核心素養背景下的初中數學單元整體學習內容統整與實踐

摘要：在對單元整體學習內容進行統整時，教師要注重體現數學知識之間的內在邏輯聯系以及學習內容與核心素養表現的關聯。以“平方差公式幾何意義的探索”一課為例，教師可從“深度挖掘學習內容，厘清數學核心素養培養起點；精準定位教學目標，指向數學核心素養培養終點；整體設計教學過程，突出數學核心素養培養關鍵點”三個方面入手，統整單元學習內容，培養學生的數學核心素養。

關鍵詞：單元整體教學；平方差公式；幾何意義；數學核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）對全面推進數學核心素養落地進行了重點要求，其中重視單元整體教學設計是有效途徑之一。“平方差公式幾何意義的探索”是入選2023年教育部精品課的數學實驗課之一，是人教版初中數學教材八年級上冊“平方差公式”內容的一部分。本課的教學強調用幾何手段驗證代數公式，建立數形聯系，其中“幾何意義”傾向于將代數式定義為幾何對象，利用代數式的等量關系構建圖形的等量關系來進行驗證。在統整和實踐“平方差公式幾何意義的探索”單元整體學習內容時，教師可從“深度挖掘學習內容，厘清數學核心素養培養起點；精準定位教學目標，指向數學核心素養培養終點；整體設計教學過程，突出數學核心素養培養關鍵點”三個方面入手，培養學生的數學核心素養。

一、深度挖掘學習內容，厘清數學核心素養培養起點

教師的視野決定了課堂設計的深度和廣度。教師需要在新課標的指導下深入地研究單元整體學習內容。教師對單元整體學習內容的解析可以從“橫向”與“縱向”兩個方面進行，其中，“橫向”是指與其他學習領域之間的關聯，“縱向”是指對學生以前學習內容的升華和對后續學習內容以及對學生數學核心素養培養價值的解析，由此可以確定課堂教學重點。平方差公式的幾何意義是借助幾何直觀解決公式驗證，而“幾何直觀需要借助幾何課程的系統學習，更多的是后天習得的結果”，為此，數學核心素養的培養是一個漫長的過程，其中對學生后期學習能力的培養是至關重要的。

平方差公式是初中數學“數與代數”領域“數與式”中的重要內容，是整式乘法運算的延續和優化。學生經歷大量多項式乘多項式運算之后，會發現滿足某些結構特征的多項式乘法是可以用平方差公式簡化計算的。同時，平方差公式也是后續因式分解、分式化簡的核心內容，更是代數推理的手段和工具。

在中學階段，數形結合是建立“數”與“形”之間聯系的重要思想方法，平方差公式的幾何意義是學生繼學習絕對值的幾何意義之后，再一次對數形結合思想的深刻感悟。由平方差公式到幾何圖形驗證公式是從“數”到“形”的過程，通過構建數學問題的直觀模型，突出幾何直觀的核心立意。由幾何圖形輔助得到平方差公式是從“形”到“數”的過程，具體通過實物剪裁、拼接，根據面積恒等式得到平方差公式。

基于以上分析，筆者確定教學重點為：平方差公式幾何意義的探索過程。

二、精準定位教學目標，指向數學核心素養培養終點

新課標中的課程目標是學生初中階段學習三年之后最終要達到的學習目標；教師參考用書中的目標是本章的單元目標，而教師根據每節學習內容確定的目標才是教學目標。新課程改革以來，過程性目標逐漸被廣大教師所重視，關注知識生成與發展的過程，培養學生動手能力，讓學生主動發現問題、提出問題已經被教師廣泛認可。在教學中，教師可分析學生知識和思維的障礙之處，從而確定教學目標。

【教學目標】（1）了解公式的幾何背景；（2）能用幾何方法驗證平方差公式。

【目標解析】達成教學目標（1）的標志是：知道通過面積可以驗證平方差公式。達成教學目標（2）的標志是：以絕對值的幾何意義喚起學生回憶，讓學生經歷尺規作圖得到線段和差的過程，體會到數形結合是研究“數”與“形”的重要思想方法；經歷正方形紙片的剪裁和拼接過程，能用不同的方法驗證平方差公式，感悟平方差公式幾何意義的本質是借助幾何直觀來深化學生對數形結合思想的理解。

【教學問題診斷分析】學生在經歷從整式乘法到平方差公式的歸納過程后，能識別公式特征并進行合理計算。但是，對于平方差公式的幾何意義，學生想不到的是怎樣從圖形角度驗證公式，想不通的是為什么要從圖形角度驗證公式，這些歸根到底是對數形結合思想的理解不夠透徹。如何借助幾何圖形驗證平方差公式是學生思維上的難點，即使有絕對值的幾何意義作鋪墊，學生也很難順理成章地想到平方差公式的幾何意義。為此，本節課的教學難點是：利用科學合理的幾何方法驗證平方差公式。

三、整體設計教學過程，突出數學核心素養培養關鍵點

教學過程是教師與學生積極合作、共同進步的過程，是學生接受數學知識、培養數學能力、拓展數學思維的過程，是培養數學核心素養的直接載體。精細的教學過程要能體現單元整體教學架構，創設能引發學生思考的問題情境，設計真實可靠的探究活動，讓學生在學習過程中逐漸培養數學核心素養。

（一）整體架構，引入幾何意義，滲透數形結合思想

【問題1】我們學過的哪些代數式是有幾何意義的，你能舉例說明嗎？

【師生活動】教師提問，給學生充分的獨立思考時間，學生在小組內交流想法，然后回答。

【追問】[3-2]的幾何意義是什么？[a-1]的幾何意義是什么？

【師生活動】 教師提問，學生思考并回答。

【設計意圖】通過問題1，教師引導學生建立思維框架，梳理常見的代數式幾何意義，通過對絕對值的幾何意義的再回顧，厘清[a]的幾何意義是“數軸上表示數a的點到原點的距離”，加深對幾何意義的理解與思考，初步體會數形結合思想。

【問題2】如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，a），以OA和OB為邊在第一象限內作正方形OACB，若正方形的面積為3，則點C的坐標為__________。

【師生活動】教師出示問題，學生獨立回答。

【設計意圖】學生從問題1中數軸上兩點間的距離過渡到平面直角坐標系中正方形的面積問題，得到代數式a2的幾何意義：可以看成邊長為a的正方形面積。學生從中體會從一維到二維的變化，第二次體會數形結合思想。

【問題3】已知線段a，b（如圖2）。請借助直尺和圓規按要求作圖。（不寫作法，保留作圖痕跡）

（1）作出線段AB，使AB = a + b；

（2）作出矩形ABCD，使矩形ABCD的面積等于a（a + b）。

【師生活動】學生利用直尺和圓規作圖，教師巡視，發現學生問題，指導學生作圖。

【設計意圖】學生通過尺規作圖，體會到代數式a + b與線段和差的關系，代數式 （a + b）2與正方形面積的關系，第三次滲透數形結合思想，建立“數”與“形”的聯系。

（二）創設情境，探究平方差公式的幾何意義

【問題4】從前有個狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應說：“好吧。”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚。你知道張老漢是否吃虧了嗎？請你畫出正方形土地變化前后的草圖，通過計算說明理由。

【師生活動】學生閱讀問題，思考并繪制草圖，通過建立數學模型，推理計算進行說明。

【設計意圖】從實際問題出發，激發學生學習興趣的同時，又能為說明平方差的幾何意義作好鋪墊。從代數式的角度思考“是否吃虧”問題（即大小關系問題），學生可以從圖形簡拼說明前后面積大小。

【問題5】若將問題4中的“一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米”改為“一邊減少b米，相鄰的另一邊增加b米”。

