關(guān)注情境資源，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計

【摘要】課堂教學(xué)中往往設(shè)置情境進行教學(xué)，旨在讓學(xué)生能夠主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和思考問題，全面調(diào)動學(xué)生的高階思維互動.結(jié)合等差數(shù)列的前n項和，闡述不同教材的情境設(shè)置，實現(xiàn)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，推進數(shù)學(xué)教學(xué)和情境教學(xué)的充分融合.

【關(guān)鍵詞】情境；高斯算法；等差數(shù)列

情境教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，促進學(xué)生積極學(xué)習(xí)的有效手段.情境的創(chuàng)設(shè)能引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題深刻認(rèn)知，實現(xiàn)全面推動數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)情境的充分融合，從而使學(xué)生能夠?qū)λJ(rèn)知的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)知識真正把握，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在教學(xué)中教師若能關(guān)注對應(yīng)知識點的情境資源，則能實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的全面優(yōu)化.比如，趣味性情境與問題，能夠引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考，讓學(xué)生在多彩的學(xué)習(xí)活動中積累直觀的經(jīng)驗，悟出數(shù)學(xué)知識點；思辨性情境與問題，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)合觀察、分析、體驗、經(jīng)歷和內(nèi)化等過程逐漸形成思考問題、分析問題和解決問題的思維方法，讓學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；實際性情境與問題，則是通過與實際生活、科學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題建立情境與問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑；螺旋式情境與問題，通過推理和演繹，加深對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵的理解；多元化情境與問題，如借助素養(yǎng)教學(xué)、情境教學(xué)、生活教學(xué)、變式教學(xué)，多角度去認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)觸類旁通的效果.

1高斯的故事

高斯是18至19世紀(jì)德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和大地測量學(xué)家.在高斯10歲時，數(shù)學(xué)老師布特納為了讓學(xué)生們忙碌起來，同時也想測試一下他們的計算能力，便給他們出了一道題目：把從1到100的所有整數(shù)加起來，看誰能最快給出答案. 其他同學(xué)聽到這個題目后，都開始埋頭苦算，一個個數(shù)字加起來，而高斯卻幾乎立刻給出了答案：5050.老師非常驚訝，以為高斯是亂猜的，便要求他解釋計算過程. 高斯解釋道，他并沒有逐個相加，而是觀察到了數(shù)的規(guī)律.他發(fā)現(xiàn)，首尾兩個數(shù)相加的和是相同的，即1+100=101，2+99=101，…，50+51=101.這樣的數(shù)對有50對，所以總和就是101乘以50，即5050. 這個簡單卻巧妙的解法讓老師大為贊嘆，也展現(xiàn)了高斯對數(shù)字間關(guān)系的敏銳洞察力和數(shù)學(xué)天賦.從此，高斯在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的非凡才能逐漸為世人所知，并最終成為了一位偉大的數(shù)學(xué)家.

2不同教材的情境資源

多種教材版本在引入等差數(shù)列的前n項和公式時，常常利用這則故事或者類似這個故事來引入情境教學(xué)，使學(xué)生能夠充分認(rèn)識等差數(shù)列前n項和公式的來源.

情況1北師大版選擇必修第二冊的設(shè)計思路.

問題與情境如圖1，有200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料[1]？

根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根， 故其構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，….設(shè)共堆放了n層，能構(gòu)成正三角形垛的圓木料數(shù)為Sn，因此Sn=1+2+3+…+n，這是一個等差數(shù)列的求和問題.那應(yīng)該如何計算該等差數(shù)列的前n項和呢？

高斯算法：由高斯的算法得到啟發(fā)，計算1，2，3，…，n的前n項和：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1，

則把上面兩式相加得2Sn=1+n+1+n+1+n+…+（1+n），右式有n個式子，則可以知道

1+2+…+n=n（n+1）2.

抽象概括：等差數(shù)列an中，若首項為a1，公差為d，Sn是等差數(shù)列an的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an， 因此結(jié)合等差數(shù)列an的通項公式Sn=a1+a1+d+a1+2d+…+a1+（n-1）d］.（1）

由高斯算法得到啟示，把項的次序反過來，Sn=an+an-d+an-2d+…+an-（n-1）d］.（2）

（1）+（2）得Sn=n（a1+an）2.

情境教學(xué)的意圖：（1）充分結(jié)合高斯算法推導(dǎo)等差數(shù)列an的前n項和公式；（2）引申出“倒序相加法”；（3）類比1+2+…+100=5050到1+2+…+n=n（n+1）2，再進一步深化到

a1+a2+a3+…+an=Sn=n（a1+an）2.即讓學(xué)生學(xué)習(xí)的道路猶如爬山一樣，逐漸遞進.

情況2中職版（高等教育出版社）拓展模塊一（下冊）的設(shè)計思路.

