用“語文”學數學

【摘要】數學往往需要用語言文字來表述，“語文”學科的知識素養和能力直接影響數學的學習，特別是用好“語文”的字義、句義和“語文”的眼光、邏輯以及閱讀與寫作能力等對數學學習有非常大的推動作用.

【關鍵詞】語文字義；語文句義；語文眼光；語文邏輯；語文閱讀；數學學習

語文被譽為百科之父，對各學科的學習具有重要的指導作用，數學是通過文字語言、符號語言、圖形語言來表述的，其中的文字語言就與語文息息相關.語文中的邏輯推理與數學思維也是緊密相連的.前蘇聯數學教育家斯托利亞爾說：“數學教學也就是數學語言的教學.”吳軍博士在他的《谷歌方法論》中提到，學好數學要做好三件事情：首先是閱讀理解，其次是建立比較完整的數學知識體系，第三是善用邏輯.所有這些都表明用語文學數學是非常必要、非常重要的學習方式.

1用“語文”的字義去學數學概念

有些學生對概念（定義）、定理（公理、原理）、性質根本不重視，導致對學科知識的生成、發展不能深度理解，不能真正形成知識.很多學生出錯的根源就是因為概念不清而學不好數學.

數學中很多概念的名稱都是合乎情理的命名，如空集、充分條件、必要條件、中位數、眾數、仰角、俯角、反函數等，所以數學的概念有語言學科的特點，抓住這些特點，可以幫助學生理解概念、發展概念.

先說反函數的概念，其數學語言表述為：設函數y=f（x），x∈D滿足：對于值域f（D）上的任意一個y，D中有且只有一個x，使得f（x）=y，則按此對應法則得到一個定義在f（D）上的函數，稱這個函數為f（x）的反函數.這樣的表述符合數學的精準性和科學性，但是不利于大多數學生學習、理解.從“語文”的字義角度審視“反函數”的名字，實際上就是“反過來也是函數”，即對于函數y=f（x），x∈D，若對于f（x）的值域中的任意一個值，通過y=f（x）這個對應法則（更多時候這是一個關于變量x，y的方程型等式）可以在D中找到唯一的值x與y對應（若y=f（x）是方程，即通過此方程反解出的x（x∈D）是唯一的），這樣就滿足函數的概念了，所以將x看成因變量，y看成自變量就可稱x=f－1（y）為函數y=f（x），x∈D的反函數，而我們習慣以x作自變量，y作因變量，所以函數y=f（x），x∈D的反函數記作y=f－1（x），此式中的x是函數y=f（x），x∈D中的y，y是函數y=f（x），x∈D中的x，故y=f－1（x）的定義域為f（D），值域是D.

通過“反函數”可以看出，用“語文”的字義重新改述為符合學生認知水平的語言后，原本晦澀難懂的知識就變得輕松了，而且還加強了對反函數與原函數定義域、值域關系的理解.

再舉一個“中位數”的例子.從“語文”字義理解，中位數就是中間位置的數，雖然不嚴密，但可以輔助理解概念，然后再結合數學學科知識去達到“準確化”，于是可以將“中位數”的教與學作如下“準確化”.

中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數.從概念理解“中位數”就是中間位置的數，怎么樣才算“中間”？需要把這組數據按從小到大（或從大到小）的順序排列后就出現了“中間”.

進而結合數學知識可以將中位數的概念深刻理解為：中位數表示一組數據的中間水平，它的本質就是數據排列好了以后中間的那個數.如果有偶數個數據，那么中位數就是中間兩個數據的平均數；如果有奇數個數據，則中間那個數據就是中位數.中位數概念中的“中位”體現“位置特征”即中間位置的“數”，但這個“數”有可能不是樣本數據中的數.這樣理解后就破除了學生的易錯點：中位數可能是給出的一組數據中的數，也可能不是.

例1樣本數據16，24，14，10，20，30，12，14，20的中位數是 .

分析 根據中位數的本質意義將數據16，24，14，10，20，30，12，14，20按照從小到大的順序排列為10，12，14，14，16，20，20，24，30，得到中位數是16.

