立足教材資源開發(fā)設(shè)計(jì)探究性長(zhǎng)作業(yè)

【摘要】探究性長(zhǎng)作業(yè)是數(shù)學(xué)作業(yè)的一種重要類型.文章通過深度挖掘多版本教材中的資源，提出了概念應(yīng)用類、公式證明類、例題延展類、習(xí)題變式類、探究活動(dòng)類的探究性長(zhǎng)作業(yè)實(shí)施方法和示例，為探究性長(zhǎng)作業(yè)“資源庫(kù)”的建設(shè)提供參考.

【關(guān)鍵詞】教材；資源；探究性長(zhǎng)作業(yè)；示例

1引言

2023年教育部辦公廳印發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革深化行動(dòng)方案》中提出：“引導(dǎo)教師提高教學(xué)設(shè)計(jì)和作業(yè)設(shè)計(jì)水平，鼓勵(lì)科學(xué)設(shè)計(jì)探究性作業(yè)和實(shí)踐性作業(yè)，探索設(shè)計(jì)跨學(xué)科綜合性作業(yè).”普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》）在教材編寫建議中指出：“應(yīng)開發(fā)一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題，解決這樣的問題有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.”[1]綜合以上闡述，可以感受到國(guó)家層面對(duì)作業(yè)設(shè)計(jì)的高度重視，這為作業(yè)設(shè)計(jì)的研究與實(shí)踐指明了變革與發(fā)展的方向.

探究性作業(yè)指訓(xùn)練學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不良問題、探究新問題從而提高知識(shí)創(chuàng)新能力為目標(biāo)的作業(yè)類型[2].探究性長(zhǎng)作業(yè)指的是一類需要花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間（通常為數(shù)天、一周甚至更長(zhǎng)）才能完成的探究性作業(yè).此類作業(yè)在提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要作用，因此如何有效設(shè)計(jì)探究性長(zhǎng)作業(yè)成為當(dāng)前值得研究的課題.2019年出版的各版高中數(shù)學(xué)教材均是在《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》的指導(dǎo)下精心編寫的，凝聚了教材編寫專家的智慧結(jié)晶，并各自展現(xiàn)了特色和風(fēng)格，對(duì)于作業(yè)設(shè)計(jì)具有很高的研究?jī)r(jià)值和借鑒意義.本文立足教材中的資源，聚焦于平面解析幾何這一主題，通過教材中的概念理解、公式推導(dǎo)、例題延展、習(xí)題變式、探究活動(dòng)開展五個(gè)方面，以蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書為主要參考，就高中數(shù)學(xué)探究性長(zhǎng)作業(yè)的設(shè)計(jì)分享個(gè)人的思考，旨在為高中數(shù)學(xué)探究性長(zhǎng)作業(yè)“資源庫(kù)”的建設(shè)提供一些參考.

2立足教材的高中數(shù)學(xué)探究性長(zhǎng)作業(yè)類型

2.1追求概念深度理解，設(shè)計(jì)概念應(yīng)用類探究性長(zhǎng)作業(yè)

劉紹學(xué)先生說過：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的.”數(shù)學(xué)概念的起源與發(fā)展都是自然的，如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味[3].李邦河院士也講過：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”

在概念教學(xué)中，應(yīng)重視概念的自然衍生和深入剖析，而“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的概念課教學(xué)現(xiàn)象仍屢見不鮮.以橢圓概念的引入為例，2019年各版高中數(shù)學(xué)教材都是以細(xì)繩情境作為切入點(diǎn)直觀引出橢圓的定義.然而，深入研讀蘇教版教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)編者不僅在細(xì)繩實(shí)驗(yàn)前融入了生活實(shí)例，如用點(diǎn)光源照射一個(gè)放在地面上的球體，其在地面上影子的外輪廓線可以是橢圓.此外在本章章首語部分還引入了平面截圓錐形成橢圓的幾何情境，以及在習(xí)題“探究·拓展”部分，設(shè)置了用折紙構(gòu)造橢圓和利用達(dá)·芬奇橢圓儀繪制橢圓的實(shí)踐方法.這些豐富多樣的情境設(shè)置，旨在從不同角度加深學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解.教材編者精心選擇的這些富有啟發(fā)性的情境，亟需教師進(jìn)行整合性研究與探討.為此，在橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)后可以設(shè)計(jì)一項(xiàng)探究性長(zhǎng)作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間，通過自主探索、合作交流，對(duì)上述情境進(jìn)行深入探究，并將研究成果整理成小論文.

