人工智能技術在中學數學中的實踐應用

【摘要】隨著信息技術的飛速發展，數學的研究范疇與應用邊界得到了顯著的拓寬.在此背景下，信息技術與數學課程的深度融合成為推動中學數學學科發展的驅動力之一.人工智能作為信息技術領域中的一個重要分支，在數學實踐中展現出了獨特的優越性.本文探討人工智能技術在分類模型、預測模型、關聯模型、優化模型及聚類模型等多種數學建模問題中的應用，為培養信息技術時代中學生的數學素養與創新能力提供新的思路.

【關鍵詞】中學數學；信息技術；人工智能；數學建模；數學素養

隨著信息技術的飛速發展，尤其是人工智能的蓬勃興起，人類分析數據的能力實現了質的飛躍.同時，大數據時代對于源自網絡、文本、音頻、圖像等多維、多類型信息的數字化處理的需求也日益增長，這一趨勢顯著地拓寬了數學的研究范疇與應用邊界[1].《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在數學教學設計的課程與實施中應合理運用現代信息技術.《普通高中數學課程標準（2020年修訂）》強調將信息技術與數學課程內容進行整合，通過計算機軟件、互聯網、教育平臺等工具提高學生解決實際問題的能力.基于數學核心素養的確立，越來越多的信息技術被融合到中學數學體系中[2]，涵蓋了諸如概率統計[3]、函數分析[4]及幾何課程[5]等多個核心領域，不僅豐富了中學數學教學內容，還提升了學生的學習興趣與理解能力.

人工智能作為信息技術領域中的一個重要分支，其根基深植于計算機科學、控制論、信息論、神經生理學、心理學、哲學、語言學等不同學科的深度融合之中.人工智能致力于探索如何通過計算機技術模擬并再現人類的智能行為，不僅擅長處理傳統計算難以勝任的非數值計算任務，還具備卓越的知識管理、自動邏輯推理以及輔助決策等能力.人工智能的研究范疇非常廣泛，包括模式識別、自動推理、計算機視覺、機器學習、自然語言處理等領域.在中學數學教學實踐過程中融入人工智能技術，可以激發學生對數學的興趣，加深對數學理論知識的理解，進而提高邏輯思維、數據分析及解決問題的能力.

1人工智能與數學建模

當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們通常在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言來表述并建立數學模型，這個過程稱為數學建模.一般來說，數學建模的過程通常包括圖1中的6個步驟.

（1）明確問題：分析問題的背景和相關條件，明確其特征和建模目的.

（2）合理假設：對問題進行必要的簡化和假設，限定模型的使用范圍.

（3）構建模型：建立變量之間的關系，通常使用數學表達式、圖形、表格等工具表述.

（4）求解模型：選擇合適的數學方法或計算機技術對模型進行求解，常用的方法包括解析法、數值法、仿真法等.這個過程涵蓋了選擇算法、設置參數值、對模型進行求解等步驟，通常需要通過不斷地調整參數來尋求最優解.

（5）分析檢驗：將模型所得結果與實際數據進行比較，以驗證模型的準確性和可靠性.如果模型與實際吻合不佳，則需要重新審查假設條件、模型結構和求解方法等方面的問題，并進行必要的修正.

（6）模型解釋及應用：用現實世界的語言對模型進行解釋，使數學模型具有實際價值.

數學建模的應用場景非常廣泛，幾乎涵蓋了所有需要量化分析的領域.而現代計算機科學提供了很多數值計算軟件和仿真工具，極大地提高了數學建模的效率.中學數學建模強調立足于實際問題，在采集數據、建立模型、驗證模型的實際操作中，靈活運用數學知識和方法，提升解決問題的能力[6].如圖2所示，數學建模可以概括為優化問題、預測問題、評價問題、聚類問題等類型，其中每類問題都有不同的模型和算法.在模型構建時，需根據問題描述選擇適合的數學模型和算法，并優化參數，必要時可嘗試多種模型進行檢驗，從中確定最優的解決方案.

相較于傳統的數學建模方式，人工智能技術在數學建模中展現出了顯著的優越性[7-8]，主要體現在以下幾個方面：

（1）數據驅動的無假設建模：人工智能技術摒棄了傳統建模中對模型結構的預先假設，其建模過程更依賴于數據的內在規律和特征，實現了真正意義上的數據驅動.這種方式不僅簡化了建模流程，還提高了模型的適應性和準確性.

