給“二級結(jié)論”在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用提個醒

【摘要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“二級結(jié)論”有著廣泛的運(yùn)用．但如果處理不當(dāng)，運(yùn)用“二級結(jié)論”可能會遭到“反噬”.在實(shí)際教學(xué)中首先應(yīng)重視“通性通法”的運(yùn)用；其次，如果要利用“二級結(jié)論”，必須先弄清楚來龍去脈，再加以有針對性地運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】二級結(jié)論；注意點(diǎn)；通性通法

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有眾多的“二級結(jié)論”，它是指我們在教育教學(xué)中，由教材中現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)規(guī)律以及原始公式等形式進(jìn)行歸納提煉，或運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到的在一定條件下成立的結(jié)論.二級結(jié)論可以是文字描述，也可以是具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式.在解題過程中，若能正確地利用二級結(jié)論加以應(yīng)用或遷移，對于突破解題障礙、尋找解題思路和提高解題能力能夠起到事半功倍的作用.但如果處理不當(dāng)，運(yùn)用二級結(jié)論可能會遭到“反噬”.筆者將運(yùn)用二級結(jié)論進(jìn)行問題解決時的若干個注意點(diǎn)陳述如下.

1運(yùn)用常見的“二級結(jié)論”解題時，應(yīng)注意應(yīng)用的前提和條件

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的二級結(jié)論很多，涉及到大部分的章節(jié).如果我們能夠靈活地運(yùn)用它，就能節(jié)省時間，提高解題的效率.但是要特別注意每個二級結(jié)論的推導(dǎo)過程，記清楚它的適用前提和條件，避免由于錯用而造成不應(yīng)有的損失，謹(jǐn)防“失之毫厘，謬以千里”.

案例1人教版新教材選擇性必修第一冊 98頁的習(xí)題2.5第8題：

求圓心在直線x－y－4=0上，并且經(jīng)過兩個圓x2+y2+6x－4=0與x2+y2+6y－28=0交點(diǎn)的圓的方程.

此題如果采取聯(lián)立方程組解決的方法，其解題過程會稍顯繁瑣.因此絕大多數(shù)學(xué)生利用教師先前介紹的圓系理論解決的方法，即：

設(shè)x2+y2+6y－28+λ（x2+y2+6x－4）=0，可得（1+λ）x2+6λx+（1+λ）y2+6y－28－4λ=0.（1）

把圓心（－3λ1+λ，－31+λ）代入所給的直線方程，可解得λ=－17，再代入（1）式即可得到所求的圓的方程為x2+y2－x+7y－32=0.

但課后有學(xué)生在教材參考書上碰到了如下問題并用以上相同的方法進(jìn)行了解決：

求圓心在直線x－y－3=0上，并且經(jīng)過兩個圓x2+y2－1=0與x2+y2－6x+8=0交點(diǎn)的圓的方程.

設(shè)x2+y2－1+λ（x2+y2－6x+8）=0，可得（1+λ）x2－6λx+（1+λ）y2－1+8λ=0.（2）

把圓心（3λ1+λ，0）代入所給的直線方程，可是λ的值解不出來，難道上面的結(jié)論不對嗎？

于是筆者向這位學(xué)生介紹了以上有關(guān)的二級結(jié)論能夠運(yùn)用的兩個前提條件：首先這兩個已知圓必須有兩個交點(diǎn)；其次其中有一個已知圓不能被表示.他這才恍然大悟.

評注“真理再向前跨出一步往往會變成謬誤”，也就是說，真理也有它的適用范圍.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用一些高中數(shù)學(xué)教材中所沒有的、在高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的或者未經(jīng)檢驗(yàn)的二級結(jié)論時，應(yīng)該三思而后行，注意其運(yùn)用的前提條件，否則就會誤入歧途、得不償失！

2運(yùn)用常見的“二級結(jié)論”解題時，應(yīng)注意檢驗(yàn)結(jié)論的充要性

從解決問題的角度來說，二級結(jié)論是把程序性知識固化為結(jié)果性知識.所以二級結(jié)論應(yīng)用于問題求解時缺點(diǎn)也很明顯，它在某種程度上使得學(xué)生思維僵化，形成一種套用模式，導(dǎo)致有時會忽略掉數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的充要性.

