高中數學結構化單元教學課例研究

【摘要】新一輪課程改革注重核心素養導向的課程教學.課堂是落實核心素養導向教學的主要場所，教師是落實核心素養導向教學的行動主體，學生是落實核心素養導向教學的行為客體.需要借助行動研究來把握教與學的內在聯系，提煉核心素養導向的教學方法與路徑，結構化單元教學課例研究正是基于上述需求應運而生的.

【關鍵詞】高中數學；結構化；單元教學；課例研究

1問題的提出

教育部于2020年進行了普通高中課程修訂工作，本次修訂的最大特點是制定了學科課程標準，凝煉了學科核心素養.基于學科核心素養的內涵要求，需要教師探索和創新教學方式.考慮到學生數學學科核心素養水平的發展具有階段性、連續性和整合性的特點，需要教師在設計教學時從整體上關注教學內容邏輯結構，把握學生原有的認知結構.

2數學結構化單元教學內涵

數學是一門結構性很強的學科，從數學教學視角來看，數學結構構成大致如下.

李昌官認為：“數學結構性教學原則即從數學的知識結構和學生的數學認知結構出發設計和組織教學，以完善和發展學生原有認知結構為目的.”[1]張然然認為：“數學結構化教學是指教師從數學知識結構和學生原有的數學認知結構出發，通過問題驅動引導學生利用已有知識和方法，主動參與數學探究過程，建構數學概念、命題等.”[2]二者都強調了以數學知識結構和原有數學認知結構為出發點設計教學，強調結構引領教學的重要性.

《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》（以下簡稱課程標準）明確指出：“重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，促進學科核心素養的落實.”[3]而數學核心素養的成分難以在單個的知識點上表現出來，它往往隱藏在知識體系、知識結構之中[4].筆者認為，數學結構化教學與單元教學密不可分，數學結構化教學應關注知識體系，將數學內容置于單元整體結構中理解，實施數學結構化單元教學.結構化是實施數學單元教學的重要抓手，結構化不僅能厘清單元知識內部的關聯，更是聯結不同單元知識的“橋梁”，結構化的目的是通過教與學的過程實現數學思維的“可視化”，實現“看得見、摸得著、帶得走（核心素養導向的教學）”的學科教學.單元教學是實現知識、方法結構化的重要載體，把具有相同或相似結構的知識以單元的形式關聯，進行整體思考和設計，構建單元知識結構、探索研究單元問題的方法結構，促進學生認知結構發展.從單元和整體出發設計教學，比割裂地、零碎地設計教學更有利于數學核心素養的培養，是落實數學核心素養的有效途徑.

3數學結構化單元教學實踐路徑

基于數學結構化單元教學的內涵要求，教學需從數學知識結構和學生的認知結構出發，把數學知識、技能、方法、經驗等各要素按照層級結構組成一個融會貫通的整體，分析其邏輯關聯，對數學教學進行系統規劃.要做到這些，需要教師進行深度教研、合作教研，形成教研合力.近年來，國內一線教學中出現了一種凝聚集體智慧的教研活動——磨課，其形式上是一種教研活動，方法上是一種教學行動研究，實質是一種中式課例研究[5]，其研究的一般模式如下表.

對于數學結構化單元教學而言，課堂是落實教學活動的主要場所，教師是落實教學活動的行動主體，學生是落實教學活動的行為客體.“磨課”研究恰是教師對“課堂”的研究，是教師基于實踐情境的反思性研究，其目的是教師“教好書”（學生能夠發展）、教師專業在課堂實踐中成長（教師能夠發展），這恰好達成了促進教學行動主體和行為客體雙重發展的目標.因此，“磨課”研究是數學結構化單元教學順利實施的實踐路徑[6].

4高中數學結構化單元教學課例研究實踐案例

筆者以人教A版（2019年版）普通高中教科書必修第一冊第三章3.3節課后“探究與發現：函數y=x+1x的圖象與性質”為例，進行結構化單元課例研究實踐，利用信息技術手段輔助教學，探索由數學抽象知識可視化到數學思維可視化的一般方法路徑.教學過程環節如下.

