案例驅(qū)動有限單元法多元考核模式探索與實踐

摘 要：有限單元法是教學(xué)、科研及工程應(yīng)用中重要而又普及的數(shù)值方法和工具，也是新工科背景下工科力學(xué)專業(yè)的核心課程。以有限單元法課程為例，探討和實踐多元考核模式在課程教學(xué)中的應(yīng)用與效果。通過實施課程改革并引入多元化、全過程的考核評價體系，優(yōu)化思政案例以及融入載體，以案例驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生思考問題、探索解決方案并領(lǐng)會有限元方法的實質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生利用有限元法解決實際工程問題的思維能力。研究表明，多元考核模式不僅優(yōu)化教學(xué)效果，為新工科背景下相關(guān)課程的改革提供有益借鑒，還為學(xué)生今后就業(yè)和進一步深造打下堅實的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：新工科；多元考核；教學(xué)改革；有限單元法；MATLAB程序設(shè)計

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）34-0123-04

Abstract： The finite element method is an important and widely used numerical method and tool in teaching， research， and engineering applications， and is also a core course in engineering mechanics under the background of new engineering education. Taking the course of Finite Element Method as an example， this paper explores and practices the application and effectiveness of multiple assessment models in course teaching， by implementing curriculum reform and introducing a diversified， full process assessment and evaluation system， political cases and integrating them into carriers， guiding students to think about problems， and it also explores solutions and understand the essence of finite element method through case driven approaches， stimulating students' learning interest and exploration desire， and cultivating their thinking ability to use finite element method to solve practical engineering cases. Research has shown that the diversified assessment model not only optimizes teaching effectiveness and provides useful references for the reform of related courses under the background of new engineering education， but also lays a solid foundation for students' future employment and further studies.

Keywords： new engineering education; diversified assessment; curriculum reform; Finite Element Method; MATLAB program design

2020年10月，中共中央、國務(wù)院聯(lián)合發(fā)布《深化新時代教育評價改革總體方案》，著重強調(diào)要在教育教研的指導(dǎo)方式方面實施創(chuàng)新，同時也要嚴格控制以考試形式進行的抽樣評估。需要通過創(chuàng)新評價工具，應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)如人工智能與大數(shù)據(jù)等，積極探索進行學(xué)生全程縱向評價以及德智體美勞多元要素橫向評價[1]。完善評價結(jié)果的運用，充分發(fā)揮評價在導(dǎo)向、鑒定、診斷、調(diào)控和改進等方面的綜合作用[2-4]。在這一總體方案的引導(dǎo)下，高校亟需在結(jié)合新工科建設(shè)特點的同時，根據(jù)各自學(xué)科的特點，進行相應(yīng)的課程考核改革。有限元方法作為當(dāng)今工程結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法，已經(jīng)成為各類工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計和性能分析的可靠依據(jù)，廣泛應(yīng)用于航空航天、機械制造、土木建筑、能源開采等領(lǐng)域[5-8]。有限單元法課程作為工科專業(yè)中的一門重要課程，具有較強的理論性和實踐性，在傳統(tǒng)的考核模式下，主要依賴于期末考試，難以全面反映學(xué)生在知識掌握、問題解決、創(chuàng)新思維等方面的綜合能力[9-11]。因此，探索和實踐多元考核模式成為當(dāng)前教學(xué)改革的重要方向之一，尤其是在新工科教育背景下，這一需求更為突出。