（2）提升解的質量：傳統建模方法往往容易陷入局部最優解，難以達到全局最優.人工智能技術憑借其強大的優化能力，提高了搜索效率，并跳出這些局部極值，從而顯著改善解的質量和穩定性.

（3）復雜數據的處理能力：現實中的數據往往包含結構化、半結構化和非結構化等類型，傳統方法難以有效處理.人工智能技術具有處理大規模、復雜數據的能力，可以從各類數據中提取有價值的信息.

（4）融合多種預處理和建模方法：通過集成先進的數據分析工具，人工智能技術支持數據收集、清洗、轉換、降維等操作，還可以整合各種建模方法和策略，不僅可以提升建模的效率，還可以通過互補優勢提高建模的準確度.

2人工智能在中學數學中的應用場景與案例

信息技術與中學數學融合的一個重要手段就是運用教學軟件來輔助教學[9].胡雨婷等將Maple軟件的圖像動畫演示功能應用到數學教學中[10]，劉革輝等研究了Mathematica在中學數學中的應用[11].SPSSPRO[12]是一個在線統計分析平臺，憑借其用戶友好的界面和豐富的功能，正逐步受到科研工作者、數據分析師及學校師生的關注.首先，SPSSPRO提供多種基礎的統計分析方法，包括頻數分析、描述分析、正態性檢驗、分類匯總、方差分析、卡方檢驗、相關分析、信度分析等.其次，在數據預處理方面，SPSSPRO提供異常值檢測與處理（確保數據的準確性和合理性）、數據采樣（如隨機抽樣、分層抽樣）、數據變換（如標準化處理）、缺失值處理（通過插補、刪除等方法減少數據損失）、數據編碼（將定性數據轉換為定量數據）、特征選擇（從原始變量中篩選出對模型貢獻最大的特征，以提高分析效率）以及數據降維（簡化數據結構）等.SPSSPRO具有強大的數學建模功能，不僅覆蓋了傳統的統計分析，還融合了多種人工智能技術，為各應用領域提供全面的數學建模解決方案.

2.1分類模型

分類是從一組已知類別的數據中發現類別和其他特征之間的依賴關系，主要用來預測新數據的類別.現實生活中，許多問題都可以抽象為一個分類問題，商業、金融、保險、醫療衛生、公共管理、科學研究等領域都可以看到分類的廣泛應用.目前應用較廣的分類方法有決策樹、神經網絡、支持向量機和貝葉斯等.

決策樹將復雜的分類難題拆解為一系列較為簡單的分類任務，它以樹形結構呈現，依據層級分為根節點、內部節點和葉節點.每個節點關聯一個樣本集合：根節點代表整個數據集，內部節點則對應著數據的一個子集，而葉節點則指向一個類別標簽.在決策樹中，根節點與內部節點均承載著對樣本特征的測試任務，這些測試基于特征值的不同將樣本集逐步細分為更小的子集，每個分支都代表了一個子集的劃分，且由該次測試的特征值明確標識.最終，葉節點作為分類的終點，攜帶了對應樣本集的類別信息.從葉節點的視角審視，決策樹實質上是將數據空間細致劃分為多個子空間，每個子空間內的所有樣本均被統一歸類為該子空間對應葉節點的類別.因此，決策樹的構造過程實際上就是對數據空間不斷細分的過程，而每個葉節點對應著從根節點到該葉節點的路徑上的一系列測試條件的“與”運算.

案例1：某學校通過線上方式向全校學生發放調查問卷，以引導學生合理參與機器人社團活動.為了構建一個既基于學生興趣、特長，又兼顧學業成績的決策模型，可以遵循以下步驟來設計：

（1）確定決策目標：是否參加學校機器人社團活動作為決策樹的葉節點，即類別標簽.

（2）識別關鍵特征：根據調查問卷，識別出三個關鍵特征：興趣、特長、成績.

（3）構建決策樹：以調查問卷作為訓練樣本，利用決策樹算法建立分類模型，其結構如圖3所示.