（一）教學課例研究的初次設計

1.情境引入

問題1：數學情境（一般觀念）：本章函數內容學習的一般路徑？

教師引導：函數的一般概念：背景—概念—性質—應用.

冪函數：背景—概念—圖象與性質—應用.

問題2：現實背景問題中蘊含的函數模型都是已知的初等函數模型嗎？

問題情境：如圖1所示，在自家院子一側靠墻（墻的長度為2米）用籬笆圍成一個面積為0.5平方米的矩形花圃，設邊長AB為x米，籬笆長為y米.

（1）求y關于x的函數關系式，并指出其定義域.

（2）當這個矩形邊長AB為多少時，所用籬笆最短？

答案預設：（1）y=x+1x（0＜x≤2）.

追問：函數y=x+1x有什么特點？你認為可以從哪些方面研究這個函數？按照怎樣的路徑研究？

答案預設：函數y=x+1x是由已知函數y=x與y=1x構造而成的.

教學說明：核心素養導向的數學單元教學是基于一般觀念指導下的數學學習與探究活動，關注研究一類問題的基本套路與一般路徑，注重構建單元知識的整體結構.

2.新知探究

探究過程1：直觀感知.

問題3：函數圖象的基本構成要素是什么？

答案預設：點.

追問1：從代數的角度如何刻畫點？

答案預設：橫坐標和縱坐標.

追問2：能否從點的角度利用已知函數y=x與y=1x的圖象與性質直觀感知函數y=x+1x的圖象與性質？

教師引導：在函數y=x與y=1x的圖象上，分別任取點B，C，用點B，C的運動變化規律來描述函數y=x+1x的圖象上任意點D的運動變化狀態.

追問3：從形的角度，可以用點B，C的運動變化規律來描述點D的運動變化狀態嗎？

答案預設：設點B，C，D在一條與x軸垂直的動直線上，點B，C與點D的位置關系不易確定.

追問4：從數的角度，可以用點B、C的運動變化規律來描述點D的運動變化狀態嗎？

答案預設：設點B（x，x），C（x，1x），則點D（x，x+1x）在函數y=x+1x的圖象上，通過動態演示點D（x，x+1x）的軌跡變化直觀感知函數y=x+1x的圖象與性質.

問題4：結合前面學習函數的相關知識，我們可以根據點D的運動變化研究函數y=x+1x上的哪些性質？

教師引導：站在單元整體的高度上，用聯系的眼光看問題.本章我們學習了函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等，這些都是本節課的研究內容.

追問1：如圖2所示，從左向右看，隨著x的增大，你能探究出哪些性質？

答案預設：yD隨xD的變化而變化，可以發現：

函數y=x+1x的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；值域為（-∞，-2］∪［2，+∞）；在（-∞，-1］和［1，+∞）上單調遞增，在（-1，0）和（0，1）上單調遞減.

追問2：進一步地，可以探究函數y=x+1x的奇偶性嗎？

答案預設：作點B，C關于原點的對稱點B′（-x，-x），C′（-x，-1x），構造點D′（-x，-x-1x），則點D′與點D關于原點對稱，且在函數y=x+1x的圖象上，所以函數y=x+1x是奇函數.

追問3：觀察點D運動變化的區域，你有什么發現？

答案預設：當x＞0時，點D始終在直線y=x的上方和y軸右側運動；當x＜0時，點D始終在直線y=x的下方和y軸左側運動.所以函數y=x+1x的漸近線是y軸和y=x.

探究過程2：圖象確認.

利用Geogebra軟件畫出函數y=x+1x的圖象，對探究過程1進行直觀確認.如圖3所示.

教學說明：

通過信息技術輔助手段將數學思維直觀展現，發展學生直觀想象素養.引導學生探究研究基本初等函數函數的一般方法，歸納、總結學習一類數學對象的一般套路.

