幾種常用構(gòu)建函數(shù)的技巧方法

摘要：構(gòu)建函數(shù)來解決一些函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等相關(guān)問題，是函數(shù)應(yīng)用的一種基本解題意識與技巧方法.結(jié)合題設(shè)條件以及函數(shù)、不等式等的結(jié)構(gòu)特征，從不同思維視角合理構(gòu)建函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理，思維巧妙，策略得當(dāng)，總結(jié)規(guī)律，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；同構(gòu)；放縮；證明

在解決一些復(fù)雜的綜合應(yīng)用問題時，特別是涉及抽象函數(shù)不等式的求解問題、抽象不等式恒成立問題、含參不等式恒成立問題以及函數(shù)不等式的證明問題等，經(jīng)常要利用構(gòu)建函數(shù)法來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.而借助題設(shè)條件與基本類型，構(gòu)建函數(shù)的技巧方法也有一定的差異.本文中結(jié)合幾種常用構(gòu)建函數(shù)的技巧方法加以實例剖析，拋磚引玉.

1 利用導(dǎo)數(shù)運算法則構(gòu)建函數(shù)

求解與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的抽象函數(shù)不等式的綜合應(yīng)用問題時，結(jié)合題設(shè)條件的對比與分析，合理聯(lián)想函數(shù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則，巧妙構(gòu)建一個新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的基本性質(zhì)來分析處理與原抽象函數(shù)不等式相關(guān)的問題.

例1 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（－∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+xf′（x）>x2恒成立，則不等式（x+2 023）2f（x+2 023）>4f（－2）的解集為______.

分析：根據(jù)題意中的不等式恒成立加以恒等變形與轉(zhuǎn)化，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算法則的逆用，合理同構(gòu)函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來轉(zhuǎn)化所要求解的不等式，實現(xiàn)不等式的巧妙轉(zhuǎn)化與求解.

點評：對于比較復(fù)雜的不等式恒成立或不等式證明問題，直接構(gòu)建函數(shù)處理時往往函數(shù)復(fù)雜，運算量大，而通過不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建兩個相對簡單的函數(shù)，通過比較F（x）min>G（x）max，而得以確定F（x）>G（x）恒成立，實現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化，又能很好地減少數(shù)學(xué)運算量，優(yōu)化解題過程.

在實際構(gòu)建函數(shù)處理一些相關(guān)的復(fù)雜的綜合應(yīng)用問題時，要正確分析并轉(zhuǎn)化題設(shè)條件，或利用導(dǎo)數(shù)運算法則構(gòu)建函數(shù)，或利用同構(gòu)法構(gòu)建函數(shù)，或利用放縮法構(gòu)建函數(shù)，或利用變形法構(gòu)建雙函數(shù)等，合理轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合所構(gòu)建的函數(shù)分析對應(yīng)的基本性質(zhì)，進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，開拓數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，提升解題效益，形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).