逆向思維在小學數學教學中的設計與應用研究

摘 要：在小學教與學的雙邊互動過程中，培養和訓練學生的逆向思維，可以幫助學生突破正向思維的局限，提高數學解題效率，完善學生的知識結構.但是根據目前的教學現狀來看，學生存在思維定式、思考方式單一等問題.為解決上述問題，本文對逆向思維分別在新授課、練習課、復習課的應用進行了研究，旨在提高學生逆向思維能力，養成逆向思考習慣.

關鍵詞：小學數學；互逆性題組；逆向思維

逆向思維是創新思維中不可缺少的思維方式.互逆性題組的設計和實施是豐富逆向思維發展的一大創新.在數學教學過程中，教師應注重學生的思想方法培養，而并非局限于呈現書本上的知識點.在此背景下，本文以互逆性題組為抓手來培養學生的逆向思維，為研究如何提升學生的逆向思維提供新的思路.借助互逆性題組來進行數學課堂教學在一定程度上幫助教師和學生解決了難題，但其在使用過程中也有其不足之處，所以互逆性題組的應用還需不停探索，仍需教師不斷地實踐與探索，以達到培養學生逆向思維的最佳使用效果．

1 新授課中互逆性題組的設計建議

1.1 創設逆向情境，養成逆向思考習慣

數學逆向思維能更完整全面地幫助學生理解數學概念、定理、公式等，因此，在數學教學中，教師除了以互逆性題組引導學生逆向思考外，還要適時地提供逆向學習的氛圍，創設逆向學習的活動，要在適宜的環境中帶領學生養成逆向思考的習慣.［1］提倡在數學教育中對學生進行數學逆向思維的訓練，并非否認傳統思維的重要性.傳統思維對于學生掌握數學的定義、定理、公式、性質等的認識依然起著主導作用，而且逆向思維與傳統思維并存，離開傳統的正向思維，逆向思維就失去了意義.另外，要想培養學生的數學逆向思維，還必須與教學內容和學生自身的條件相聯系，不能一味地去追求逆向思維，也就是“為逆而逆”．

以上面提到的兩點為基礎，教師在進行教學設計時，應該將知識本身的邏輯結構和學生的真實狀況作為重點.在引入、探究、練習、反思等教學環節中，教師對正與逆相結合的學習情境進行精心的設計，讓學生能夠從正、反兩個方面，更加順暢、自然地接收到數學知識.例如，在學習“認識長方形”這一內容時，教師可以設置一個猜一猜的環節：信封里裝的是個四邊形（如圖1），猜一猜可能是什么形狀.教師一步步地把圖形展露在學生眼前，引導學生通過觀察已經露出的圖形特征猜測信封里是什么圖形.在這個過程中，學生是通過逆向的思維推導圖形，加強學生對圖形特征的記憶.在這個情境中，有趣的活動會激起學生逆向思維的動力．

1.2 聚焦逆向提問，激發思維活躍性

在教學過程中，提問是必不可少的一個環節.有效的問題可以激起學生對問題的探索欲望.要培養正向思考，就要有正向問題的意識；要培養反向思維，必須反向發問.順問就是從因到果的問題；反問就是從結果出發，尋找原因.在教學過程中，教師可以結合順向和逆向提問，在正逆穿插中提升學生思考的多維度性，也能夠促進學生靈活變化思路，提升學生解決問題的能力.例如，在教學“小數的初步認識”這一課時，為了引導學生理解“0.1”，教師可以借助米尺，并提出以下問題.

問題1 這是1分米的紅紙帶（貼在米尺下面）.如果用“米”作單位，1分米是幾分之幾米？用小數表示是多少米？

問題2 這是3分米的黃紙帶（貼在米尺下面）.如果用“米”作單位，3分米是幾分之幾米？用小數表示是多少米？

問題3 這是1310米，也就是1.3米的藍紙帶，請大家想想：1.3米的紙帶到底有多長？

以上三個提問分別從順向和逆向兩個角度對學生進行提問，其中第一和第二個問題主要從順向提問，旨在讓學生感悟十分之幾與零點幾之間的關系，讓學生清楚十分之幾就是一位小數的其他表達形式，通過復習分數幫助學生學習小數；第三個問題是逆向提問，目的是在學生學習了小數以后，反過來通過分數進一步理解其意義.在這樣一反一正的教學中，教師通過正逆提問，幫助學生更加牢固地建立小數的意義這一知識點，促進學生對新概念的理解，建立正確又完善的觀念.構建概念和理解概念正是數學概念課教學的關鍵所在．

