單元整體建構，實現算理與算法的自然生長

摘要：教師教學時雖然對于算理與算法之間的關系有所注重，但對算法與算理關系的教學局限于一節課中，對同一個主題的教學內容缺乏整體建構意識.這導致學生算理與算法脫節的現象普遍存在.為了幫助學生更好地理解算理與算法之間的關系，教師要遵循一致性原則，注重教學內容的生活化，結合真實的生活情境，設計結構化的核心問題，注重新舊知識之間的聯系，進行單元整體建構，幫助學生實現運算能力的提升.

關鍵詞：情境；運算能力；單元整體教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出：“運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力.能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題.”［1］新課標實施以來，教師教學時雖然對于算理與算法之間的關系有所注重，但對于算法與算理的關系教學局限于一節課中，即對于同一個主題的教學內容，未從整體出發，缺乏通盤考慮的意識.教師對整體教學內容把握不足阻礙了學生的思維發展.教學評價指標仍舊側重于計算結果的正確性，忽視學生對算理的理解和算法的應用，導致學生運算能力較差.

如何在課堂教學中幫助學生理解算法與算理之間的關系，提升學生的運算能力是教師亟待解決的問題.教師要遵循一致性原則，注重教學內容的生活化和結構化，幫助學生理解算法與算理的關系，提升他們的運算能力.

1創設真實情境，在問題解決中讓算理從直觀走向數學抽象

教學內容的呈現要注重創設真實情境.真實情境的創設，可以從學生比較熟悉的社會生活、科學知識以及數學經驗等方面入手，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知的素材.這樣的素材，有助于學生從現實情境中抽象出數學知識與方法，有助于學生自主展開研究，解決現實問題，感受數學學習的價值與意義，提升學生的抽象能力、推理能力.

1.1在解決問題中直觀感知算理

教師創設與學生現實生活相關的情境，使學生直觀地感受數學和生活的聯系，有助于學生對知識的理解與掌握.除法的本質意義就是“平均分”，所以對“平均分”的理解一定是建立在學生直觀操作之上的.《義務教育教科書數學二年級上冊》中創設的分羽毛球情境，與學生的現實生活緊密聯系.結合羽毛球圖片（圖中4筒羽毛球，每筒10個，另有6個散裝羽毛球），學生從現實出發，動手分一分，并在分的過程中去思考怎么分比較好，要分幾次.結合生活經驗，學生很容易想到：分兩次，第一次分整筒的羽毛球，第二次分散裝的羽毛球.兩次分的過程，就是兩次除的過程，40除以2等于20，6除以2等于3，最后20加3等于23，算理在分的過程中清晰呈現.

分羽毛球的過程幫助學生進一步理解除法原理.學生不僅要知道計算的結果，更要探究結果獲得的過程，也就是算理.這有助于學生形成有條理的分析與表達的思維習慣.同樣，在后續的兩位數除以一位數的教學中，仍然需要學生在解決實際問題的過程中，理解如何分，分幾次，每次分多少，最后一共得多少.

1.2在意義理解中實現數學抽象

操作是基礎，實現有意義的理解是本質.學生根據生活經驗基本上能夠完成分羽毛球的過程.那么如何從操作過渡到數學的意義理解，是教師教學中的一個重要環節.教師要幫助學生經歷從操作到數學化的轉變過程，必須避免出現操作與意義理解脫節的現象.正如陶行知先生所言“事事在勞力上勞心，便可得事物之真理”.［2］

例如，教師結合“分小棒”的題對除法進行講解，實現知識的遷移，加深學生對算法的理解.

這種有意義的理解有利于學生理解算法，并結合數的組成對口算過程進行數學化的表達.學生完整表達的過程也是逐步抽象的過程.這樣的抽象過程不應局限于這一堂課，在后續的首位不能整除的兩三位數除以一位數的教學中也要延續這一思路.

2提煉核心問題，在數學表達中讓算法從程序走向意義建構

教師創設真實情境是為了能夠提出引發學生思考數學問題，鼓勵學生提出合理的且有意義的問題.問題的提出要能激發學生對新知識的學習探究，促進學生積極主動地思考，讓學生經歷數學思考、數學表達和遷移運用等學習過程，并體會數學學習與解決真實問題之間的聯系，從而認識到數學是理解、探究和表達真實世界的工具、方法和語言.教學中，教師要結合問題解決的過程提煉核心問題，并以問題串的形式展開教學.教師通過一系列問題的推進，引導學生在解決真實情境問題的過程中實現對數學知識的理解與建構.

2.1核心問題匹配情境問題解決，助力學生理解表達

核心問題的提煉不僅要關聯數學的本質，也要與創設的真實情境相匹配.教師創設源于學生現實的、有實際意義的、需要真實解決的問題，與學生的認知、需求相關聯，能有助于學生開展數學學習.

例如，結合分羽毛球的真實情境，教師可以設計這些問題，“先分什么，每班分到多少，還剩多少；再分什么，每班分到多少，還剩多少”.在此基礎上，教師提煉出除法筆算過程中的幾個關鍵問題，即“分幾次，先分什么，再分什么”.結合分羽毛球的過程中產生的一系列問題，學生能非常好地理解與表達筆算過程中每一步算法，從而準確把握筆算的過程.