如果求樣本數據16，24，14，10，20，12，14，20的中位數則為15.

2用“語文”的句義學數學

在數學試題中，有時不會直接給出明顯的“數學條件”，而是通過文字敘述來表達某種關系，這時我們就要根據“語文”的句義將這種關系轉化為“數學條件”，才能順利解題.

例2（2024年高考數學新課標Ⅰ卷第18題）已知函數f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（3）若f（x）＞－2當且僅當1<x<2，求b的取值范圍.

分析（1）（2）略；

（3）要解決好本小題，必須先用好條件“若f（x）＞－2當且僅當1<x<2”.就是這個關口，很多考生不能過，導致后續無法進行.用“語文”的句義轉換即是不等式f（x）＞－2的解集為（1，2），則f（1）=－2，這樣就可以確定參數a的值為－2，順利通過這個關口，為后續解決f（x）＞－2當且僅當1<x<2，即lnx2－x－2x+b（x－1）3＞-2對1<x<2恒成立打下堅實基礎.

例3首項為-24的等差數列，從第10項開始為正，則公差d的取值范圍是（）.

A.d＞83B.d＞3

C.83≤d<3D.83<d≤3

分析當年好多考生沒理解好“從第10項開始為正”，誤以為就只是第10項為正，結果做錯了.因為題中數列是等差數列，按照“語文”的句義，“從第10項開始為正”是兩層關系，一是第10項為正，二是第9項不為正（注意不應該理解為第9項為負）.

解設題中等差數列為an，則a1=－24，a10＞0，a9≤0，所以－24+9d＞0，－24+8d≤0，解得83<d≤3，答案為D.

3用“語文”的眼光學數學

數學中有“判定定理”“性質定理”等，學生往往不能理解其深刻含義，更難把它們用好用活.從“語文”的眼光看“判定定理”就應該是用來判定某種關系是否成立的重要而常用的依據.如直線與平面平行的判定定理，我們可以這樣來深刻理解：該定理的用途是判定直線與平面平行，因為取名叫“判定定理”，所以絕大部分判定直線與平面平行的問題應該要用“判定定理”，即：要判定直線a與平面α平行，思路就首先應該是看平面α外的直線a是否與平面α內的某一條直線b平行，若能找出這條直線b與a平行就可確定a∥α.通過深刻理解，我們就認識到怎么去判定直線與平面平行，怎么去尋求解題思路，破解了判定直線與平面平行的難點.

又以平面與平面垂直的“性質定理”為例，那就是已知兩個平面垂直，然后能得出什么結論：若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，則a⊥β.深刻理解：已知兩個平面垂直，那就要想到用平面與平面垂直的性質定理，這是解決問題的重要思路，有時條件“不夠”，創造條件都要去用“性質定理”.

例4已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求證l⊥γ.

分析題目中出現了α⊥γ，β⊥γ，即面面垂直，那就要想到用性質定理，可是題目中沒有性質定理條件中的直線，好像條件“不夠”，那就創造條件“作交線的垂線”：設α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ內作兩條分別垂直于m，n的直線，這樣難點就攻破了.

證明 如圖1，設α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ內取一點A（Am，An），分別作AB⊥m于B，AC⊥n于C，由α⊥γ，β⊥γ，根據面面垂直的性質定理得AB⊥α，AC⊥β，而α∩β=l即lα，lβ，所以AB⊥l，AC⊥l，于是l⊥平面ABC，即l⊥γ.

4用“語文”的邏輯學數學

“語文”的表達方式有敘述、描寫、說明、議論、抒情5種，這5種表達方式其實也暗含著邏輯.以語言文字為載體的數學問題常常是通過已知條件或知識進行邏輯推理而解決的，這時就要用到語言文字中的邏輯關系.

例5（2019年全國高考數學Ⅱ卷試題）

圖2古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂到肚臍的長度與肚臍到足底的長度之比為5－12≈0.618，稱為黃金分割比例，如圖2，著名的斷臂維納斯便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5－12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端長度為26 cm，則其身高可能是（）.