再如，在“三角形的面積”這一內容的教學過程中，學生很容易從自己的觀察中得到這樣一個結論：等底等高的兩個三角形，其面積相等.這個時候，教師就可以進行反向提問“兩個相同面積的三角形，就一定可以達到相同的高度嗎”，這種逆向思維的提問，可以讓學生一直處于一個積極的思考狀態，并可以從各個方面去分析問題，從而培養他們的逆向思維學習習慣.［2］

2 練習課中互逆性題組的設計建議

2.1 關注整體學生，創新分層性互逆題組

目前的數學課大多采用班級授課制，全班同學一起整理復習這一單元所有的知識點.在這個一起學習的過程中，學習成績較為優異的同學也許在復習前就已完全掌握了所有的知識點，甚至已經私下做了完善的復習工作；成績處于中下水平的一般學生，可能需要多次復習鞏固才能掌握這一單元的知識點.由于互逆性題組在內容設計上缺乏差異，并沒有設置多個難度層次的任務，導致練習時，成績優異的學生較容易就完成題組，不能引發他們的深度思考與探索；后進生對題組復習的內容跟不上，難以單獨完成較為復雜的題組，從而缺乏學習興趣，長此以往，便看到題組就心生畏懼，造成兩極分化問題．

不同層次的學生其認知水平和思維方式都是不同的.因此，教師在設計相應的互逆性題組時，要注重不同學生的認知水平.在制定互逆性題組的內容時，教師不僅要設計出一些簡單的題目，讓那些學習成績不好的學生可以自己去思考、去完成；還要設計有一定難度的題目，來激發那些學習成績優秀的學生去探索的欲望.從另一個角度來說，題目的展示要有一定的梯度，不能過于簡單或過于復雜，要由易到難、由淺入深、層層遞進，既要符合學生現有的水平，又要適當地超越學生的最近發展區.例如，教學“連加連減”的時候，教師在練習環節可以設計如下三組不同的互逆性題組.

基礎題 正向題：30+40-20=□.

逆向題：□+40=□-50=50.

強化題 正向題：張軍原來有30張卡片，后來又收集了20張，送給李明32張，張軍現在有多少張卡片？

逆向題：張軍原來有一些卡片，后來又收集了20張，送給李明32張后，還剩18張.張軍原來有多少張卡片？

拓展題 正向題：一個抽屜里放著40個玻璃球，每次拿出其中的一半，這樣重復操作3次，這時抽屜里還剩幾個玻璃球？

逆向題： 一個抽屜里放著若干玻璃球，每次拿出其中的一半，這樣重復操作3次，這時抽屜里還剩5個.抽屜里原有多少個玻璃球？

2.2 靈活運用題組，助力學生逆向編題

逆向編題可以引導學生自己去了解數據之間的邏輯關系，并對其進行科學地安排，然后根據現實生活中的例子，將其編成符合算式的應用題，從而達到引導學生從“被動解題”向“主動造題”的轉變.這相對來說是一項更高難度和挑戰性的任務.在小學階段進行長時間、有計劃、有系統地編制題目的練習，可以讓學生在處理各類逆向思維能力、數據關系能力、書面語表達能力、與生活實際應用相結合的能力等方面都有很大的提升.在對學生進行的逆向教學中，教師更多的是以積極的態度來展現逆向題組，更多的是用解決問題來推動逆向思維的發展，缺乏一種以算式為主要內容的逆向編題的教學方法．