一 有限單元法教學(xué)與考核現(xiàn)狀分析

有限單元法（Finite Element Method， FEM）作為一種數(shù)值分析方法，在工程和科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)具有廣泛應(yīng)用[12]。在當(dāng)前的教學(xué)現(xiàn)狀中，有限單元法課程主要包括理論基礎(chǔ)和實際應(yīng)用兩部分，理論基礎(chǔ)方面，課程內(nèi)容通常涵蓋有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如變分法、弱形式、加權(quán)余量法等數(shù)學(xué)方法，要求學(xué)生具有較強的數(shù)學(xué)功底和邏輯推理能力。同時，課程還會涉及有限單元模型的建立，包括單元選擇、節(jié)點和邊界條件的設(shè)置、數(shù)值計算方法的應(yīng)用等。在教學(xué)方法上，傳統(tǒng)教學(xué)方法主要以教師課堂講授為主，輔以板書或PPT講解有限單元法的基本理論與方法，而學(xué)生則通過課后習(xí)題和項目來鞏固知識[13-15]。

有限單元法的教學(xué)仍面臨一些挑戰(zhàn)。首先，由于理論推導(dǎo)復(fù)雜，學(xué)生往往難以理解和掌握課程的核心概念和原理。其次，實踐性強的特點要求理論教學(xué)與實際應(yīng)用緊密結(jié)合，在實際教學(xué)中，實踐操作時間和資源有限，這使得很多學(xué)生無法充分應(yīng)用所學(xué)理論進行實際工程問題的解決。傳統(tǒng)的考核方式主要是期末考試，考查學(xué)生對基本理論和方法的理解，考試題型包括簡答題、計算題和推導(dǎo)題。現(xiàn)有考核方式在理論與實踐的平衡、多樣化和個性化方面仍存在一定不足。有限的教學(xué)時間和資源使得平衡理論與實踐的考核變得困難。此外，目前的考核方式相對單一，難以全面評估學(xué)生在不同方面的能力，如創(chuàng)新能力、團隊合作能力和自我學(xué)習(xí)能力。

未來有限單元法的教學(xué)和考核需要進一步改革和優(yōu)化。首先，應(yīng)加強實踐教學(xué)，在課程中引入更多的MATLAB編程實踐環(huán)節(jié)，通過提升學(xué)生的實踐能力和動手能力。其次，考核方式應(yīng)多樣化，例如引入過程性評價，通過MATLAB Online和MATLAB Drive等云工具觀察學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，如作業(yè)完成情況、課堂參與度、項目進展情況等，來進行綜合評估。同時，探索個性化的考核方式，例如學(xué)習(xí)檔案、學(xué)生自評等，以全面了解和評估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果和進步。

二 MATLAB編程語言的優(yōu)勢與應(yīng)用前景

MATLAB在有限元分析方面具有顯著的優(yōu)勢和廣闊的應(yīng)用前景，主要得益于其強大的數(shù)值計算能力、豐富的工具箱支持、簡潔的編程環(huán)境以及高度的可擴展性。MATLAB以其強大的矩陣計算能力和優(yōu)化的數(shù)學(xué)函數(shù)庫，能夠高效處理有限元方法中常見的大規(guī)模線性代數(shù)運算和數(shù)值解題任務(wù)。MATLAB的核心是基于矩陣運算的設(shè)計，這與有限元方法中的矩陣組裝和求解過程天然契合，使得在編寫有限元分析代碼時既簡潔又高效。此外，MATLAB內(nèi)置了多種數(shù)值求解器，這些工具能夠處理復(fù)雜的非線性方程組和動態(tài)系統(tǒng)，滿足不同類型的有限元問題的需求。

MATLAB提供了專門用于有限元分析的工具箱，如Partial Differential Equation Toolbox和Optimization Toolbox，這些工具箱提供了多種預(yù)定義函數(shù)和算法，支持從幾何建模、網(wǎng)格劃分、邊界條件設(shè)置到求解器選擇的完整流程。用戶可以通過圖形界面或編程方式靈活地進行問題設(shè)置、仿真和優(yōu)化。同時，MATLAB還支持與仿真軟件（如ANSYS、ABAQUS等）的無縫集成，用戶可以在MATLAB中進行前處理、后處理，或者使用MATLAB進行算法開發(fā)和數(shù)據(jù)分析，再將結(jié)果導(dǎo)入其他仿真軟件中進行進一步分析。MATLAB的Simulink模塊可提供了圖形化建模環(huán)境，可以用于動態(tài)系統(tǒng)仿真。對于涉及多物理場耦合的有限元問題，Simulink可以與PDE Toolbox結(jié)合使用，進行更復(fù)雜的建模和仿真。

