一道平面向量試題的多角度破解方法

摘要：涉及平面向量的數量積的最值（或取值范圍）問題，是高考命題中比較常見的一類熱點問題.結合一道平面向量數量積問題，根據題設的應用情景創設，挖掘問題的本質與內涵，合理選用與之相應的思維技巧與策略方法來分析與處理，總結解題思維方法與技巧規律，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：平面向量；數量積；三角形；外接圓；最值

作為平面向量的基本知識之一，平面向量的數量積成為近年高考的一個基本考點.特別是涉及數量積的最值（或范圍）問題，基于平面幾何，依托平面向量，融合函數與方程、三角函數、基本不等式等相關知識，成為該模塊知識中考查的重中之重，也是課堂教學與復習備考中的一個基本專題.

1 問題呈現

問題 已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB·BC的最大值為______.

此題以三角形及其外接圓為問題場景，通過已知△ABC的外接圓為單位圓來創設，結合三角形的兩邊所對應的兩平面向量的數量積的最值來設置.題目條件簡單明了，求解目標明確簡捷.

該問題看似簡單，但實際操作與求解起來卻有一定的難度.根據試卷的實際應用，以及學生做題情況，結合本題得分的統計信息可知，這道題的得分率極低，做對的學生寥寥無幾.

合理分析問題條件，巧妙挖掘內涵與本質，從平面向量的數量積求解視角切入，可以借助基底法、投影法、極化恒等式法以及三角函數法等來應用，從不同層面加以突破與求解，實現問題的解決.

2 問題破解

2.1 基底思維

方法1：基底法1.

解析：依題意，由于AB·BC=（OB－OA）·BC=OB·BC－OA·BC=－12|BC|2－|BC|cos α≤－12|BC|2+|BC|，其中O為外圓圓心，α為OA與BC的夾角，當且僅當OA與BC的方向相反，即cos α=－1時等號成立，

3 變式拓展

變式 △ABC中，已知|BC|=1，|AB|=3，|AC|=6，P是△ABC的外接圓上的一個動點，則BP·BC的最大值為______.（2）

4 教學啟示

其實，解決平面向量數量積的最值（或范圍）及其綜合問題，從題設條件入手，合理尋覓并挖掘數量積的結構特征與題設條件，從“數”的代數屬性或“形”的幾何直觀等視角切入與應用，合理進行恒等變形與轉化.

特別在實際解題與應用過程中，合理借助平面向量數量積的最值（或范圍）及其綜合問題的解題經驗的積累與技巧方法的應用，選取行之有效的數學思維方法與對應的技巧策略，實現數量積最值（或范圍）問題的求解，從而有效養成良好的數學思維品質，提升數學解題能力，拓展數學應用與創新思維.