（4）決策樹應用：根據這個模型，首先對興趣進行測試，如果無興趣，則選擇不參加社團活動；如果對社團活動有濃厚興趣或者興趣一般，則需要進一步判斷.如果興趣濃厚，則需要考慮成績因素.如果成績良好以上，則選擇參加社團活動；如果成績較差，則選擇不參加社團活動.如果興趣一般，則需要考慮特長因素.如果學生的某項特長與社團活動相關，則選擇參加社團活動；如果特長與社團活動無直接關聯，則選擇不參加社團活動.

2.2預測模型

預測模型的核心任務在于識別并量化自變量與因變量（即需預測的變量）之間的依賴關系.例如，通過構建預測模型，可以洞察房價與面積、樓層、樓齡等特征之間的關系.當有顧客咨詢新的房產時，只需將相關的數據輸入該模型，即可迅速估算出房屋的報價.雖然最終目的都是用來預測，預測模型的因變量是數值類型，而分類模型的因變量是類別.

傳統的回歸分析始于對數據分布特性的預設假設，依據這些假設構建特定的數學模型.然后，利用實際觀測到的數據，通過統計方法求解出模型中的參數值，使模型準確地反映數據間的真實關系.人工智能技術具備更強大的預測能力，其預測基礎僅建立在因變量與一系列相關變量之間的內在聯系之上，而不需要對數據分布預先做出假設.預測模型的準確度常用以下指標來衡量.

MSE（均方誤差）：預測值與實際值之差的平方的平均值，該值越小，表示模型的準確度越高.

RMSE（均方根誤差）：將MSE的結果調整回與原始數據相同的量級，使得誤差值更易于解釋，該值越小，表示模型的預測準確度越高.

MAE（平均絕對誤差）：預測值與實際值之差的絕對值的平均值，該值越小，表示模型的準確度越高.

R2：預測值與實際值之間的相關性的平方，該值越接近于1，說明模型的預測值與實際值之間的相關性越強，即模型的準確度越高.

案例2：已知表1中的房地產歷史數據，通過綜合考慮面積、樓層及樓齡等多重因素，估算出房價.為了提升預測模型的準確性與可靠性，一般應用多種模型進行綜合評估，過程如下：

（1）確定自變量和因變量：根據問題描述，自變量為面積、樓層、樓齡，因變量為房價.

（2）選擇預測模型：選擇線性回歸模型、決策樹回歸、K-近鄰、神經網絡分別構建預測模型.

（3）結果評估：表2給出了四種模型的評估結果，其中決策樹模型在所有指標上的準確度最高，因此，建議選擇決策樹模型應用于房價預測.

2.3關聯分析模型

關聯分析致力于探索兩個或多個對象之間可能存在的關聯模式[13]，從而揭示了數據背后的隱藏規律.關聯分析最初應用于對顧客購買商品的挖掘，聚焦于那些頻繁共現于同一購物籃中的商品組合.當某些商品在顧客交易事務中的共同出現次數達到預設的統計學閾值時，就意味著這些商品之間存在著某種隱性的關聯.在貨品管理方面，關聯分析可以幫助商家預測哪些商品可能會成為熱銷組合，從而提前備貨，減少缺貨風險，還可以設計促銷套餐，如“買一送一”或“組合優惠”，以激發顧客的購買欲望，提升整體銷售業績.從廣義的視角來看，這種關聯涵蓋了并發、因果、時序等多種復雜關系.在數學建模中，關聯分析通過發現數據項之間的關聯性，為預測分析提供了重要信息和依據[14]，常與其他預測方法結合使用，以提高預測的準確性和有效性.

假設A，B是數據項的集合，關聯規則AB，表示當A出現在一次事務中時，B出現在同一事務中的可能性較高.常用的量化標準包括支持度、置信度等，用來定義關聯規則在統計上的意義.規則AB的支持度定義為A，B同時出現的可能性，也就是統計學中的概率. 規則AB的置信度定義為包含A的事務同時也包含B的可能性，也就是在A出現的條件下B也出現的概率.以表3為例，規則“牛奶可樂”的支持度為40%，置信度為66.7%.

案例3： 學校想了解學生參加興趣班的情況，擬利用關聯規則挖掘興趣班之間的潛在關聯.具體步驟如下：

（1）數據收集與整理.

首先，設計并發放調查問卷，包含學生參加的所有興趣班選項（如編程、音樂、繪畫、體能、球類、舞蹈、科學實驗、樂器等）.

（2）數據預處理.

將問卷數據轉換為二進制（0/1）形式，其中1表示學生參加了該興趣班，0表示未參加.將每個學生的選課情況視為一個事務，所有學生的選課情況構成事務數據庫.

（3）應用關聯規則算法.

根據研究目的和數據特性，設定合適的支持度和置信度閾值，篩選出有意義的關聯規則.

（4）關聯規則解釋和應用.

對關聯規則進行解讀，分析為何這些興趣班之間會存在關聯.例如，“學生參加了編程興趣班Symbol^C@

學生參加了科學實驗興趣班”，該規則的支持度為20%，置信度為80%.這說明在所有學生中，有20%的學生同時參加了編程和科學實驗興趣班；而在已經參加編程興趣班的學生中，有80%的學生也參加了科學實驗興趣班.基于以上分析結果，學校可以向學生推薦相關的興趣班組合，或者考慮在課程設置和教學資源上做出調整，以更好地滿足學生的興趣和需求.

2.4優化模型

在優化問題中，目標函數常包含多個局部最優解，這使得在求最優解時容易局限于某個局部極值，難以得到全局最優解.為增強算法的全局搜索能力，常采用隨機搜索算法進行優化，包括進化計算、群體智能等策略.

進化計算是一種來源于自然界生物進化機制的自組織、自適應隨機搜索方法.它涵蓋了遺傳算法、進化規劃、進化策略及進化編程等多個分支，通過模擬生物進化過程中的遺傳、變異、選擇和適應等機制求解復雜問題.遺傳算法作為進化計算的核心之一，借鑒了“自然選擇”的生物進化原則及孟德爾的遺傳學說.如圖4所示，它從一個初始種群開始，利用選擇、交叉、變異等遺傳操作，不斷迭代進化種群，提升解的適應度.在選擇過程中，適應度高的個體更有可能被選中參與下一代的繁殖；交叉操作則促進不同個體間優良基因的組合；變異則以極低的概率隨機改變某些基因，以增加種群多樣性.重復這個過程直至算法收斂為止.遺傳算法特別適用于處理傳統數學方法難以直接解決的復雜優化問題，例如物流運輸路徑優化[15]、電動汽車能量管理優化[16]等.圖4遺傳算法的基本步驟

群體智能算法則模擬自然界中昆蟲、獸群、鳥群等群體的協作行為，通過群體智慧在解空間中搜索最優解.目前，已有多種群體智能算法得到廣泛研究和應用，如蟻群算法、粒子群算法、菌群算法、蛙跳算法、人工蜂群算法等.此外，近年來還涌現了蜻蜓算法、螢火蟲算法、布谷鳥算法、蝙蝠算法、磷蝦群算法等一批仿生算法，為求解各類優化問題提供了更多選擇[17-18].各種群體智能算法的原理參見表4.

2.5聚類模型

聚類分析旨在探索數據集中對象的自然分組，它不依賴于預定義的類別標簽，而是依據對象間的相似度自動將數據分組.在這個過程中，聚類算法會尋找數據的內在結構和模式，將相似的對象聚集在一起，形成不同的群組，同時確保這些群組之間具有足夠的差異性.聚類分析廣泛應用于多個領域，幫助人們從復雜的數據中識別出隱藏的結構，進而為決策制定、趨勢預測、模式識別等提供有力支持[19].《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的數據分類實際上為基于數據相似度的聚類分析[20].

聚類分析有多種算法可供選擇，每種算法都有其獨特的優勢和適用場景.例如，劃分聚類算法以其簡單、高效著稱；而層次聚類算法則能夠提供更為靈活的聚類結構，可根據需要調整聚類的層次和數量.

案例4：某學校計劃對初一學生進行身高、體重、肺活量等基礎體質測試，并根據測試結果提供針對性的健康指導和教學建議.這個問題可以通過聚類實現，步驟如下：

（1）數據收集與整理：記錄每位學生的測試數據，由于身高、體重、肺活量等指標的度量單位不同，為了消除量綱差異對聚類結果的影響，需要先對數據進行歸一化處理.

（2）聚類算法選擇：根據數據的特性和分析需求，選擇合適的聚類算法.

（3）執行聚類分析：根據數據間的相似度將學生分組，形成若干個聚類.