總體而言，MATLAB在有限元分析領(lǐng)域的優(yōu)勢體現(xiàn)在其強大的計算能力、靈活的編程環(huán)境、豐富的工具箱支持以及良好的可擴展性和集成性，使得它能夠高效處理復(fù)雜的數(shù)值計算和多物理場耦合問題。隨著現(xiàn)代工程和科學(xué)問題的不斷復(fù)雜化和多樣化，MATLAB在有限元分析中的應(yīng)用前景將更加廣闊，繼續(xù)在工業(yè)應(yīng)用、科研創(chuàng)新和教育教學(xué)中發(fā)揮重要作用。

三 基于MATLAB語言的有限單元法教學(xué)、考核改革策略

（一） 引入MATLAB作為教學(xué)和計算工具

通過MATLAB的矩陣運算能力，使學(xué)生能夠快速實現(xiàn)有限元方法中的矩陣組裝、求解和結(jié)果后處理等步驟。教師可在課堂上演示MATLAB代碼的編寫與運行，幫助學(xué)生從基礎(chǔ)編程入手，逐步掌握有限元分析的計算方法。采用模塊化教學(xué)策略，將有限單元法課程內(nèi)容劃分為多個模塊（如有限元基礎(chǔ)理論、網(wǎng)格劃分方法、邊界條件處理、求解器選擇與實現(xiàn)等），每個模塊包括理論知識、MATLAB實踐和案例應(yīng)用。通過模塊化設(shè)計，學(xué)生可以系統(tǒng)、深入地學(xué)習(xí)每個部分內(nèi)容，同時能夠清晰地了解如何將這些模塊結(jié)合起來，解決實際工程問題。

推行案例驅(qū)動的教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生在MATLAB環(huán)境下獨立完成有限元分析項目，這種案例驅(qū)動的方式能夠培養(yǎng)學(xué)生的獨立研究能力、創(chuàng)新思維和團隊合作精神。充分利用MATLAB的可視化功能，幫助學(xué)生更直觀地理解有限元分析結(jié)果。例如，通過MATLAB繪制位移場、應(yīng)力場和溫度場的二維和三維圖形，展示不同物理量的分布和變化規(guī)律。教授數(shù)據(jù)分析和后處理方法，指導(dǎo)學(xué)生如何使用MATLAB的統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析工具，對有限元結(jié)果進行收斂性分析、誤差評估和優(yōu)化設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生的工程分析和決策能力。

（二） 教學(xué)方法的創(chuàng)新

為了提高教學(xué)效果，通過將教學(xué)內(nèi)容整合到案例分析中，學(xué)生將能夠在實踐中運用有限元法進行問題求解，讓學(xué)生分成小組，小組成員負責(zé)項目的不同部分（如模型建立、邊界條件設(shè)置、結(jié)果分析等），最終整合成完整的解決方案。利用MATLAB的App Designer創(chuàng)建交互式學(xué)習(xí)工具，使學(xué)生能夠動態(tài)地改變有限元模型參數(shù)（如網(wǎng)格劃分、材料屬性、邊界條件等），并隨時查看計算結(jié)果和可視化輸出。將有限元教學(xué)與游戲化元素結(jié)合，使用MATLAB環(huán)境中的一些工具來開發(fā)游戲化學(xué)習(xí)模塊。例如：設(shè)計編程挑戰(zhàn)或競賽，讓學(xué)生完成一系列基于MATLAB的有限元任務(wù)（如優(yōu)化網(wǎng)格劃分、求解復(fù)雜邊界條件下的位移場等），獲得積分和成就。通過MATLAB Online和MATLAB Drive等云工具，學(xué)生可以實時協(xié)作、分享代碼和結(jié)果，并進行集體討論和解決問題，學(xué)生可以在MATLAB Online中共同編輯一個項目文件，實時查看彼此的代碼更改和運行結(jié)果。教師可以將課程材料和示例代碼上傳到MATLAB Drive，學(xué)生可以直接訪問、復(fù)制和修改，以完成作業(yè)或?qū)嶒灐＠肕ATLAB Grader等自動化評估工具，創(chuàng)建自定義的題庫和評估腳本，自動批改學(xué)生的作業(yè)和考試，提供即時反饋。通過以上創(chuàng)新教學(xué)方法，可以更好地利用MATLAB平臺的強大功能和靈活性，增強有限元教學(xué)的效果。創(chuàng)新的教學(xué)方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，并更好地將理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合。