2.2核心問題符合單元整體教學，助力學生模型建構

單元整體教學設計必須基于數學知識之間的內在邏輯關系.在教學中，教師要重視對教學內容的整體分析，要幫助學生建立結構化的數學知識體系.結構化的數學知識體系的建立，離不開單元整體教學中一系列結構化的核心問題的提出.因此，在教學中，核心問題的設計不能局限于某一課時的教學內容，要立足于單元整理教學.教師應以貫穿全局的視角來設計問題串，使學生在問題的思考中自主探究、自主學習.

3注重多維比較，在有意遷移中實現算法與算理的一致性

鄭毓信教授在《數學深度教學的理論與實踐》一書中提出，對于“聯系”的高度重視是數學教育現代化發展的一個重要特征.［3］在教學中，教師應該將新的學習與學生已有的知識和經驗很好地聯系起來.聯系的觀點在數學中的應用，應從對照比較、類比聯想開始，然后逐步深化，用發展代替重復，最后建立整體的結構性認識.比較是分析與綜合、抽象與概括不可或缺的條件.教學中，教師要有比較的意識，結合教學進度，幫助學生進行多維度、多角度地比較，在比較中幫助學生學會運用聯系的觀點分析和解決問題.

3.1注重未知與已知的比較，尋找關聯

數學教學內容的編排是螺旋上升、逐層推進的.新知識的學習都建立在原有知識的基礎之上.因此，在教學中，教師應該幫助學生將新知識與已有的舊知識建立關聯，使學生形成新的認知結構.

計算46除以2，學生無需列豎式筆算，也能憑直觀感知或生活經驗知道結果，但學習不能止于結果的獲得，還要探索其原因.教師應引導學生將列豎式筆算的過程與分小棒的過程、口算的過程進行比較，理解算理，并進行知識的遷移.例如，246÷2與46÷2比較，246比46增加了兩個百，這就意味著多分一次，多除一次.在不斷的未知與已知的對比中，學生逐漸理解筆算的過程，發現過程背后的實際含義，即算理.在這樣的對比中，學生從算理與算法的一致性出發建構筆算方法.這種筆算方法的教學，不是機械式的告之與操練，是一種自我的完善與獲得；不是為了筆算而筆算，是感知筆算過程的合理與簡便.

3.2注重異同情況的比較，實現遷移

比較，有兩個層面的含義，一是比，二是較.比，尋找相同點；較，對比發現差異.學習的過程是“比”和“較”雙線并進的過程.單元整體建構是學生在比較學習中逐步形成的.學習就像爬樓，一級一級，一層一層，在遷移中完成知識的建構.

與簡單的兩位數除以一位數（13除以2）的筆算方法相比較，難度大些的兩位數除以一位數（52除以2）的筆算過程同樣要經歷“商、乘、減、比”的過程.商，算一算商是幾；乘，檢驗分掉了多少；減，算一算有沒有分完76CRkvUHUIModbLSmr0uQA==，還剩多少；比，余數要比除數小.不同的是以往只有一層，只除了一次，這次除了兩次，所以有兩層.

兩層的豎式可以清楚地看到每次分什么，分掉多少，還剩多少.后續的單元教學中，教師將三位數除以一位數的筆算與兩位數除以一位數進行比較，引導學生進一步歸納筆算的方法.

兩位數除以一位數還有特殊情況需要討論.例如，將52÷2與46÷2的筆算過程進行比較，發現筆算過程相同，都是除兩次，先分幾個十，再分幾個一.不同的是，52÷2在計算5個十除以2時，商2余1，余下的這一個十要和個位上的2合起來繼續除；46÷2，在分十位上的4時正好分完，沒有余數.在這樣的異同比較中，學生領會其要點，掌握除法筆算的方法，并能順利遷移到其他問題的解決中.

教師引導學生從單元整體出發進行建構，層層對比，在對比中再次理解算理，逐步完善算法.學生從理解、記憶算法到掌握算法，再到后續自主地推理算法、應用算法，逐步提升運算能力.學生學習除法筆算的過程不僅僅是筆算技能的習得，更是其推理能力的提升.

4結語

“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯.”這是新一輪課改對教師提出的新要求.圍繞真實情境問題解決過程的設計有助于學生理解核心問題.教師以核心問題貫穿單元教學始末，并在每一課時的教學中加強新知識與舊知識的比較，幫助學生發現單元學習的本質，形成結構化的學習方式，從而實現對數學教學內容的整體理解與把握.這是單元整體教學設計的一條思路.在教學中，教師應圍繞不同單元的核心素養要求，探究適合學生發展的不同路徑，從而逐步培養學生的數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］周德藩.走近陶行知——教師讀本（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［3］鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

基金項目：江蘇省教育科學規劃“十四五”2022年度重點課題“大概念主導下的數學結構化學習實踐研究”（項目編號：B/2022/03/119）.