初中數(shù)學(xué)“寬作業(yè)”研究與初探

一、寬作業(yè)的概念

寬作業(yè)，即有溫度，有藝術(shù)，事寬即圓的作業(yè)。在大數(shù)據(jù)時(shí)代，我們重視事物之間的因果關(guān)系，如一道數(shù)學(xué)題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，更重視事物之間的相關(guān)關(guān)系，如題與題之間運(yùn)用的相同的知識(shí)點(diǎn)，相同或相似的方法、思想等。波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題。”需要指出的是，現(xiàn)代興起的“問題解決”（problem solving）比傳統(tǒng)意義上的“解題”有了很大的發(fā)展。傳統(tǒng)意義的“解題”注重結(jié)果，注重答案，注重的是因果關(guān)系，而現(xiàn)代意義的“問題解決”則更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法，注重的是相關(guān)關(guān)系。通過大量同類作業(yè)加深學(xué)生對(duì)某一知識(shí)或某一解題方法的固有印象，既不高效又不明智，學(xué)生在大量的作業(yè)面前，疲于應(yīng)付，缺乏應(yīng)有的思考，很難形成自己的見解，知識(shí)的內(nèi)化和遷移過程相當(dāng)緩慢。寬作業(yè)形式，在于解放學(xué)生的雙手，調(diào)動(dòng)學(xué)生的大腦。通過設(shè)置寬作業(yè)，讓學(xué)生從解決一道題的三分鐘熱度，轉(zhuǎn)化為解決一類題的持久性溫度，從有技術(shù)的解決一道題，到有藝術(shù)的解決一類題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，積極全面地思考，從容對(duì)付，圓滿解決數(shù)學(xué)問題。另外，寬作業(yè)并非是對(duì)現(xiàn)有作業(yè)模式的否定，而是對(duì)現(xiàn)有作業(yè)模式的補(bǔ)充，顧名思義，寬作業(yè)，加大現(xiàn)有作業(yè)模式的寬度。

二、寬作業(yè)的主要特征

波利亞把教會(huì)學(xué)生解題看做是教會(huì)學(xué)生思考，培養(yǎng)他們獨(dú)立探索能力的一條主要而有效的途徑。寬作業(yè)正是為幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這一目的作業(yè)模式。首先，寬作業(yè)以鞏固學(xué)科知識(shí)為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主觀體驗(yàn)。解題基本功的大小，首先取決于知識(shí)的多寡，深淺和完善程度。其次，寬作業(yè)注重程序化的解題系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)集解題思想、解題過程、解題思路、解題方法等于一身，融理論與實(shí)踐于一體，這種程序把解題的最后一步，即全面地、有分析地領(lǐng)會(huì)所得解法，作為解題的必要環(huán)節(jié)固定下來。我們常常有這樣的思考：“這道題的解答看起來還不錯(cuò)，但怎樣才能想出這樣的解答呢？”寬作業(yè)模式所要達(dá)到的目的，正是剖析解題的思維過程，通過了解解題過程來研究發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)則。

三、寬作業(yè)的教學(xué)實(shí)施形式

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟。而數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是問題的教學(xué)。在對(duì)寬作業(yè)理論研究的指導(dǎo)下，筆者對(duì)寬作業(yè)模式設(shè)置做了如下探索和嘗試：

四、寬作業(yè)的具體案例

案例一

題目1（北師大版教材九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第54頁第4題）

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)。如果點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，它們相距15cm？

解：設(shè)運(yùn)動(dòng)x s時(shí)，它們相距15cm，

CP=BQ=x cm，CQ=（21-x）cm，

在Rt△APQ中，∠C=90°，

∴ CP2+CQ2=PQ2，

x2+（21-x）2=152，

x1=9，x2=12

所以，運(yùn)動(dòng)9s或12s時(shí)，它們相距15cm。

1.解題過程中用到哪些具體知識(shí)？

答：勾股定理、解一元二次方程。

2.解題過程中用到哪些具體方法？

答：（1）在圖中標(biāo)示已知條件;

（2）推導(dǎo)簡單的中間條件（如圖中CQ的長等）;

（3）觀察已知條件和所求結(jié)果，尋求它們之間的相關(guān)關(guān)系;