問題與情境某街道舉辦國慶70周年成就展，在展廳前用鮮花擺放了一個等腰梯形花壇.如圖2所示，花壇由前到后共有12排，最前一排擺放了10 盆鮮花，往后每排依次增加2盆.寫出由前到后每排擺放的鮮花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，并計算這個花壇一共用了多少盆鮮花？

分析：第2排的花盆數(shù)為12，第3排的花盆數(shù)為14，…，第12排的花盆數(shù)為32.因此，由前到后每排的花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為10，12，14，…，32. 本題的實質(zhì)是要計算等差數(shù)列10，12，14，…，32各項的和.

思路：設(shè)想將等腰梯形倒過來，與原來的等腰梯形合并在一起，如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)每一排的花盆數(shù)都是42，則可知10+32=12+30=14+28=…=32+10，由于共有12排花盆，所以這個花壇的花盆總數(shù)為12×10+322=252.

建構(gòu)模型：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，則有

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（3）

上式也可以寫為，

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（4）

由（3）+（4）得2Sn=a1+an+a2+an-1+…+an+a1，得前n項和公式

Sn=n（a1+an）2.

情境教學(xué)的意圖：如何獲得等差數(shù)列求和公式，其解決的思路是“倒序相加法”.

情況3蘇教版選擇性必修第一冊的設(shè)計思路.

問題與情境先考察圖4，這是某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)呢？

思路：假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管（圖5），因此每層的鋼管數(shù)都等于4+9，共有6層，從而原來的一堆鋼管總數(shù)為6×4+92=39.

建構(gòu)模型：對于等差數(shù)列an，可否用上面的方法來求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.

下面的解決方法同情況2.

該情境教學(xué)的設(shè)計運用：同樣是利用生活中的情境“堆放鋼管問題”進行“倒序相加”，實現(xiàn)從特殊到一般的解決該問題的思路與方法.

情況4滬教版選擇性必修第一冊.

問題與情境據(jù)說200多年前，著名數(shù)學(xué)家高斯的算術(shù)老師在課堂上曾經(jīng)提出了下面的問題：

求1+2+3+…+100的值.

少年高斯用下面的方法迅速算出了正確的答案：1+2+3+…+100=？

100+99+98+…+1=？

上述兩式相加得：101+101+101+…+101=2×？則可以得到101×1002=5050.

總結(jié)：高斯的算法解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…前100項的求和問題.

不失時機地引入中國歷史上的數(shù)學(xué)家的成就：事實上，古代的中國人和希臘人也是這樣求等差數(shù)列之和的.例如，宋朝數(shù)學(xué)家楊輝提出了一個問題：“今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束，問共幾束？答：36 束.”他的計算方法可以用圖6表示.

建構(gòu)模型：對于等差數(shù)列an，可否用上面的方法來求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.

下面的解決方法同情況1.

該情境教學(xué)的設(shè)計運用：從創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)史的情境與問題出發(fā)，同樣通過“倒序相加法”，由特殊到一般，求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.該情境中注意讓學(xué)生充分了解為數(shù)學(xué)作出貢獻與發(fā)展的數(shù)學(xué)科學(xué)家的足跡，教師將數(shù)學(xué)史融合到教學(xué)中，可以對學(xué)生進行愛國主義教育，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

分析意圖：（1）在四種情境教學(xué)中，它們的共性是按“問題情境—構(gòu)建問題—解決問題—數(shù)學(xué)運用”的思路進行，讓學(xué)生能夠認(rèn)識等差數(shù)列求和公式的由來.

（2）情況1中，由特殊情況到一般情況，且設(shè)置情境來認(rèn)知問題，符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，也給學(xué)生留下很多的思索空間.

（3）情況2中，由特殊情況衍生到“倒序相加”的思想方法，亦是一種很好的認(rèn)知思路，當(dāng)然可能類比為等腰梯形，學(xué)生可能不太容易想到，筆者覺得這里有商榷的空間.

（4）在情況3中，是將鋼管問題作為情境問題引入“倒序相加”的思想方法，但是倒放鋼管應(yīng)該和現(xiàn)實的生活有所脫節(jié)，筆者覺得這個解決問題的方法要更加契合實際才能更符合問題的認(rèn)知思路.

（5）在情況4中，由高斯解決的數(shù)學(xué)問題類比到中國古代數(shù)學(xué)家楊輝提出的垛草問題，然后解決的思路亦是“倒序相加法”，這個垛草問題用“倒序相加法”解決，筆者認(rèn)為該情境教學(xué)更加符合我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，也讓數(shù)學(xué)知識更加鮮活起來，同時還對學(xué)生進行了數(shù)學(xué)史和愛國主義的教育.

當(dāng)然上述四種情況的情境教學(xué)，都為如何實現(xiàn)“配對”到“倒序”的轉(zhuǎn)化，各個版本的教材都是將生活中的情境引入，且創(chuàng)設(shè)合理的問題，使得學(xué)生能夠參a65fbb6c3857aa54e6a9f737d659afb0與到數(shù)學(xué)知識的形成、產(chǎn)生、發(fā)展和運用過程，能夠讓學(xué)生直觀感受和理解，增強學(xué)生的創(chuàng)造力.