案例1 基于定義的橢圓生成問題研究.

作業(yè)示例 課本中通過細(xì)繩實(shí)驗(yàn)，直觀引出了橢圓的定義，生活中還有很多橢圓的直觀形象和繪制橢圓圖象的操作方法，你能結(jié)合橢圓的定義對(duì)這些問題進(jìn)行解釋嗎？通過查閱文獻(xiàn)資料、動(dòng)手實(shí)踐等方式，對(duì)下述現(xiàn)象進(jìn)行探究，結(jié)合定義說明理由，并整理成一篇小論文.

問題1 用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截面與圓錐面的交線是一個(gè)圓.改變平面與圓錐軸的夾角，截面與圓錐面的交線可以是橢圓，如圖1.查閱資料了解著名的Dandelin雙球模型，并解釋以上現(xiàn)象.（蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱高中《數(shù)學(xué)》）選擇性必修第一冊(cè)第80頁）

問題2 用點(diǎn)光源照射一個(gè)放在地面上的球，調(diào)整點(diǎn)光源的位置，球在地面上影子的外輪廓線可以是橢圓，如圖2.你能根據(jù)問題1的發(fā)現(xiàn)解釋問題2嗎？（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第81頁）

問題3 在化學(xué)課上，你一定曾注意到，當(dāng)裝有液體的試管稍微傾斜一點(diǎn)時(shí)，液面的輪廓是橢圓形的.閱讀人教B版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第134頁的拓展閱讀部分，了解其原理.

問題4 準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過點(diǎn)F（如圖3），然后將紙片展開，就得到一條折痕l.這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？為什么？（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第87頁）

問題5 把矩形的各邊n等分，如圖4連接直線，判斷對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)是否在一個(gè)橢圓上，為什么？（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第94頁）

問題6 閱讀蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第93頁的“探究·拓展”部分，了解達(dá)·芬奇橢圓儀的制作方法，并解釋其可以用來繪制橢圓的原理.

問題7 你還能發(fā)現(xiàn)其它生成橢圓的方法，并結(jié)合定義進(jìn)行解釋嗎？

設(shè)計(jì)意圖 以上問題均源自教材，利用Dandelin雙球模型可以解釋問題1至問題3，問題1和2是屬于圓錐截面類型，問題3是屬于圓柱截面類型.問題4利用中垂線（折痕）的性質(zhì)，可證得曲線是以點(diǎn)F和圓心為焦點(diǎn)的橢圓.問題5和6通過解析法可以證得軌跡方程為橢圓方程.問題7鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，并結(jié)合定義解決問題.長(zhǎng)周期探究性作業(yè)為學(xué)生深入思考、探究創(chuàng)新、合理表達(dá)提供了充足時(shí)間，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不可或缺的重要作業(yè)形式.

2.2深挖公式推導(dǎo)證明，設(shè)計(jì)公式證明類探究性長(zhǎng)作業(yè)

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[4].深度學(xué)習(xí)的內(nèi)容特點(diǎn)是基于問題的多維知識(shí)整合，在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容分析和設(shè)計(jì)時(shí)，需要教師全面地分析教材、深入地挖掘教材、靈活地整合教材[5].

