函數思想在解中考試題中的應用

摘要：函數思想在初中數學教學中占有重要地位，是一種非常重要的數學思想，貫穿初中數學大部分內容.函數思想在解中考試題中的應用非常廣泛，文章以具體的中考真題為例，探究函數思想在數與式的運算、最值問題以及動態問題中的應用.

關鍵詞：函數思想；中考試題；最值問題；動態問題；應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）26-0021-03

函數思想通常是指利用函數的概念和性質分析問題、轉化問題和解決問題［1］．函數有三種表示形式，即解析式、表格、圖象．在利用函數思想解決數學問題時，可以從這三個方面捕捉函數信息，據此構造函數模型，進而利用函數的性質解決問題．

1數式與函數

在數式變化中，通常存在著某種函數關系.代數式的值就是其中某些未知字母的函數，等式中也蘊含函數關系.在初中數學解題過程中，可考慮從數式中構建函數，然后利用函數的性質解決數式問題．

例1（2023年江蘇省南通市中考數學第10題）若實數x，y，m滿足x+y+m=6，3x-y+m=4，則代數式-2xy+1的值可以是（）

A．3B．2.5C．2D．1.5

解析根據題意可得x+y+m=6，3x-y+m=4，解得x=5-m2，y=7-m2.設w=-2xy+1，則w=-2×5-m2×7-m2+1=-m22+6m-332.因為-12<0，所以w有最大值.利用二次函數的性質可求得最大值為1.5，故選D．

點評本題主要考查二次函數的性質、二元一次方程組的解法等知識，熟練掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵．聯立方程組，可用含m的代數式表示x，y，然后設w=-2xy+1，即可得到關于m的二次函數，然后根據二次函數的性質解決問題．

例2（2022年江蘇省南通市中考數學第10題）已知實數m，n滿足m2+n2=2+mn，則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為（）

A．24B．443C．163D．-4

解析由題意易得（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=4m2-12mn+9n2+m2-4n2=5m2-12mn+5n2=5（2+mn）-12mn=10-7mn.

因為（m+n）2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，所以2+mn+2mn≥0，所以3mn≥-2，所以mn≥-23，由此可得10-7mn≤443，所以（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為443，故選B．

點評本題主要考查完全平方公式、平方差公式、不等式的性質等知識，對所求值的代數式進行正確化簡，并求出mn的取值范圍是解題的關鍵［2］．先將所求式子化簡為10-7mn，然后根據（m+n）2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥-23，進而可得答案．

2最值與函數

在初中數學中，最值指的是最大值或最小值．對于二次函數y=ax2+bx+c，當a＞0時，y有最小值；當a＜0時，y有最大值.一次函數和反比例函數在自變量的取值范圍內，也可能存在最大值和最小值．因此，在解決最值問題時，應聯想到構造函數，利用函數的性質求解．

例3（2023年天津市中考數學第12題）如圖1所示，要圍一個矩形菜園ABCD，共中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26 m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40 m．有下列結論：①AB的長可以為6 m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192 m2；③菜園ABCD面積的最大值為200 m2．其中，正確結論的個數是（）.

A．0B．1C．2D．3

解析設AB的長為x m，矩形ABCD的面積為y m2，則BC的長為（40-2x） m，由題意得y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，其中0 ＜40-2x≤26，即7≤x＜20.

①AB的長不可以為6 m，原說法錯誤.

②當y=-2（x-10）2+200=192時，解得x=8或x=12，所以AB的長有兩個不同的值，其均能使菜園ABCD面積為192 m2，說法正確.

③菜園面積的最大值為200 m2，原說法正確.

綜上所述，正確結論的個數是2個，故選C．

點評本題主要考查二次函數的性質、一元二次方程的解法等知識，準確理解題意，列出二次函數解析式是解題的關鍵．設AB的長為x m，矩形ABCD的面積為y m2，則BC的長為（40-2x） m.根據矩形的面積公式即可列二次函數解析式，再根據AD的長不能超過26 m及二次函數的最值，解一元二次方程即可解決問題．

3動態變化與函數

在速度一定的情況下，運動路程就是運動時間的函數.如果某些量的變化引起另一些量的變化，這里面可能存在函數關系，找出其中變量之間的函數關系，利用函數性質即可解決有關數學問題．

例4（2022年廣州市中考數學第25題）如圖2所示，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD.

（1）求BD的長；

（2）點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=3DF.當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．

解析（1）如圖3，連接AC，設AC與BD的交點為O.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB.因為∠BAD = 120°，所以∠CAB=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以BO=AB·sin60°=6×32=33，故BD=63.

（2）如圖4所示，過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N.

因為△ABC是等邊三角形，所以AC=AB=6.由（1）得BD=63.在菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，所以MN⊥BC.因為∠BAD=120°，所以∠ABC=60°，所以∠EBN=30°，所以EN=12BE.因為S菱形ABCD=12AC·BD=MN·BC，所以MN=33.設BE=x，則EN=12x，所以EM=MN-EN=33-12x.因為S菱形ABCD= AD·MN=6×33=183，所以S△ABD=12S菱形ABCD=93.因為BE=3DF，所以DF=BE3=33x，所以S△DEF=12DF ·EM=12·33x33-12x =-312x2+32x.設四邊形ABEF的面積為S，則S=S△ABD-S△DEF=93-

（-312x2+32x）=312x-332+2734.因為點E在BD上，且不在端點，故0＜BE＜BD，即0＜x＜63.

作CH⊥AD于H，如圖5所示.因為CO⊥BD，CH⊥AD，而點E和F分別在BD和AD上，當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值.在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD.因為∠BAD=120°，所以∠ADC=60°，所以△ACD是等邊三角形，所以AH=DH=3，所以CH=33.由S=312x-332+2734可知，當x=33，即BE=33時，S達到最小值.因為BE=

3DF，所以DF=3，此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，所以當四邊形ABEF面積取最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值，此時CE+3CF的值達到最小，其最小值為CO+3CH=3+3×33=12．

點評本題主要考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、二次函數的性質、三角形的重心、解直角三角形等知識. 根據菱形的面積可求出MN=

33，設BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33-12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積S=S△ABD-S△DEF=312x-332+2734.作CH⊥AD于H，可得當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；再由S=312x-332+2734，可得當x=33，即BE=33時，S達到最小值，從而得到此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置．

4結束語

函數是初中數學的重要內容，函數思想作為初中數學的重要思想，貫穿整個初中數學.因此，在初中數學教學中，教師需在日常教學中滲透函數思想. 在解題教學中，教師要引導學生學會將函數思想與其他內容相結合，并利用函數思想解決中考試題，讓學生在解決中考試題的過程中感悟函數思想的魅力，提升其數學核心素養.

參考文獻：［1］

張海濤.借助函數思想，指導初中數學解題研究［J］.數理化解題研究，2022（8）：56-58.

［2］李鴻昌，徐章韜.關于對數平均的一個不等式的推廣［J］.數學通報，2023，62（8）：50-52.

［責任編輯：李璟］