3教材的加工

數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合情境教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望，提高探知數(shù)學(xué)問題的興趣.同時情境教學(xué)能夠推動學(xué)生進行思考和分析，達(dá)到進一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、增強知識儲備、提升解決問題的能力.學(xué)生通過情境問題進行學(xué)習(xí)活動，亦能加強構(gòu)建數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，逐步掌握學(xué)習(xí)和思考的方法，從根本上提高學(xué)習(xí)力.

作為教師來說，在教學(xué)過程中可以通過對教材再進行精細(xì)加工，讓教學(xué)的思路更加流暢、清晰、自然，實現(xiàn)更完備的教學(xué)效果[2].

加工1：緊緊抓住整體思想.

高斯計算1+2+3+…+100的本質(zhì)是進行“配對”，而“配對”的關(guān)鍵是“整體思想”，即

a1+an=a2+an-1=….

所以Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（5）

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（6）

2Sn=na1+an，求得等差數(shù)列前n項和Sn=na1+an2.

加工2：類比思想.

對于如情況3的堆放鋼管問題，可類比梯形面積公式S=（a+b）×h2，然后讓學(xué)生思考如何求出堆放鋼管的總數(shù)，探索出等差數(shù)列前n項求和公式.

加工3：數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)情境問題的結(jié)合.

在情況4中，先引入高斯解決1+2+3+…+100的問題，筆者認(rèn)為可直接以宋朝數(shù)學(xué)家楊輝提出的問題來作為情境引入，再利用“倒序相加法”求出等差數(shù)列前n項和Sn.

4改進型的等差數(shù)列求和公式的教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入：中國古代算書《張丘建算經(jīng)》有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？

情境教學(xué)理論：數(shù)學(xué)知識一般與一定的知識背景相聯(lián)系，即與“情境”相聯(lián)系，特別是引入中國古代數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)問題，則更加能夠引導(dǎo)學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，來同化和索引出現(xiàn)在所學(xué)的新知識，實現(xiàn)對新知識的完全建構(gòu) [3].

分組布置任務(wù)：第一組：用電腦計算器功能計算從1加到100等于多少？

第二組：使用開放網(wǎng)絡(luò)查詢德國數(shù)學(xué)家高斯的故事，看高斯如何計算從1加到100，等于多少？方法是否簡便？小組分別匯報解決的方法.

第一組的方法：

則可以計算1+2+3+…+98+99+100=1+100×1002=5050.

點評：第一組的方法是通過首尾配對法順利求出1到100的和，從簡單的問題開始，讓學(xué)生能夠在自主探索中不斷學(xué)習(xí)，實現(xiàn)問題從簡單到復(fù)雜的飛躍.

第二組的方法：

該小組采用倒序相加法，實現(xiàn)從1到100的求和.

點評：對于“倒序相加法”，一般教師要通過引導(dǎo)學(xué)生思索與索引，才能讓學(xué)生得到啟發(fā)，喚醒學(xué)生對該問題的認(rèn)知.

對“倒序相加法”的認(rèn)識：下面是倒序相加法的演示.

教師：現(xiàn)在有個數(shù)列，其首項a1=1，a2=2，…，a5=5，則項數(shù)n=5；

用一些圓表示這個數(shù)列，如圖7.

教師：為了方便計算這些圓的數(shù)量，我們可以尋找一個與之相同的數(shù)列，然后把這個數(shù)列對應(yīng)的圖形進行倒置（如圖8），然后將圖7和圖8進行對拼，這樣就會呈現(xiàn)一個長方形，每行有6個圓，共5行，則圓有6×5=30個，而我們最初是求一組的圓，所以是30÷2=15.因此我們就很好地理解了“倒序相加法”，也就可以順理成章地認(rèn)識和掌握等差數(shù)列求和公式為（首項+末項）×項數(shù)2．

教師：《張丘建算經(jīng)》一例：“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？”“并初、末日織布數(shù)，半之，余以織訖日數(shù)，即得.”

請同學(xué)們把它翻譯為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)題，可歸結(jié)為怎樣的數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生甲：這是一個等差數(shù)列，a1=5，an=1，n=30，求等差數(shù)列的前30項和S30.

教師：不錯，可應(yīng)用我們現(xiàn)在所學(xué)的等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+an2解決.

合理應(yīng)用教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境，是要以適應(yīng)自己所教學(xué)生的實際情況來進行教學(xué)，是如何“用教材”，而不是如何“教教材”，且不能拘泥于教材所給的情境教學(xué).作為教師，應(yīng)該要創(chuàng)造性地應(yīng)用教材進行教學(xué)，提升教材情境教學(xué)的精彩點，才能提升課堂教學(xué)效率和課堂教學(xué)效果，帶動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情趣.精心選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和教學(xué)思路，才能加深對數(shù)學(xué)問題的理解.

參考文獻

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[2]吳茹，李恒宇. 基于深度學(xué)習(xí)的微專題教學(xué)研究[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（05）：22-24．

[3]劉靜雅. 基于5E教學(xué)模式的數(shù)學(xué)教學(xué)探究[J] .理科考試研究，2024（05）：26-28．

作者簡介

周文國（1971—），男，江蘇張家港人，高級教師，蘇州市名教師；主要研究數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué).