非物理類專業“量子物理”課程教學的若干思考

［摘 要］ 非物理類專業學生的“量子物理”課程教學面臨諸多挑戰。一方面，相較于物理類專業的學生，非物理類專業的學生在數學和物理基礎方面相對薄弱；另一方面，適用于非物理類專業學生的教材資源比較稀缺，從而增加了教與學的難度。為此，構建了既簡明扼要又突出核心內容的“量子物理”課程大綱，旨在助力學生更好地理解和掌握“量子物理”知識。該大綱將涵蓋課程基本概念、主要理論及相關技術應用，包括了經典物理到量子物理的過渡、薛定諤方程的解法和形式理論等，可以為學生后續學習奠定堅實基礎。

［關鍵詞］ 量子物理；非物理類專業；薛定諤方程

［基金項目］ 2023年度國家自然科學基金青年基金項目“彎曲時空量子場論和粒子探測器相互作用的理論探索”（12205250）

［作者簡介］ 徐 皓（1989—），男，安徽合肥人，博士，揚州大學物理科學與技術學院講師，主要從事廣義相對論與量子場論研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）34-0021-04 ［收稿日期］ 2024-01-11

引言

量子物理是現代物理學的重要分支，它給出了微觀世界的理論描述，所采用的數學工具也為物理學乃至純數學的發展提供了強大的支持。隨著科學技術的不斷進步，量子物理也將繼續引領我們對自然界的認識邁向新的高度。

在本科教育中，“量子物理”課程對于培養學生的科學素養也有重要的影響。通過學習“量子物理”課程，學生得以掌握物理學的基本原理和方法。此外，“量子物理”課程與其他學科領域也有著緊密的交叉融合，如信息科學、微電子、計算機等。學習“量子物理”課程可以為未來的工作打下堅實的基礎，因此許多專業都將“量子物理”課程列為必修課程。

在物理專業的本科教學中，“量子物理”課程無疑占據著核心地位，然而在非物理類專業中，“量子物理”的課程地位卻稍顯尷尬。許多學生對于“量子物理”課程的重視程度不足，認為它只存在于前沿的科學研究，與日常生活和實際應用相去甚遠。

除了學生觀念上的誤區，“量子物理”課程本身的難度也是原因之一。對于物理專業的學生，他們在學習“量子物理”前已經經歷了“經典物理”和“原子物理學”等核心課程的學習，也掌握了微積分、線性代數、概率論、數理方法等數學工具。這使得他們在面對“量子物理”時具備了較為完備的基礎。而且，針對物理專業本科生的優秀教材豐富多樣，其中不乏大師級的著作，為學生提供了深入學習的資源。然而，對于非物理類專業的學生來說，他們通常在大二就開始接觸量子物理，而此前僅僅學習了兩個學期的“大學物理”和“高等數學”課程，這令他們在面對量子物理這一高度抽象、復雜的學科時容易感到困惑和無助。此外，適合非物理類專業學生的教材相對較少，也無形中增加了他們的學習難度。

自2020年開始，筆者作為揚州大學物理科學與技術學院教師，為微電子專業的大二學生教授“量子物理”課程。在教學過程中，筆者不斷積累經驗，深入思考教學方法，并與同行展開廣泛交流。本文旨在針對非物理類專業“量子物理”課程的內容設置和授課方式等分享一些觀點與建議，以期提高學生對“量子物理”課程知識的領悟和掌握，為他們的職業生涯奠定基礎。

一、課程的內容選擇

通常的“量子物理”課程教材以歷史發展為線索，從黑體輻射和氫原子模型的實驗研究出發，逐步引入量子概念。完成課程后，學生應能推導出黑體輻射譜以及氫原子電子軌道。然而，非物理類專業的學生對黑體輻射和氫原子模型的物理背景并不熟悉。求解黑體輻射所采用的核心方法——相格法，在物理類專業的“熱力學”與“統計物理”課程中有所涉及。但由于不同高校課程設置的差異，非物理類專業的學生可能并未接觸過這一方法。同樣，求解氫原子模型所需的球諧函數也可能超出了學生的知識范圍。對于非物理類專業的學生而言，傳統上從歷史和實驗出發，回歸歷史和實驗的思路，可能并不適用。