逆向編題可以作為互逆性題組教學后期的一個拓展訓練，立足學生的邏輯起點，改變思維方向，讓學生從給出的問題入手，逆向思考，并結合學習的知識點，自己組織語言，理順邏輯，編造新的問題，然后與同學交換自己編的題.例如，給下面算式編題“2000÷（0.66×3.14×200）=？”，從給出的算式來看，一看見“3.14”便想到了π，猜測該題目涉及圓的知識點；從括號內看，沒有出現平方，因此大概率是求圓周長的問題；由“×200”猜測是求200圈的周長；問題中用了“÷”，可以推斷是物體長度之間的包含關系；從數理邏輯關系分析，可以看成行程問題中的有關求時間的問題.因此，這個算式編題可以為“小明騎自行車去上學，車輪直徑66cm，每分鐘踩200圈，他從家里到學校2000m，問大約需要多少分鐘”.

編題教學，既可以幫助學生鞏固知識，還可以加強學生的交流，讓學生成功地完成認知遷移，并在自己編寫題目的過程中，產生一種自豪感.這樣的教學和學習的轉換，可以將新知識和舊知識有機地連接起來，讓知識的發生、發展和應用變得更加清晰，可以有效地提升學生的學習能力．

3 復習課中互逆性題組的設計建議

3.1 引導逆向反思，鞏固方法總結

“授人以魚，不如授人以漁.”在小學數學教學中，為了確保學生的逆向思維得到有效的培養，教師要注重培養學生對典型問題的反思習慣，這是因為在學習過程中及時地反思能夠促進學生的問題解決能力的提升，完善其思維品質.［3］此外，引導學生學會自主地總結也是非常重要的.學生通過逆向總結加強各個知識點之間的關聯，自主尋找提升逆向思維的方法.例如，在“多邊形的面積”這節課上，教師在指導學生完成平行四邊形的面積計算之后，可以指導學生在實踐中總結出一些關于平行四邊形的面積計算的具體做法.一個良好的反思習慣能夠將問題轉化為一個學習過程，這樣不但能夠加強學生對數學知識的掌握，還能夠讓學生在逆向總結的過程中，逐漸提升自己的逆向思維能力，從而提高他們分析解決問題的能力．

3.2 結合數學文化，增加逆向思維寬度

數學文化故事能夠開闊學生的視野，帶領學生感受前人的智慧、思維風格和頑強探索的精神.教師引導學生嘗試解決數學文化里的小問題，可以培養學生開放性的頭腦，讓學生感受到多樣思維方式的重要性，學著換角度去思考、看待問題，進而增強逆向思維的寬度.

數學史上一些重要的、極具創造性的思想和成果往往是與大眾、與時代、與潮流所不符的.數學家羅巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky）的非歐幾何，就是數學史上運用逆向思維所成就的一個富有創造性的偉大成果．

例如，教師可以以“李白買酒”這一小故事引入.學生在之前的學習經驗中對李白有了一定的認知基礎，這就很好地增加了學生的熟悉感.教師將李白買酒的故事以文言文的形式展示出來，符合故事原型和人物背景，烘托了一種濃濃的歷史味道.“遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒.試問壺中原有酒幾斗.”如果利用順向思維去解決這道題，對學生似乎很難，但換一個思路學生就能較輕松地解決問題了.教學時，教師可以先讓學生將文言文變成白話文，再想一想可以用哪些數學符號表示買酒的過程，如“加一倍”用“×2”表示，“喝一斗”用“-8”表示.教師還可以提供場景圖片，讓學生通過擺一擺，并借助箭頭畫畫等形式，畫出買酒的流程圖，梳理思維脈絡.最后以“喝光壺中酒”就是“0”為突破口進行反向地推導與思考，進而高效地解決問題．

4 結語

創新教育對學生逆向思維能力發展，對提高教育實效、調動學生思維的發展具有重要意義.本文試圖通過設計指向逆向思維培養的互逆性題組設計，為逆向思維發展帶來了形式和內容上的創新．

參考文獻

［1］陳興強.芻議逆向思維在小學數學教學中的應用［J］.數學學習與研究，2023（27）：47-49．

［2］趙軍周.逆向思維在小學數學教學中的應用［J］.求知導刊，2023（1）：80-82．

［3］周國文.逆向思維在小學數學教學中的應用［J］.讀寫算，2022（35）：64-66．