A.165 cmB.175 cm

C.185 cmD.190 cm

分析此題通過所給條件計算可選出答案，但很費時間.如果從“語文”的邏輯來閱讀試題，可以得到肚臍到足底的距離應該大于腿長，即0.618x＞105（x為身高），所以x＞169.9，且x接近于169.9，馬上就可選出答案為B，這充分體現了“邏輯”的作用.

點評此題結合斷臂維納斯的背景，取題新穎.主要考查了有關黃金分割的計算.題目較長，對學生的閱讀理解能力和計算能力都有要求.根據題目已給條件無法求出身高的準確值，只能估算出身高范圍，這就是“語文”的邏輯，再用排除法就可選出正確答案.

例6（2020年全國高考數學試題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可以視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）.

A.5－14B.5－12

C.5+14D.5+12

此題同樣是利用“邏輯”簡化過程、節約時間.由圖3可知其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值最接近1∶1，而5≈2.2，把2.2代入四個選項分別算出0.3，0.6，0.8和1.6，只有0.8最接近1，所以選C.

5用“語文”的閱讀能力學數學

人教A版（2019）教材配有“文獻閱讀與數學寫作”欄目，可以有效地調動學生學習的積極性與主動性，培養學生的數學文化素養，有利于學生對核心概念的整體理解與把握[1].

數學中的“閱讀與寫作”，要將“文獻”“讀”懂然后理解，這就需要用語文的語義將閱讀材料轉化為數學問題；而數學寫作也離不開語言文字的表述，要想將所寫內容表述清楚、準確，離不開語言文字.完整的數學試題解答相當于一篇完整的“說明文”或“議論文”，用語要規范、科學且符合數學邏輯習慣，這些都需要具備扎實的語文知識和深厚的語文功底.

例7（2019年新課標Ⅰ卷第21題）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api－1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=－1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假設α=0.5，β=0.8．

（i）證明：{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數列；

（ii）求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

分析 本題語言文字多，閱讀量大，理解題意的難度也大.用“語文”的閱讀能力厘清關鍵點為：

pi（i=0，1，2，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，并不是“甲藥的累計得分為i”的概率.

解（1）X的所有可能取值為－1，0，1．

P（X=－1）=（1－α）β，P（X=0）=αβ+（1－α）（1－β），P（X=1）=α（1－β），X的分布列為：

（2）（i）證明：因為α=0.5，β=0.8，所以由（1）得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．

因此pi=0.4pi－1+0.5pi+0.1pi+1（i=1，2，…，7），故0.1（pi+1－pi）=0.4（pi－pi－1），即（pi+1－pi）=4（pi－pi－1），又p1－p0=p1≠0，所以{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）為公比為4，首項為p1的等比數列.

（ii）由（i）可得，

p8=（p8－p7）+（p7－p6）+…+（p1－p0）+p0=p1（1－48）1－4=48－13P1，

因為p8=1，所以p1=348－1，

于是P4=（p4－p3）+（p3－p2）+（p2－p1）+（p1－p0）+p0=44－13p1=1257．

P4表示最終認為甲藥更有效的概率．

由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為P4=1257≈0.0039，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．

數學不僅僅是數學符號和圖形等表達的學科，它與語言文字密切相關，在數學解題時要做到“前言”搭“后語”，用“語文”的知識、觀念和習慣改善數學的學習.蘇步青教授說：“如果說數學是自然科學的基礎，那么語文則是這個基礎的基礎.”他在擔任復旦大學校長時曾說過：“假如許可復旦大學單獨招生，我的意見是第一堂課就考語文，考后就批卷子.不合格的，以下的功課就不要考了.語文你都不行，別的是學不通的.”作為一個知名的數學家，他卻坦言：“語文是基礎，是成才的第一要素，沒有一定的語文素養根本學不好數理化等其他科目.”由此足見用“語文”學數學的重要性.

參考文獻

[1]何睦.新教材中“文獻閱讀與數學寫作”欄目的教學價值與思考[J].數學通訊，2023（04）：2.

作者簡介

張昌金（1968—），男，四川資陽人，中小學高級教師，四川省特級教師，四川省骨干教師，成都市優秀教師，內江市優秀教師；研究方向為高中數學教學與研究；發表文章26篇.