因此，對于非物理類專業的學生，教師需要采取更為合適的教學方式。首先，需要尋找到一個合適的切入點來引導學生深入量子物理的領域中。其次，需要重點講解量子物理處理問題的方法，尤其是定態薛定諤方程的解法。這是“量子物理”課程的核心內容，也是理解和應用量子物理的關鍵。最后，需要強調量子物理背后的數學邏輯，從而更好地理解和應用量子物理的知識。

綜上所述，針對非物理類專業的學生，在教授“量子物理”課程時，應選取一個易于掌握且能凸顯量子物理核心的子集作為教學內容。同時，確保該子集在量子物理體系中自洽且完整。在完成這一內容的學習后，學有余力的學生可進一步探索更深入的知識，以適應科研等高層次需求。下面介紹一個在實際教學中使用的課程內容編排。推薦的參考教材為吳彪教授所著的文獻［1］和大衛·J.格里菲斯所著的文獻［2］。

1.物理學地圖。通過地圖的形式，對整個物理學進行系統性劃分，主要劃分為四大板塊：經典物理、相對論、量子物理及未知領域。經典物理領域涵蓋了力學、光學、電磁學和熱學等基礎學科。相對論則進一步探究宏觀世界的運作原理，解釋了星系乃至整個宇宙的運行規律。量子物理領域既包括量子場論和標準模型等理論研究，也涉及量子計算和量子糾纏等更廣泛的實際應用。在未知領域中，展示了現代物理學尚未解決的難題，如暗物質和暗能量以及量子引力等。通過這種直觀的展示方式，學生可以更清晰地了解量子物理在現代物理學中的地位，理解其起源和發展方向，糾正對量子物理僅存在于尖端研究領域的誤解。

2.經典力學和舊量子理論。對量子力學先驅如何應對從經典到量子的過渡問題展開深入探討。在解決這一問題的過程中，玻爾和索末菲提出了早期的量子化規則，將經典物理中最基礎的概念——相空間進行量子化。詳細闡述這種方法在處理諧振子問題時的應用，并對該方法的局限性進行深入分析。通過這一探討，我們將更好地理解先驅如何巧妙地解決從經典到量子的過渡問題，并為后續的物理學發展奠定堅實基礎。

3.線性代數回顧。盡管學生已初步接觸線性代數，然而許多學生仍僅停留在行列式處理的淺層技巧記憶上，未能領會線性代數的核心思想。因此，教師應在課堂中引導學生深入理解線性代數的實質，它是處理滿足線性運算的數學工具，且為波函數等物理現象提供了強有力的數學表達手段。通過這樣的學習，學生將能更好掌握量子物理中的形式理論。

4.邁入量子之門。在引導學生探索量子世界的旅程中，教師并未選擇黑體輻射或氫原子譜線作為切入點，而是借助施特恩-格拉赫實驗，引領學生邁出了關鍵的第一步。這里的原因在于施特恩-格拉赫實驗所聚焦的電子自旋的研究可以通過線性代數中的2×2矩陣進行描述，這種方法相較于相格法或三維時空中的微分方程更為簡潔明了。通過這一部分的學習，學生將建立起對量子力學基本原理的理解，即量子體系的狀態可被描述為希爾伯特空間中的一個向量，可觀測的物理量由算符表示，觀測結果則是算符的本征值，而獲得特定本征值的概率則取決于向量在相應本征態上的投影。

5.量子動力學和薛定諤方程。在先前對量子物理的闡述中，我們尚未深入量子態隨時間演變的機制，以及波函數作為希爾伯特空間向量的計算。為此，將直接導入薛定諤方程和波函數的統計解釋，同時回顧概率論的基礎知識，詳述了如何利用概率密度計算期望值。此外，還定義了波函數的內積，證明了其正交歸一性，并引入了動量算符等概念，以此深化學生對薛定諤方程及波函數的理解。

6.定態薛定諤的解法。在“量子物理”課程體系中，求解薛定諤方程占據著至關重要的地位。運用分離變量法將方程拆分為時間部分和空間部分。其中，時間因子能夠直接求解，因此主要關注的是空間部分，即定態薛定諤方程。在完成歸一化處理后，其對應的本征態便能作為希爾伯特空間的基矢。由于薛定諤方程的線性特性，任何時刻的量子態均可表示為這些基礎矢量的線性組合，并插入時間因子以獲得時間演化。教師選取了五種具有代表性的勢能模型進行討論：一維無限深方勢阱、諧振子、自由粒子、δ函數以及一維有限深方勢阱。通過分析這幾種勢能模型，學生不僅能夠掌握求解定態薛定諤方程的方法，還能深入理解波函數的性質。