探究過程3：邏輯證明.

對定義域、值域、單調性、奇偶性、漸近線進行演繹證明，限于篇幅，此處過程省略.

教學說明：

經歷嚴謹的演繹證明，發展學生數學抽象核心素養.遵循直觀感知→圖象確認→邏輯證明這一不斷深入的數學認知邏輯過程，學生構建了基于信息技術輔助數學教學的一般路徑，形成了完整的數學認知結構.在此基礎上，通過整合前面所學函數單元內容，進一步充實數學內容結構和方法結構.

3.新知應用

例1：問題解決：（2）當這個矩形邊長AB為多少時，所用籬笆最短？

例2：探究函數y=x+4x的圖象與性質.

教學說明：

通過相似問題引導學生動手探究，達到鞏固新知，嘗試構建解決一類問題的方法結構，完善數學認知結構.

4.課堂小結

（二）磨課思考

課堂教學是一門藝術，課堂教學設計反映了教師對核心素養導向的課程標準理念的領悟，對教科書內容編排的理解，以及對學生學情的把握.教師對課堂教學藝術盡善盡美的追求永無止境.筆者結合課堂學生聽課反饋，在本課例原有設計的基礎上開展磨課研究，引發了以下思考.

1.教學過程的合理性認知

章建躍博P95GZETJmfHHyvgJxnQy8lHIdPlcJ/UmpOeLZpdQntU=士提出教學要做到“兩個過程”的合理性，即數學知識發生發展過程的合理性和學生認知過程的合理性.本節課最大的特征是“探究”，前面設計的利用信息技術工具探究性質的過程，與其理解為“探究”過程，不如理解為“驗證”過程更為合理，主觀上學生能想到利用信息技術工具探究函數性質嗎？客觀上學生利用信息技術探究的條件（有無硬件？是否會使用軟件？）具備嗎？其實以上“探究”過程是存在于教師大腦里的主觀認知，是教師強加給學生的過程，實質是教師帶領學生的“驗證”過程，而非學生關于本節知識的認知，悖離“學生認知過程合理性”理念.其結果是將知識灌輸給學生，學生對知識的理解是知其然，不知其所以然，無法將新知融入到已有知識結構中去.從學生的認知視角出發，如何更好地體現“探究”屬性、展現“探究”過程？這需要研究學生的數學認知結構，基于學生的數學認知起點，設計本節課的探究過程.

2.構建單元結構的邏輯方法

學生的數學認知結構是由數學知識結構內化而成的.隨著數學知識的不斷積累，知識間的邏輯關聯越發凸顯.因此，需要用聯系的、整體的眼光來理解新知，將新知置于單元整體結構中考量，思考其在單元中所處的地位，與前面知識是如何承接的，對后續知識的學習有何啟發. 南京市秦淮區教師發展研究中心渠東劍老師針對單元教學的情境設計提出了“一線串聯通的問題情境”的觀點，意指同一個問題情境應反復用于一個單元的知識學習之中，這對于學生理解數學內容本質起到了重要作用.借用這個觀點，我們思考函數y=x+1x的由來背景是什么？聯系前面學習的基本初等函數，其形成特點有一般規律可循嗎？如果把這些問題想透徹、理清楚，對于揭示本節的內容本質能夠起到至關重要的作用.本節內容是在學生學習了函數的概念與性質、冪函數后安排的一節探究課，具體要探究哪些內容？按照怎樣的路徑探究？只要認真思考本單元所學內容及其研究的一般路徑、本節內容所處本單元中的位置，這個問題并不難回答.

本節課探究的主要內容是函數y=x+1x的圖象與性質，探究順序如何安排？這需要參考大單元教學中初等函數圖象與性質探究的一般方法結構，更要考慮學生的數學認知結構. 教師需要關注學生的認知起點，遵循由已知到未知的探究思路，在把握認知結構的前提下合理設計探究過程，在探究的過程中理清本節內容知識本身的邏輯結構，嘗試構建探究未知函數圖象與性質的方法結構.

（三）教學課例再設計實踐

為落實上述幾點磨課思考，筆者對課例進行了有針對性的再設計，并進行課堂實踐.

1.基于知識發展路徑，合理引入新知

基于知識發生發展過程的合理性理解，從數學內容結構來看，新課的引入應重視新舊知識在內容上的邏輯連貫性，需要構建與新知密切聯系的“先行組織者”.從數學方法結構來看，本節課是在一以貫之的函數大情境背景下對研究一類具體函數的一般方法與路徑的強化，結合一次函數、二次函數、反比例函數和冪函數的學習路徑，順應學生的認知經驗，本節課在引入環節應引導學生思考函數y=x+1x的由來背景.

問題1：初中我們學習了一次函數、二次函數、反比例函數，上節課我們學習了冪函數，請大家思考它們與冪函數有什么聯系呢？

教師引導：一次函數、二次函數、反比例函數都是由冪函數與常數經過加減乘除等運算構造而成的.

追問1：更進一步地，如果將兩個冪函數進行加減乘除，可以得到新函數嗎？比如將y=x和y=1x進行加、減、乘、除，可以得到哪些函數呢？

教師引導：如圖5所示.

追問2：對于函數y=x+1x，你認為可以從哪些方面研究這個函數？按照怎樣的路徑研究？

教師引導：緊扣單元內容結構，類比冪函數的研究內容和研究的一般路徑，我們得出本節課的研究內容和研究路徑.

研究內容：定義域、值域、奇偶性、單調性、其他性質.

研究路徑：背景—概念—圖象與性質—應用.

教學說明：

通過選取熟悉的、相關聯的數學情境引入，體現知識內容之間的內在關聯，遵循知識發展的邏輯結構，凸顯研究方法的一致性與延續性，強化研究一類具體函數的方法路徑.

2.順應認知邏輯路徑，親歷新知探究

基于學生認知發展過程的合理性理解，教師應站在學生視角“身臨其境”地體驗知識生成過程，這需要教師從微觀視角研究學生的數學認知結構，把握學生的認知起點設計教學.基于此，筆者設計了課前導學環節，借助學案把脈學生認知起點，課中關注單元知識內容編排結構和數形結合思想方法主線結構，順應學生認知結構設計本節知識探究過程，合理設問、適時提問、及時追問，搭建認知思維“臺階”.

問題2：按照研究路徑，我們如何探究函數的圖象與性質呢？（展示預習學案，見圖6）

教師引導：歸納同學們預習學案所畫圖象，我們獲得本節課的認知起點.

（1）圖象的獲取方法有描點作圖法和利用性質描繪圖象的方法.

（2）利用性質描繪圖象基本上都結合了冪函數y=x和y=1x的圖象與性質進行分析.

（3）由于認知水平的差異，同學們描點的精細程度、性質應用的深入程度有所不同，導致獲取的圖象之間有差異，其實同學們獲取的都是函數的大致圖象.

追問1：圖象有差異，能否用有差異的圖象探究函數性質嗎？

教師引導：顯然，這是不嚴謹的.既然無法通過“形”來探究性質，我們還可以怎么做呢？我們不妨轉到“數”這條路徑上進行探究.

追問2：從“數”的角度看，什么是已知的？

教師引導：由前面分析可知，函數y=x+1x的解析式結構是已知的，可否通過對其解析式進行研究獲取部分性質？顯然，這是符合我們認知規律的.下面我們來探究函數的定義域、值域、奇偶性（與前面同）.

問題3：由于函數是奇函數，接下來可以怎樣研究圖象？

預設答案：可以先研究x＞0時的函數圖象.