（4）利用勾股定理建立等量關(guān)系。

3.體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

答：方程思想

4.需要注意的細(xì)節(jié)有哪些？

答：（1）運(yùn)動(dòng)過程中的不變量和不變關(guān)系有哪些;

（2）運(yùn)動(dòng)是否終止，何時(shí)終止，全面考慮運(yùn)動(dòng)過程中的各種情況;

（3）檢查計(jì)算的準(zhǔn)確性;

（4）檢驗(yàn)所得結(jié)果的合理性。

5.以上思考對(duì)解決同類問題有何幫助？

答：提供了解決此類動(dòng)點(diǎn)問題的一般思路，常用方法等。

題目2（（北師大版教材九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第52頁例1）

如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一般補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）

題目分析：這道題是應(yīng)用一元二次方程一課中動(dòng)點(diǎn)類問題的一道例題，教師在教學(xué)過程中普遍認(rèn)為此題的授課難度較大，學(xué)生難以理解。如果我們靈活處理教材，以上面題目1做為例題講授，然后設(shè)置以上寬作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)行題后反思和總結(jié)，得到以上解題經(jīng)驗(yàn)，再回頭解決題目2，相信會(huì)水到渠成。

案例二

題目3（2016年廣東省中考數(shù)學(xué)卷第25題）

如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP。

（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明;

（3）在平移變換過程中，設(shè)y= S△OPB ，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值。

解答略

1.解題過程中用到哪些具體知識(shí)？

答：正方形的相關(guān)性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰直角三角形、同角或等角的余角相等、三角形全等、二次函數(shù)等。

2.解題過程中用到哪些具體方法？

答：（1）在圖中標(biāo)示已知條件，由此，第（1）問的答案顯而易見;

（2）推導(dǎo)簡單的中間條件，如圖中OB、OQ的長，∠ABO、∠PQO的大小等，仔細(xì)觀察便可得△ABO≌△PQO，第（2）問即可證明;

（3）對(duì)比需證明的結(jié)論，有方向性的思考，尋求條件和結(jié)論之間的相關(guān)關(guān)系，有思考的搭建橋梁（如添加輔助線等），第（3）問要表示三角形面積，若以BP為底，還需要表示BP邊上的高，因此順其自然可以想到過點(diǎn)O作BP的垂線;

（4）利用等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，求出BP邊上的高。

3.體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

答：分類討論思想等。

4.需要注意的細(xì)節(jié)有哪些？

答：（1）運(yùn)動(dòng)過程中的不變量和不變關(guān)系有哪些;

（2）運(yùn)動(dòng)是否終止，何時(shí)終止，運(yùn)動(dòng)方向是否唯一，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否有限制;全面考慮運(yùn)動(dòng)過程中的各種情況;

（3）檢查計(jì)算的準(zhǔn)確性;

（4）檢驗(yàn)所得結(jié)果的合理性。

5.還有沒有別的解法？

6.以上思考對(duì)解決同類問題有何幫助？

答：為解決此類問題提供了指向性思考。

五、結(jié)論與建議

解題的念頭往往在不經(jīng)意間閃現(xiàn)。波利亞說：“它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個(gè)念頭，你就夠幸運(yùn)了。”寬作業(yè)的設(shè)置，正是為了使得解題的念頭更具有準(zhǔn)確性、合理性。當(dāng)然，寬作業(yè)模式也并非總是指引我們這么做，也許有些念頭會(huì)把你引入“歧途”，但這并不可怕，因?yàn)檫@并非最糟糕的事情，最糟糕的，是沒有任何念頭。寬作業(yè)模式下，學(xué)生更容易在問題解決的過程中建立成就感、自信感、對(duì)自己的認(rèn)同感，從而提升學(xué)習(xí)興趣，并促使學(xué)生更主動(dòng)的思考，更有方向性的思考，更有價(jià)值的思考。誠然，對(duì)教師而言，在教學(xué)實(shí)施的過程中，也提出了更高的要求，教師在備學(xué)生、備教材的同時(shí)，也應(yīng)同等重要地備作業(yè)。充分挖掘每一道題的價(jià)值所在，以及題目之間的相關(guān)關(guān)系，并能向?qū)W生闡明或是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注并理解這種相關(guān)關(guān)系，從而有溫度、有藝術(shù)地，事寬即圓地解決相關(guān)問題。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)