7.形式理論。闡述量子物理的數學基礎，首先從平方可積性出發，明確定義希爾伯特空間。其次，證明可觀測物理量可用厄米算符表示，并深入探討其在離散譜和連續譜中的特性。然后，闡述量子理論的廣義統計詮釋，并證明普遍的不確定性原理。最后，引入狄拉克符號體系，并運用它計算2×2矩陣描述的哈密頓量系統中的態的時間演化。這一過程將為施特恩-格拉赫實驗提供更為基礎的描述，形成邏輯上的完整閉環。

8.量子物理的實際應用。簡要探討量子物理在前沿科技領域的幾個關鍵應用，包括量子糾纏、量子測量、量子計算和量子通信。這些研究領域在理論和實踐層面都具有重大意義，并且未來有望發揮更加舉足輕重的作用。

經過對上述內容的深入學習，學生可以在有限的基礎和課時條件下，實現對量子物理的數學結構和物理本質的理解。教師詳細介紹的薛定諤方程的一維時空解法，是在單粒子條件下進行的。若將時空維度擴展至三維，并引入電磁勢，則能推導出氫原子的能級結構。若進一步考慮多粒子系統并引入相格，則能得出黑體輻射的能譜。對于有志于繼續深化學習的學生，本課程內容將為他們提供堅實的理論基礎。

二、教學方法

“量子物理”課程沿用PPT與板書相結合的教學方法。在課程的起始階段，由于涉及物理學領域的劃分、施特恩-格拉赫實驗等內容，PPT將成為主導的教學工具。隨著課程的深入，計算量逐漸增加，特別是在求解定態薛定諤方程部分，教學應以板書為主，展示計算過程的細節，幫助學生理解和掌握不同的解法。在課程的后期涉及量子物理的實際應用時，可以再次以PPT為主。

如前所述，“量子物理”課程旨在選取一個易于掌握且能突出量子物理核心的子集作為教學內容，確保該子集在量子物理體系中既自洽又完整。因此，該課程的教學重點在于挖掘量子物理的核心原理，而非僅關注其外在形式。學生需在分析問題的過程中領悟量子物理的奧妙，并掌握科學的思維方式。教師在授課過程中，特別是在板書環節，從學者的角度出發，指導學生面對未知問題如何進行思考和嘗試，而非簡單地給出問題和答案的一一對應關系，讓學生機械記憶。

舉例來說，在求解薛定諤方程時，由于勢能的選擇具有任意性，因此并不存在通解。在課程中，教師應引導學生思考如何得到盡可能一般的結論。利用微積分的知識，對于連續可導的勢能函數，當在其極小值點附近進行泰勒展開時，二階項可以寫成類似諧振子的形式，而勢能的二次導數可以對應諧振子中的彈性系數。因此，諧振子勢非常適合模擬勢能極小值點附近的行為。雖然無法得到任意勢能對應的解，但能夠得到勢能極小值點附近的行為，這在物理上具有重要的意義。

在解決諧振子的定態薛定諤方程問題時，筆者提出了兩種求解策略。將求解這個問題比作是一次未知的攀登高山的過程，其中一種策略是直接進行攀登，而另一種策略則是選擇先攀登一座較為容易的山峰，再從山頂觀察目標山峰的地形和路線。這兩種策略分別對應了數學中的解析法和代數法。

在解析法中，將方程在可直接求解的區域，即無窮遠處找到解，而后對解進行必要的修正，將解表示為級數的形式，并推導每一項系數間的遞推關系。同時，需要確保所得到的解與無窮遠處的漸近行為保持一致，避免出現矛盾。最終，我們發現為了滿足波函數的歸一化條件，遞推關系不能無限進行下去，必須在某一位置進行截斷，而這一截斷操作恰好產生了量子化條件。隨后，引導學生深入思考，為什么量子化這一物理定律會在求解微分方程的技術細節中體現。通過展示兩個不滿足量子化條件的解，可以發現正是波函數的統計詮釋對解的漸近行為提出了要求，從而導致了量子化的出現。簡言之，只有量子化的解才能被認為是符合物理規律的。這也為我們提供了一個絕佳的機會，展示了數學與物理之間的密切關系。