在新授課的定理與公式推導(dǎo)證明過程中，鑒于課時(shí)緊張的實(shí)際情況，教師往往會(huì)直接展示教材中的證明方法，而未能充分地用好教材.從教材內(nèi)容的編排角度看，針對(duì)定理與公式的證明過程，編者往往精選一種或兩種證明方法進(jìn)行闡述，以保持教材的簡(jiǎn)明扼要、重點(diǎn)突出，但常在定理推導(dǎo)之后精心設(shè)置啟發(fā)性思考題，比如蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修一1.5.2節(jié)“點(diǎn)到直線的距離”中，利用等面積法推導(dǎo)出平面上點(diǎn)到直線的距離公式后，立即引出思考：“你還能通過其他途徑求點(diǎn)P到直線l的距離嗎？”此外，在蘇教版教材的后續(xù)習(xí)題的“探究·拓展”部分以及章末的“問題與探究”中，均提供了豐富的素材，可用于進(jìn)一步探索點(diǎn)到直線距離公式的不同證法.通過整理這些素材，并結(jié)合其他版本教材中的相關(guān)內(nèi)容，教師可以整合形成探究性作業(yè)，從而驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

案例2 點(diǎn)到直線的距離公式的證明.

作業(yè)示例 教材（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修一）上利用等面積法證明了平面上點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.參考下面的素材，你能從其他途徑來證明點(diǎn)P到直線l的距離公式嗎？請(qǐng)嘗試推導(dǎo)證明.

素材1 已知直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0）和直線l外一點(diǎn)P0（x0，y0），過點(diǎn)P0且與直線l垂直的直線l′的方程為B（x-x0）-A（y-y0）=0，直線l與l′的交點(diǎn)為P1（x1，y1），則點(diǎn)P0到直線l的距離為

d=|P0P1|=（x1-x0）2+（y1-y0）2.（*）

因?yàn)辄c(diǎn)P1是直線l與l′的交點(diǎn)，所以Ax1+By1+C=0，①B（x1-x0）-A（y1-y0）=0.②

策略1：由①②聯(lián)立，解出x1，y1，然后代入（*）式，求出d.

策略2：由于d=（x1-x0）2+（y1-y0）2，而①式等價(jià)于

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-Ax0-By0-C.③將x1-x0，y1-y0看作整體，由②③解出

x1-x0，y1-y0，然后代入（*）式，求出d.

策略3：注意到②③和d=（x1-x0）2+（y1-y0）2的特點(diǎn)，將②式的兩邊平方與③式的兩邊平方相加，求出d.（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第43頁“探究·拓展”第24題，策略3有所修改）

素材2 對(duì)于直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0），向量（-B，A）是直線l的一個(gè)方向向量，向量（A，B）是直線l的一個(gè)法向量.閱讀蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第44—45頁，嘗試用向量的方法推導(dǎo)：點(diǎn)P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式.

素材3 由原點(diǎn)O向直線l作垂線ON，垂足為N.設(shè)ON=p，ON與x軸正方向所成的角為θ（0≤θ＜2π）.（1）求證：直線l的方程為xcos θ+ysin θ-p=0；（2）利用上面的方程推導(dǎo)點(diǎn)P0（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式.（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第49頁“探究·拓展”第20題）

素材4 點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)距離的最小值.如果把一個(gè)給定點(diǎn)到線段上任意一點(diǎn)的距離的最小值定義為該點(diǎn)到該線段的距離，試求點(diǎn)P0（x0，y0）到直線

l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0）的距離公式.（滬教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第32頁“拓展與思考”第4題的改編）

設(shè)計(jì)意圖 《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的明確要求是探索并掌握平面上點(diǎn)到直線的距離公式，因而教學(xué)時(shí)要重視公式推導(dǎo)與證明的過程.蘇教版教材中通過構(gòu)造直角三角形，利用等面積法，從幾何的角度簡(jiǎn)化了公式的證明.相比之下，素材1提供了一種自然的代數(shù)法視角，它是學(xué)生易于想到的解題途徑，且其內(nèi)含的三個(gè)策略分別對(duì)應(yīng)運(yùn)算素養(yǎng)的三級(jí)水平，即策略一對(duì)應(yīng)常規(guī)運(yùn)算，策略二對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化運(yùn)算，策略三對(duì)應(yīng)整體運(yùn)算[6].素材1不僅是提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的有效資源，更可直接設(shè)計(jì)為課后作業(yè)，提升學(xué)生處理復(fù)雜運(yùn)算的信心.向量作為連接代數(shù)和幾何的“橋梁”，素材2可借助投影向量或共線向量，為公式的證明開辟了另一番天地.素材3利用直線的法線式方程進(jìn)行探究.素材4從最小值的視角出發(fā)，可通過函數(shù)法或柯西不等式來推導(dǎo)距離公式，凸顯了不同數(shù)學(xué)模塊之間緊密相連、相互滲透的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的有效整合與遷移.

2.3 注重例題整合延展，設(shè)計(jì)例題延展類探究性長(zhǎng)作業(yè)

例題是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，是數(shù)學(xué)教科書中概念、命題與習(xí)題之間的橋梁和紐帶.教科書中的例題具有示范引領(lǐng)、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓(xùn)練和文化育人的功能[7].課本中例題的編選及其解法的選擇，都注重了典型性、代表性和示范性，以達(dá)到舉一反三的目的[8].

教材中例題的使用不能停留在直接使用，更不能直接不用，應(yīng)充分思考選編例題的意圖，主動(dòng)剖析例題的功能，深度挖掘例題的外延，以達(dá)到“用教材教”而不是“教教材”.同時(shí)，可以將同一本教材中例題與課后習(xí)題進(jìn)行整合，也可以將不同教材中的例題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)對(duì)例題的整合延展，形成探究性長(zhǎng)作業(yè)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)例題的深度理解.

案例3 橢圓與圓的關(guān)聯(lián).

作業(yè)示例 由蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修一第84頁的例3知：將圓x2+y2=4上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒t可求得所得曲線的方程為x24+y2=1，由方程知該曲線是一個(gè)橢圓.參考課本例3求解的方法，試探究下面的系列題目.

題目1 將橢圓x24+y216=1上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第87頁“思考·運(yùn)用”第12題）

題目2 對(duì)于橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），在豎直方向和水平方向分別做怎樣的伸縮，可以得到圓x2+y2=1？反過來，對(duì)于圓x2+y2=1，在豎直方向和水平方向分別做怎樣的伸縮，可以得到橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）？（北師大版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第60頁“問題與思考”的題3改編）

題目3 依據(jù)圓和橢圓的關(guān)系，能否由圓所具有的相關(guān)結(jié)論提出一些關(guān)于橢圓的猜想？例如，由“直徑所對(duì)的圓周角為直角，在數(shù)量特征上體現(xiàn)為圓上任意一點(diǎn)與任意不經(jīng)過該點(diǎn)的圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率（若斜率存在）乘積為常數(shù)-1”，猜想：“橢圓上的任意一點(diǎn)（不包括長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）與長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率（若斜率存在）乘積為常數(shù)”.寫出一個(gè)猜想并論述猜想的正確性.（北師大版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第60頁“問題與思考”的題4）

題目4 橢圓可以視為對(duì)圓上的點(diǎn)向同一條直徑施行伸縮變換而成.運(yùn)用橢圓與圓之間的這種關(guān)系，你能根據(jù)圓的面積公式來猜想橢圓的面積公式嗎？查閱文獻(xiàn)，進(jìn)一步了解仿射不變性與仿射不變量.（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第93頁“探究·拓展”第16題的改編）