（1）請你借助手中的邊長分別為a或b的正方形卡片（a > b）（如圖3），通過剪裁、拼接等方式，從代數推理和幾何意義兩個角度猜想并求出（a + b）（a - b）的結果；

（2）在（1）的條件下，請你用其他方法驗證平方差公式（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【師生活動】學生先自己畫出驗證草圖，再用提前準備好的卡片，結合問題4的提示進行簡拼，驗證公式，教師參與小組活動，與學生交流合作。

【設計意圖】題（1）是將問題4中的特殊推廣為一般，借助問題4的幾何圖形架構出（a + b）和（a - b）的幾何模型，凸顯幾何直觀；題（2）從公式等號左、右兩邊思考拼接的方法，一方面，學生可以通過將（a + b）和（a - b）作為長方形邊長進行拼接；另一方面，通過a2 - b2進行拼接，學生可以將邊長為b的正方形放到邊長為a的正方形“一角”或者“內部”，再進行直接計算或者簡拼并完成證明。這樣，學生經歷動手操作、幾何直觀計算驗證的過程，從“數”和“形”兩個角度理解公式，再次感悟平方差公式的幾何意義。

【追問】事實上，我們今天的驗證方法受到了給定大小不等的正方形的限制，是否還有其他證明方法呢？請看下面方法。

如圖4，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點， CD⊥AB，垂足為D，若OA = OB = OC = a，OD = b，則AD = a + b，BD = a - b，根據?ACD ∽ ?CBD，所以CD2 = AD·BD=（a + b）（a - b）。

在Rt?OCD中，∠ODC = 90°，CD2 = OC2 - OD2，所以（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【設計意圖】平方差公式幾何意義的核心是數形結合，而“形”的選擇與組織應該是寬泛的。教師可為學生介紹一種非正方形背景的驗證方法，超越教材，開闊學生思維，讓學生更加深刻地體會到數學是真實的。

（三）拓展應用，借助數形結合解決問題

【問題背景】在問題4的背景下，張老漢經過測量，發現原正方形土地邊長為15米。

【問題解決】如圖5，張老漢準備在田埂上找一個位置P，使點P到A，B的距離和最小，求此時的最短距離。

【問題拓展】根據以上啟示，已知函數[y=152+x2+（10-x）2+52]，當自變量x為何值時，函數y有最小值？

【師生活動】學生獨立思考，小組合作交流討論，通過作圖研究解決問題方案。

【設計意圖】在問題4的背景下，教師強化題目條件，將正方形的邊長修改為15，讓學生確定幾何圖形形狀。“問題解決”中從特殊位置出發，從“形”到“數”，利用“兩點之間線段最短”和勾股定理相關內容進行計算研究，得出結論；問題拓展從“數”到“形”，引導學生將代數式[152+x2]和[（10-x）2+52]的幾何意義——求設定為邊長為15和x、邊長為（10 - x）和5的直角三角形的斜邊長，使學生再次感悟數形結合對解決問題的重要性，理解其本質就是借助“問題解決”中的“形”解決問題。

【作業設計】

1.請運用幾何方法研究歸納：哪些一元二次方程可以用與上述類似的方法構造出符合一個正根的正方形？（用適當的卡片進行拼接，畫出圖形）

2.開放性作業：請同學們課后去搜集數形結合的習題以及從幾何角度驗證代數式的案例，在下一節數學活動課上進行交流。

【設計意圖】開放性作業不僅有利于激發學生練習的興趣，鞏固課堂知識，還有利于促進學生對于數形結合的理解與應用。

在初中階段，數形結合已經成為學生數學學習與問題解決的基本工具，也是培養學生幾何直觀的重要途徑之一。事實上，數形結合具有不可替代性。當教師把知識縱向聯系之后，單元教學的架構思路就自然而然地體現，按照該思路實施教學，學生的數學核心素養也能得到提升。

參考文獻 ：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀［J］.中國數學教育，2022（Z3）.

（責任編輯：楊強）