案例2已知函數(shù)f（x）=1－2a2x+a（a∈R是奇函數(shù)，試求a的值.

筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生得到答案為1，就詢問了其中的一個學(xué)生.

生1：已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，所以就有f（0）=0，代入即得a=1.

師：你覺得你的這種解法沒有問題嗎？

生1：奇函數(shù)就有f（0）=0！這是我們經(jīng)常用的小結(jié)論，這應(yīng)該是毋庸置疑的.

這時候就有另外的同學(xué)表示反對.

生2：題目的意思是函數(shù)y=f（x）在其定義域上是奇函數(shù)，但x=0未必在其定義域中！所以應(yīng)該分類討論.即：

（1）函數(shù)y=f（x）在x=0處有意義，由生1的解題結(jié)論可知a=1；

（2）函數(shù)y=f（x）在x=0處無意義，則20+a=0，解得a=－1.

所以我認(rèn)為答案應(yīng)該是a=1或a=－1.

師：大家認(rèn)為生2的解法正確嗎？

筆者看見絕大部分學(xué)生都表示贊成，剩下的學(xué)生沒有表示意見，于是就分小組討論，不一會兒，就有學(xué)生舉手要發(fā)表意見.

生3：我們小組認(rèn)為：題目條件能得到a=1或a=－1，但a=1或a=－1并不能保證函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，所以需要代入進(jìn)行檢驗(yàn)，我們檢驗(yàn)過了，這兩個答案是正確的.

筆者對生3進(jìn)行了表揚(yáng)，并指出：運(yùn)用二級結(jié)論解題時應(yīng)注意其充要性.

評注我們發(fā)現(xiàn)：部分老師為了應(yīng)對考試所采取的題海戰(zhàn)術(shù)，主要方法就是讓學(xué)生熟悉并記住各種類型習(xí)題的解法，以便考試時遇到同類型題目時“對號入座”.這實(shí)質(zhì)上是通過大量的機(jī)械記憶，把處理較高認(rèn)知水平的“運(yùn)用”降低為較低水平的“記憶”，從而失去了對這些二級結(jié)論真正的理解與掌握[1].這種現(xiàn)象從以上案例中可見一斑：運(yùn)用二級結(jié)論解題而忽視其充要性的檢驗(yàn).

3運(yùn)用常見的“二級結(jié)論”解題時，應(yīng)注意“與時俱進(jìn)”

在實(shí)際教學(xué)過程中，有些二級結(jié)論的運(yùn)用與學(xué)生的學(xué)情有著密切的關(guān)系，確切而言：隨著學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，有些原本可以在解決問題時運(yùn)用的二級結(jié)論，在后期運(yùn)用時卻產(chǎn)生了問題，這時候需要引起警惕.

案例3人教版新教材選擇性必修第二冊37頁的例9：

已知等比數(shù)列an的公比q≠－1，其前n項(xiàng)的和為Sn.證明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，并求出這個數(shù)列的公比.

對于這一問題，在實(shí)際授課時，筆者通過先讓學(xué)生證明在相同條件下，S7，S14－S7，S21－S14成等比數(shù)列.再讓學(xué)生將其結(jié)論一般化.

教學(xué)中很快有兩位學(xué)生用兩種方法“解決”了這一問題，并將其一般化.并且絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以根據(jù)前面兩位學(xué)生的解法類似地解決這一問題，即只要在他們的解法上做相應(yīng)的改動就可以了.

筆者在進(jìn)行總結(jié)時，特別說明以上的一般化結(jié)論在解決相關(guān)問題時可以使用.但在課外時間，幾位平時對數(shù)學(xué)非常感興趣并且參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)的學(xué)生提出了以下問題：

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，已知等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=1，公比q=cos27π+isin27π，但S7=S14－S7=S21－S14=0，故此時S7，S14－S7，S21－S14也不是等比數(shù)列，所以上面的一般化結(jié)論也是有問題的.