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)家希爾伯特指出“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各部分之間的聯(lián)系”.蘇教版課本中的例3利用坐標(biāo)變換將圓轉(zhuǎn)化成橢圓，利用相關(guān)點(diǎn)法就可以得到答案，在教學(xué)中教師有時(shí)會(huì)更多的關(guān)注方法的講解，如會(huì)繼續(xù)補(bǔ)充一些“相關(guān)點(diǎn)法”的題目，例如題目1，而忽視了對(duì)例題本質(zhì)的挖掘.一般化是研究問題的基本方法，題目2將特殊問題一般化，旨在激發(fā)學(xué)生的深度思考，探索例題背后的核心本質(zhì).題目3啟發(fā)學(xué)生思考由圓中的不變性猜想出橢圓中的不變性.題目4由圓的面積為πa2=πa×a，將圓水平方向長(zhǎng)度不變，豎直方向由a壓縮成b，可猜想橢圓的面積為πab.通過查閱文獻(xiàn)，了解仿射變換，學(xué)生能更好地認(rèn)識(shí)到橢圓與圓的外顯和內(nèi)在關(guān)聯(lián).

2.4落實(shí)習(xí)題變式研究，設(shè)計(jì)習(xí)題變式類探究性長(zhǎng)作業(yè)

《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》在教材編寫建議中指出，習(xí)題是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，也應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供平臺(tái)[1].人教社A版高中數(shù)學(xué)教材在主編寄語中提到，書中的習(xí)題是精心挑選的，看似不難但寓意深刻，要高度重視.

在作業(yè)編制時(shí)，教師往往更傾向于從數(shù)學(xué)學(xué)科網(wǎng)站（如組卷網(wǎng)）中選題，往往不用課本中的習(xí)題，這無形中忽視了課本習(xí)題的功能，有時(shí)因?yàn)檫x題的盲目性甚至?xí)黾訉W(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).怎樣開發(fā)利用好課本習(xí)題是值得研究的問題，落實(shí)習(xí)題變式研究，并將其設(shè)計(jì)成探究性長(zhǎng)作業(yè)是解決這一問題的有效方法.類比、推廣、一般化、逆向思考是研究問題的一般方法，借助這些研究方法，可以生成系列可研究問題，從而實(shí)現(xiàn)從會(huì)“一道題”到會(huì)“一類題”、從“看樹木”到“看森林”的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效.

案例4 課本習(xí)題在作業(yè)中的進(jìn)一步探究.

作業(yè)示例 蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選擇性必修一第100頁的習(xí)題3.2（1）的第5題：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為94，求頂點(diǎn)A的軌跡.

這是課本上的一道習(xí)題，請(qǐng)進(jìn)一步探究以下問題.

①逆向思考：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），若頂點(diǎn)A在曲線x236-y281=1上運(yùn)動(dòng)，問直線AB，AC的斜率乘積是否為一定值？

②類比思考：若將原題中直線AB，AC的斜率乘積改為-94，那么頂點(diǎn)A的軌跡是什么？你能寫出該問題的逆命題，并判斷其真假嗎？

③推廣思考：在△ABC中，頂點(diǎn)A在曲線M：x236-y281=1上運(yùn)動(dòng)，B，C是曲線M上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，問直線AB，AC的斜率乘積是否為一定值？

④一般思考：若將問題③中的曲線M一般化，即M：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），且其他條件不變，你能得到什么結(jié)論？橢圓中是否有類似的結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖 康托爾說過：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要.”問題①～④通過層層深入的問題，不僅引發(fā)學(xué)生深度思考，而且啟發(fā)學(xué)生如何提出問題.課本中選這道習(xí)題的緣由是基于圓錐曲線的第三定義，即平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1（a，0）和A2（-a，0）的斜率乘積等于e2-1的點(diǎn)的軌跡為橢圓（0＜e＜1）或雙曲線（e＞1），通過以上的探究性長(zhǎng)作業(yè)，學(xué)生自然容易理解和接納圓錐曲線的第三定義.解析幾何因其計(jì)算量大、思維含量高，通常設(shè)置為考試的壓軸題，令很多同學(xué)望而卻步.如果平時(shí)的作業(yè)能設(shè)計(jì)一些變式類探究性長(zhǎng)作業(yè)，在原問題的基礎(chǔ)上通過逆向、類比、推廣、一般化等思維方法，經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的探究過程，必然能增強(qiáng)復(fù)雜運(yùn)算的信心，促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

2.5聚焦探究活動(dòng)開展，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)類探究性長(zhǎng)作業(yè)

《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程[1].數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，應(yīng)以課題研究的形式開展.

