一類雙變元代數式最值問題的多解探究

摘要：涉及雙變元代數式的最值（或取值范圍）問題，命題設置場景豐富多彩，變化多樣，可以有效考查考生的“四基”與“四能”，成為高考數學命題中比較常見的一類基本考查類型.借助一道模擬題中最值的設置，通過函數、不等式等場景巧妙創設，借助變量最值的求解，從不同思維視角切入，發散數學思維，進行“一題多解”，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：函數；最值；基本不等式；換元

涉及雙變元代數式的最值（或范圍）問題，是基于不等式、函數與方程等基礎知識，以更加豐富多彩的應用場景來創設，進而來合理確定相應的代數式的最值（或范圍）.此類問題往往交匯與整合不等式、函數與方程、三角函數、函數與導數等相關的基礎知識，借助合理的邏輯推理以及正確的數學運算等來達到考查與應用的目的，一直備受關注，成為各類數學試卷命題中的一個重點與熱點問題.

1 問題呈現

問題 設函數f（x）=x3－x，任意正實數a，b滿足f（a）+f（b）=－2b，若a2+μb2≤1，則實數μ的最大值為______.

此題以三次函數為問題背景，利用滿足條件的函數關系式所構建的方程來創設條件，結合含參不等式恒成立，進而來確定對應參數的最值問題.借助三次函數背景正確構建雙變元a，b之間滿足的條件關系，并分離參數構建相應參數所滿足的不等式，其實質還是雙變元代數式的最值（或取值范圍）問題.

結合問題的場景與應用，合理通過含參不等式的恒等變換與轉化，進而構建對應的雙變元代數式，從配湊思維、比值換元思維以及三角換元思維等方式切入，利用基本不等式、函數與導數的應用、二次方程有根的判別式法等技巧方法來應用，挖掘問題的實質，開拓問題的解題思路，實現問題的突破與解決.

點評：三角換元思維往往是對于一些具有特殊關系的雙變元代數式關系應用的一種換元思維與技巧方法，引入三角變量，將代數問題轉化為三角函數問題，進而利用三角函數及其相關知識來確定代數式的最值（或范圍），也是解決雙變元代數式的最值（或范圍）問題中比較常用的一種技巧思維.三角換元應用中要注意換元的目標，以及換元中角的取值限制等條件，綜合利用三角恒等變換公式，并借助三角函數的有界性等來分析與應用.

3 變式拓展

涉及此類基于函數場景下雙變元代數式的最值（或取值范圍）問題，創設場景精彩多變，技巧應用方式多樣，合理變式拓展，綜合創新應用.

變式 已知函數f（x）=x3+ex－e-x+1，若實數a，b滿足f（3a2－3）+f（b2－1）=2，則a2+b2的最大值為______.（3）

4 教學啟示

函數與方程、不等式等場景條件下的雙變量代數式的最值（或范圍）及其綜合應用問題等，是巧妙融合函數與導數的應用，交匯函數與方程，利用不等式等綜合知識的一個基本考點.此類問題難度往往都比較大，很好地融合函數與方程、函數與導數、不等式、三角函數等相關的數學知識，以雙變量代數式的最值（或范圍）的求法與應用為場景，融入其他一些相關的知識與應用，成為高考考查的一個基本方向與命題趨勢，在課堂教學與復習備考過程中要加以重視.

基于此，在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，依托一些“在知識點交匯處命題”的創新設置與綜合應用，全面考查考生數學“四基”與“四能”等方面的落實情況，充分體現高考數學試題更加注重數學思維品質、數學關鍵能力以及數學核心素養等方面的滲透與考查，更加關注數學中的創新意識與創新應用，培養學生的創新能力.