（4）聚類結果評估與解釋：根據聚類結果，分析每個聚類的特征，如身高、體重、肺活量的平均值，具體結果參見表5.依據各組特征的平均值，可以將這三組依次標記為“及格”“一般”和“優秀”.

（5）個性化指導：根據學生的體質等級，制定健康指導和教學建議.例如，為等級為及格的學生制定增強體質的計劃，為等級為優秀的學生提供更高層次的鍛煉建議.

3結束語

《教育信息化2.0行動計劃》指出，“推動信息技術和智能技術深度融入教育全過程，改進教學、優化管理、提升績效”.信息技術與中學數學課程內容的融合具有巨大的潛力，目前尚有許多未被充分挖掘的領域.人工智能的核心在于模型和算法，可為其他科技領域提供強大的技術支持.在中學數學的學習中，應特別關注并充分利用人工智能技術的優勢，借助先進的數據分析工具，使復雜的數學過程直觀化、簡單化和智能化.

參考文獻

[1]賈璞，宋乃慶.大數據時代中學生數據素養：內涵，價值與構成維度[J].電化教育研究，2020，41（12）：28-34，58.

［2］宋倩茹，高守寶，王晶瑩.新中國成立70年中學理科課程中信息技術應用的模式演變研究：基于數學、物理、化學和生物課程標準的文本分析[J].數字教育，20206（01）：59-65.

［3］駱世璇，孫小軍，陳建明，等.信息技術與中學概率統計教學融合的歷程與思考［J］.教學與管理，2024（12）：88-94.

［4］徐亞楠，孫丹丹.信息技術在中學幾何教學中的融合現狀［J］.數學之友，2024（01）：18-20，24.

［5］董曉婧，吳貴春，龍周萍.信息技術與數學課程整合探析：以“一元二次函數圖像”為例［J］.中國教育技術裝備，2023（17）：26-30.

［6］蘇圣奎，陳清華.基于創新人才培養的中學數學建模課程體系構建［J］.人民教育，2021（07）：55-58.

［7］陳梅香，晏瑜敏，林荔娜，等.“人工智能+”時代下中學數學課堂教學效益提升策略研究［J］.創新創業理論研究與實踐，2021，4（09）：10-11，14.

［8］張凱琪. 人工智能算法在數學建模中的優化研究［J］.電聲技術，2021，45（12）：76-78.

［9］趙丹丹. 教學軟件在中學數學教學中的應用研究［D］.延安：延安大學，2022.

［10］胡雨婷，高雪，范婧麗，等.淺析Maple軟件在中學數學教學中的應用［J］.內江科技，2022，43（11）：62-63.

［11］劉革輝，王平.Mathematica軟件在中學數學教學中的應用實踐［J］.電腦知識與技術（學術交流），2007（11）：1426，1447.

［12］Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. （Version 1.0.11）［EB/OL］.https：//www.spsspro.com.

［13］霍桂利.關聯規則挖掘相關技術綜述［J］.山西煤炭管理干部學院學報，2010，23（03）：181-182.

［14］張崇林，虞麗娟，吳衛兵.關聯規則數據挖掘技術在體質測試分析中的應用［J］.上海體育學院學報，2012，36（02）：42-44.

［15］梁建梭，唐慧羽，王錄通.數學建模優化物流運輸路徑可行解的改進算法及應用［J］.中國儲運，2024（03）：138-139.

［16］黃阿娜，習璐.基于遺傳算法的電動汽車能量數學建模及優化方法［J］.自動化與儀器儀表，2024（01）：79-84.

［17］李云娟，樊雪雙.基于數學建模的PSO-DE算法在機器人智能揀貨過程中的應用研究［J］.自動化與儀器儀表，2024，3：197-200，205.

［18］孟小燕，趙希武.基于蟻群算法的計算引擎均衡部署數學建模［J］.計算機仿真，2022，39（11）：472-476.

［19］王錦升，蔣志豪，房鵬程，等.基于數據挖掘對城市公交站點優化的數學建模［J］.數學建模及其應用，2019，8（04）：38-47.

［20］李建，秦德生.如何理解新課標初中階段的“數據分類”［J］.中學數學雜志，2024（04）：14-15.

作者簡介

陳安（1970—），男，山東東平人，研究員，致力于科技政策和智庫研究.

陳寧（1974—），女，福建永泰人，副研究員，致力于人工智能和大數據技術研究.