追問1：你能利用函數y=x和y=1x的圖象變化趨勢，結合定義域、值域說明函數y=x+1x在（0，+∞）上的圖象變化趨勢嗎？

教師引導：當x→0時，y=x+1x→1x→+∞，其圖象與y=1x的圖象越來越靠近，所以y軸是其漸近線.當x→+∞時，y=x+1x→x→+∞，其圖象與y=x的圖象越來越靠近，所以y=x也是其漸近線.

追問2：你能畫出函數在（0，+∞）上的圖象嗎？

答案預設：如圖7所示.

追問3：結合奇偶性，你能畫出整個定義域上的函數圖象嗎？

答案預設：如圖8所示.

追問4：觀察圖象可以獲得函數的單調性嗎？由圖象得到的單調性嚴謹嗎？你能嚴格證明嗎？

問題4：請嘗試借助信息技術輔助工具設計一個用y=x和y=1x的圖象疊加演示y=x+1x的圖象的方案.觀察你畫的圖象與信息技術生成的圖象一致嗎？

教師引導：具體演示如圖3.

例題：略（同前面所述）.

教學說明：

通過對學生認知起點的把握，按照定義域→值域→奇偶性→漸近線→圖象→單調性的認知順序實施教學，符合結構化單元教學的邏輯合理性的要求，完善了單元數學知識結構和數學認知結構.

3.回歸單元方法路徑，重構新知結構

數學教學應關注單元內容內在的邏輯結構，提煉數學內容發生、發展的一般方法與路徑，凸顯數學方法結構.

（1）數學內容結構構建.

（2）數學方法結構歸納.

①通過已知函數的運算構造新函數是學習、研究函數的一種重要方法；

②對新函數圖象與性質的研究應建立在已有認知結構的基礎上，其研究的一般思路是由已知到未知，研究的一般方法是性質與圖象的交互探究、數與形的雙向奔赴.

教學說明：

站在單元整體的高度上，重構數學內容結構，凸顯方法的普適性，構建函數單元學習的一般方法路徑.

5實踐思考

基于結構化單元教學，要求教師專于課標理念研究、鉆研與挖掘教科書、探求“教”的結構化路徑，善于研究學生認知，站在學生的視角把握學生認知思維特點，探求“學”的結構化路徑.教師應站在整體和結構的高度把握和處理教材，關注同一主線知識發展的邏輯順序，關注不同主線知識之間的邏輯關聯，關注不同知識所蘊含的通性通法、數學思想以及核心素養.教學過程中善于合理設置課堂問題，提出“先行組織者”，采用追問的形式，暴露學生的思維誤區，確定認知起點，以原有認知結構為基礎構建新課知識結構，發展學生的數學認知結構.教學要善于從整體入手，促成知識、方法的遷移，完善數學認知結構.

參考文獻

[1]李昌官.試論數學教學的結構性原則[J].課程·教材·教法，2002（05）：35-37.

[2]張然然，陳靜安，楊彩如.結構化教學視域下數學師范生教學能力的培養[J].廣東第二師范學院學報，2023（05）：41-53.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年修訂2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020：4.

[4]喻平.數學單元結構教學的四種模式[J].數學通報，2020（05）：1-8.

[5]楊玉東.從中式課例研究看上海數學教師的專業學習[J].中國教育學刊，2019（11）：6-11.

[6]劉守文.結構化統領的高中數學單元教學探索[J].教學與管理，2024（08）：39-42.

作者簡介

劉守文（1983—），男，安徽合肥人，碩士，中學數學高級教師，合肥市高中數學學科帶頭人；主要從事中學數學教學研究；發表論文10余篇.

王世朋（1982—），男，安徽合肥人，碩士，中學高級教師；合肥市高中數學學科帶頭人，人教社教材專家，合肥市高中數學侯曙明、蒲榮飛教育名師工作室核心成員，合肥市高中數學優質課比賽一等獎，合肥市中小學教學競賽一等獎；主要研究中學數學教學、信息化輔助教學；主持和參與省市課題5項；發表論文 20余篇．

基金項目

安徽省教育科學研究項目“‘結構化’統領的高中數學單元教學案例研究”（JK23084）.