一道圓的綜合試題的深度探究

摘要：涉及圓的綜合應用問題，一直是高考中比較常見的基本考點之一.結合一道高考數學模擬題，合理挖掘題設條件與背景，借助不同思維視角的切入與應用，多技巧方法應用，多視角變式拓展，從不同層面探究破解問題的思路與變式拓展，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：圓；直線；最值；距離；三角換元

作為初中平面幾何中的一類基本圖形，圓是初中邏輯推理與應用問題的常見載體；作為高中平面解析幾何中的一類基本曲線，圓又是高中代數運算與應用中的一類基本考查對象.而涉及圓的綜合應用問題，恰好聯系起初、高中階段的不同數學知識，從圓的不同視角與側面，滲透了數學基本思想方法，成為高考數學命題中的重要知識點之一.

圓的綜合應用問題，基于圓的幾何特征與代數屬性，給問題的解決與應用提供了不同的思維視角，從而契合高考數學命題“在知識交匯點處命題”的理念，?？汲Ｐ?，一直成為各級各類考試的必考內容和熱點內容之一.

4 教學啟示

4.1 合理交匯，巧妙應用

圓的綜合應用問題，往往融合“數”與“形”這兩種不同屬性與特征，或借助“數”的思維視角進行合理的數學運算，或借助“形”的思維視角進行合理的邏輯推理，還可以“數”“形”結合加以綜合應用.對于與圓相關的最值綜合應用問題，往往還需從“動”與“靜”的思維視角，借助點、曲線等“動”與“靜”的結合來分析與解決問題，合理加以交匯與綜合應用，有效落實數學知識的“四基”與數學思維的“四能”，從而合理加以拓展與應用.

4.2 變式拓展，“一題多變”

圓的綜合應用問題以及相應的變式拓展，其實質在于合理依托問題的本質與內涵，合理交匯與融合數學基礎知識與基本思維，進而借助“一題多解”的方式，進行合理的“一題多思”“一題多變”“多題一解”等方面的深入探究與創新應用，達到“一題多得”的目的.

特別地，基于典型數學問題的綜合應用，合理挖掘內涵與實質，進而對問題加以合理的變式與拓展，實現問題的深入學習與應用，從而“一題多變”，實現“一題多得”，在此基礎上合理提升數學關鍵能力，促使學生養成良好的數學思維習慣等.