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為新課程的四大模塊之一，是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，也是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要抓手.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開展包括選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié).高中數(shù)學(xué)新教材（參考國(guó)家中小學(xué)智慧教育平臺(tái)）中提供了一些數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的資源，如蘇教版中的“問題與探究”，人教A版中的“探究與發(fā)現(xiàn)”，人教B版和北師大版中的“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”等，將這些資源進(jìn)行分類整合，可直接轉(zhuǎn)化成探究性長(zhǎng)作業(yè)的素材.

案例5 四版新教材中解析幾何部分的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)資源.

設(shè)計(jì)意圖 《標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出數(shù)學(xué)教育幫助提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[1].數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的四環(huán)節(jié)是提升學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要途徑：在選題環(huán)節(jié)可增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)問題，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；在做題環(huán)節(jié)可增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)問題，提升分析和解決問題的能力；在開題和結(jié)題環(huán)節(jié)通過報(bào)告的撰寫和匯報(bào)，提升用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題的能力.從表1可以看出，教科書中直接適用于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的素材是少量的，需要將不同版本的教科書中的素材進(jìn)行整合，同時(shí)應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生自主提出富有探究?jī)r(jià)值的數(shù)學(xué)問題，從而充實(shí)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)“資源庫(kù)”.

3結(jié)束語

“雙減”下的數(shù)學(xué)作業(yè)觀應(yīng)是大作業(yè)觀、長(zhǎng)作業(yè)觀、協(xié)同作業(yè)觀和文化數(shù)學(xué)觀，發(fā)揮作業(yè)育人的價(jià)值[9].數(shù)學(xué)探究性長(zhǎng)作業(yè)需要深入透徹地理解學(xué)習(xí)材料，同時(shí)運(yùn)用批判性思維進(jìn)行細(xì)致分析與深刻洞察，進(jìn)而通過精準(zhǔn)的語言闡述個(gè)人見解.探究性長(zhǎng)作業(yè)的開展，可以有效引導(dǎo)學(xué)生思維向更深層次發(fā)展，同時(shí)讓學(xué)生親身參與并體驗(yàn)這些思維活動(dòng)，能夠顯著提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.

數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源[1].立足數(shù)學(xué)教材中的資源進(jìn)行統(tǒng)整和開發(fā)，應(yīng)遵循思想性、科學(xué)性、針對(duì)性、開放性的原則[10].探究性作業(yè)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)作業(yè)中最欠缺的一個(gè)部分，設(shè)計(jì)概念應(yīng)用類、公式證明類、例題延展類、習(xí)題變式類、探究活動(dòng)類的探究性長(zhǎng)作業(yè)是對(duì)教材的創(chuàng)造性使用，也是對(duì)探究性作業(yè)設(shè)計(jì)的積極探索.鑒于探究性長(zhǎng)作業(yè)多指向核心素養(yǎng)的較高層次要求，因此在探究性長(zhǎng)作業(yè)內(nèi)容的選取上，還需充分考慮學(xué)生的個(gè)體差異，實(shí)施因材施教、因能施教的原則，以確保探究性長(zhǎng)作業(yè)的有效性和針對(duì)性.

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作者簡(jiǎn)介

王強(qiáng)（1989—），男，江蘇泰州人，碩士，中教一級(jí)，常州市骨干教師，江蘇省卓越教師創(chuàng)新培育計(jì)劃（2023高中數(shù)學(xué)）培育對(duì)象；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.李大偉（1990—），男，江蘇鹽城人，碩士，中教一級(jí)，常州市教壇新秀；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.

基金項(xiàng)目

江蘇省2023年度教師發(fā)展研究重點(diǎn)課題“基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)研究”（jsfz-d29）；江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“高統(tǒng)整視角下普通高中大單元作業(yè)設(shè)計(jì)研究”（D/2021/02/179）.