基底幾何坐標，破解向量問題三要素

摘要：平面向量數量積的求值或最值（或取值范圍）問題是平面向量模塊知識中的重點與難點之一，破解此類問題有一定的基本策略與規律可循.結合一道高考真題，通過平面幾何圖形，結合平面向量數量積的常規技巧方法加以展開與應用，歸納總結解題策略與規律，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：正方形；向量；最值；基底；幾何；坐標

平面向量數量積成為近年高考試卷中常考常新的基本考點之一.在實際求解平面向量數量積的綜合問題時，借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，抓住數量積自身或“數”的應用，或“形”的特征，并結合不同的應用場景，選擇行之有效的方法來處理對應的平面向量數量積，使得數量積求解問題的解決更加合理、有效、可行、正確、快捷，達到“數”與“形”的緊密結合，知識與能力的有效融合.

1 真題呈現

高考真題 （2024年高天津卷·14）在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，CE=12DE，BE=λBA+μBC，則λ+μ=______；若F為線段BE上的動點，G為AF中點，則AF·DG的最小值為______.

涉及平面向量的線性運算與數量積問題，通常是平面向量模塊的一大基本考點.常見的思維方法，或通過“數”的基本屬性進行基底法運算，或通過“形”的幾何結構進行直觀化處理，或通過“數形結合”的綜合應用進行坐標法求解等，很好地考查“四能”與關鍵能力等.

4 教學啟示

在實際解決平面向量數量積的求值與最值等綜合問題時，借助代數思維或幾何思維，通過不同思維下的代數法與幾何法的應用，合理構建成一幅完美和諧統一的“畫卷”，成為新高考數學試卷命題中的一個創新點與熱點.

解此類問題時，往往借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，抓住數量積自身“數”的屬性應用或“形”的幾何特征，并結合不同的應用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應的平面向量數量積問題.

“數”與“形”的不同視角，使得數量積綜合問題的求解與應用更加合理、有效、可行、正確、快捷，或通過“數”來代數運算，或通過“形”來直觀想象，也可以實現“數”與“形”的緊密結合，有效實現知識與能力的有效融合.

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