弦長的取值范圍的確定與應用，借助弦長|AB|為整數這一特殊設問方式來求解，合理進行變式與拓展，實現問題的深入應用，有利于深度學習與創新應用.

4 教學啟示

4.1 合理交匯，巧妙應用

直線與圓的位置關系問題，是初中平面幾何“形”的幾何特征與高中平面解析幾何“數”的代數性質的巧妙綜合，符合在“知識交匯處命題”的理念，也是兩者之間不同思維視角切入的重要載體.

解決此類涉及直線與圓的位置關系問題，可以從“形”的幾何特征加以邏輯推理與直觀想象，也可以從“數”的代數性質加以數學運算與推理應用，給考生以更多的嘗試機會，成為全面提升數學“四基”、強化數學“四能”的一個重要場景.

4.2 深度學習，“一題多變”

基于此類典型的直線與圓的位置關系問題，在一定程度上合理挖掘問題的本質與內涵，同時架起初中與高中數學知識之間的橋梁，從不同思維視角切入與應用，成為“一題多解”“一題多思”的重要場景，進而在一定程度上，合理加以深度學習與應用，有效進行“一題多變”“多題一解”等方式的深入探究與創新應用，達到“一題多得”.

特別地，基于此類典型數學應用問題，合理挖掘問題的內涵與實質，滲透數學基礎知識與思想方法，從而有效地培養學生的數學基本能力，在一定程度上提升數學的思維品質，從而構建一個更加完整的數學知識體系，有效落實數學基礎知識與基本能力，養成良好的數學習慣，培養數學核心素養.