筆者對以上學(xué)生進(jìn)行了表揚(yáng)，并一起為以上的例9加了一個前置條件：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi).

評注在實(shí)際教學(xué)中，由于絕大多數(shù)學(xué)生還沒有學(xué)過復(fù)數(shù)的內(nèi)容，因此以上案例的結(jié)論對他們目前學(xué)習(xí)中接觸到的相關(guān)問題都是可以使用的，但以上少部分的學(xué)生除外.基于數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑦B貫的、邏輯性相當(dāng)強(qiáng)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成思路嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯嚴(yán)密的思維習(xí)慣.所以我們要參照以上案例，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，“與時俱進(jìn)”地指出所涉及到的二級結(jié)論的運(yùn)用范圍.

4運(yùn)用常見的“二級結(jié)論”解題時，應(yīng)注意不能忽視“四基四能”的培養(yǎng)

顯然有些問題運(yùn)用相關(guān)的二級結(jié)論去解決，走了捷徑，簡化了計算，過程顯得簡潔明了.但是通過長期實(shí)踐之后我們發(fā)現(xiàn)：一方面，部分二級結(jié)論明顯思維起點(diǎn)過高，增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)；另一方面，對于學(xué)生的“四基四能”的培養(yǎng)與提高而言，這些“簡易解法”所帶來的效果值得商榷.

案例4 （2022年新高考Ⅰ卷）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=－ln0.9，則（）.

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

解析利用不等式“e＜（1+1n）n+1（其中n∈N*）”，取n=9得，

e＜（1+19）10110＜ln109e110＜109110e110＜19，故a＜b；

利用不等式“當(dāng)0＜x＜1時，ex＞x+1與lnx＞12（x－1x）”，則

a－c=0.1e0.1+ln0.9＞0.1（1+0.1）+12（0.9－10.9）=1225＞0，c＜a.故答案選C.

評注其實(shí)觀察其對應(yīng)的數(shù)字，聯(lián)想到0.9=1－0.1，以0.1為媒介可以將其中的數(shù)字化異為同．

故a=0.1e0.1，b=0.11－0.1，c=－ln1－0.1，設(shè)x=0.1，a=xex，b=x1－x，c=－ln1－x，

故有f（x）=xex－11－x（0＜x＜0.2），m（x）=xex+ln1－x，x∈（0，0.2）.通過導(dǎo)數(shù)知識不難得到答案.就解決過程而言，這種解法可能沒有上面利用二級結(jié)論解題速度快，但其解法思維起點(diǎn)更低，符合學(xué)生的學(xué)情與思維發(fā)展脈絡(luò)，也更具一般性與普及性，對學(xué)生“四基四能”的培養(yǎng)與提高也相對更有效.

顯然，二級結(jié)論在一定范圍內(nèi)具有普適性和良好的可操作性，應(yīng)用于相關(guān)問題求解時也可以使學(xué)生的思維過程簡化，節(jié)約思考的時間.但綜上所述，運(yùn)用相關(guān)二級結(jié)論解題的弊端也不容小覷，況且如果遇到一些模型不清楚或者遇到接近原始數(shù)學(xué)問題的習(xí)題的時候，若沒有現(xiàn)成的二級結(jié)論，這時學(xué)生很可能會出現(xiàn)束手無策的局面.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“評價內(nèi)容包括：情境設(shè)計是否體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生是否自然，解決問題的方法是否為通性通法.”[2]而章建躍博士認(rèn)為，“通性通法”是解題教學(xué)追求的最終目標(biāo).所以在教學(xué)中既要適當(dāng)運(yùn)用相關(guān)的二級結(jié)論，更要引導(dǎo)學(xué)生注重可能略顯“笨拙”的通法，從而能夠夯實(shí)、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，促進(jìn)各種核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

參考文獻(xiàn)

[1]王邦平，朱淑玲，朱星昨，等.談高中物理的模型與題型、規(guī)律和二級結(jié)論[J].中國考試：高考版，2007（09）：50-53.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介

黃加衛(wèi)（1971—），男，中學(xué)高級教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)；發(fā)表論文200余篇.