在代數法中，筆者采取了全新的思路，沒有直接求解方程，而是引入了新的算符，即產生湮滅算符，將系統的哈密頓量以新的形式呈現。通過這些算符，就能找到解與解之間的轉換關系，不是一次性獲得所有解，而是找出了如何從一個解生成更多解。由于物理上不可能存在能量為負的解，因此這種轉換關系需要在某個點被截斷，而這個截斷關系恰好給出了一個求解基態的簡單方程。一旦求得基態，就可以利用它來生成激發態的解，而這種方法得到的結果也和解析法完全相同。

通過展示對相同問題采用不同解法而最終得出相同結論的過程，學生能夠領略到數學和物理的奧妙，以及科學的處理問題的方式。此外，學生還能夠更深入地理解量子物理的技術細節，從而更好地掌握這一領域的知識。

三、考核方式

“量子物理”課程將沿用常規的評估方式，結合學生的平時表現與期末考試成績進行綜合評定。在平時成績中，教師將關注學生的課堂參與情況及作業完成情況。關于作業，教師并未盲目增加難度，如求解更多類型的勢能問題，而是挑選了一些重要的物理和數學基礎題目，這些題目對于培養學生的基本能力至關重要，同時不會延誤教學進度。例如，利用歸一性證明能量不低于勢能最小值，推導普朗克爾定理等。通過這些習題的訓練，學生能更加深入理解和掌握量子物理的基本性質和數學基礎。

而在最終的期末考試環節，試題由選擇題和計算題構成。選擇題主要考查量子物理的歷史和基本概念；計算題主要考查波函數和算符的基本性質、已知勢能求解薛定諤方程、諧振子中升降算符性質、利用線性代數的知識計算量子態的時間演化及形式理論等。所有的問題都將來自課上具體的推導，這能夠將學生的注意力集中在量子力學的核心問題上，而不是在基礎尚不牢固時盲目刷題。

結語

量子物理作為現代物理學的重要分支，其理論體系和實驗觀測結果在培養學生科學素養方面具有不可忽視的意義。在物理類專業的本科教學中，量子物理占據著核心地位，然而在非物理類專業中，許多學生對量子物理的重視程度不足，此外，由于學生的基礎相對薄弱，使得他們遇到不少困難。因此，教師需要采取有效措施，提高學生對量子物理的重視程度，加強基礎知識的掌握，為后續的學習和研究打下堅實的基礎。

在多年的教學實踐過程中，筆者深入“量子物理”課程的復雜體系，精心篩選并整理出既簡明又凸顯核心的課程大綱，用于教學。它不僅在“量子物理”課程體系中自洽，而且全面。當學生完成對該課程的學習后，如果仍有余力，可以進一步探索更深入的領域，為未來科研等工作做好準備。

鑒于筆者的經驗和水平有限，所提出的建議可能仍存在一些不足之處。為此，筆者將繼續在教學工作中進行探索，以期更好地服務于學生，為青年人才的教育事業貢獻一份力量。

參考文獻

［1］吳飆.簡明量子力學［M］.北京：北京大學出版社，2020：92.

［2］大衛·J.格里菲斯.量子力學概論［M］.北京：機械工業出版社，2009：2.

Thoughts on the Teaching of “Quantum Physics” Course for Non-Physics Majors

XU Hao

（College of Physical Science and Technology， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225009， China）

Abstract： Teaching quantum physics to non-physics students faces many challenges. On the one hand， they are relatively weak in mathematics and physics compared to students of physics majors; on the other hand， there is a lack of teaching materials for them， which makes teaching and learning more difficult. Therefore， we are committed to constructing a concise and core curriculum to help students better understand and master quantum physics. The syllabus covers the basic concepts， main theories and related technical applications of the course， including the transition from classical physics to quantum physics， the solution of Schrodinger equation， formalism， etc.， which can lay a solid foundation for students’ further learning.

Key words： Quantum Physics; non-physics majors; Schrodinger equation