（三） 考核方式的改革

將傳統(tǒng)的筆試考核與編程實踐考核相結(jié)合作為考試成績，占期末成績的50%。筆試部分側(cè)重考查學(xué)生對有限元理論基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的掌握情況，占考試成績的40%；編程實踐部分則要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)編寫MATLAB代碼，完成指定的有限元問題，考察他們的編程能力、問題求解能力和對理論的實際應(yīng)用能力，占考試成績的30%。引入課程項目考核，通過學(xué)期末的項目展示和答辯，評價學(xué)生在項目中所體現(xiàn)的創(chuàng)新思維、團隊合作能力和項目管理能力。學(xué)生需通過MATLAB編程解決實際工程問題，并提交項目報告和演示文檔，說明項目背景、方法、結(jié)果和結(jié)論，占考試成績的30%。

建立過程性評價機制，將平時作業(yè)（占期末成績的20%）、課堂參與度（占期末成績的10%）、階段性測試（占期末成績的20%）等納入總成績考核。平時作業(yè)可包括MATLAB編程練習(xí)、有限元問題的案例分析等，以確保學(xué)生持續(xù)參與和跟進課程內(nèi)容。階段性測試則可以幫助教師掌握學(xué)生對課程內(nèi)容的理解情況，及時調(diào)整教學(xué)策略。在考核中加入團隊合作評估環(huán)節(jié)作為課堂參與度考核部分，通過團隊項目、合作編程任務(wù)等形式，考查學(xué)生在團隊中的合作能力和溝通技巧，團隊成員可以通過互評和自評等方式，為團隊貢獻進行評分。

加強教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的反饋，通過線上答疑、課后輔導(dǎo)、代碼評審等方式及時幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)中的難點和問題。通過持續(xù)的反饋機制，幫助學(xué)生更好地掌握有限元方法的核心知識和技能。設(shè)計具有開放性和挑戰(zhàn)性的考核任務(wù)，選擇合適的求解方法，并解釋不同選擇對結(jié)果的影響。設(shè)置額外的選做題目或挑戰(zhàn)任務(wù)，鼓勵有能力的學(xué)生去嘗試更高難度的課題或研究問題，如多物理場耦合分析、高階單元方法的實現(xiàn)或者數(shù)據(jù)驅(qū)動的有限元模型優(yōu)化等。

（四） 教學(xué)案例分析

為了驗證基于MATLAB的有限單元法教學(xué)改革的效果，本文設(shè)計并實施了一個具體的教學(xué)案例——“MATLAB編程實現(xiàn)一維彈性桿的有限元分析”。該案例覆蓋了從理論建模、數(shù)值計算到結(jié)果展示的全過程，通過具體的案例分析掌握如何構(gòu)建剛度矩陣、應(yīng)用邊界條件和求解系統(tǒng)方程，理解結(jié)果的物理意義并進行結(jié)果可視化。

首先，教師進行案例內(nèi)容描述，分析一維彈性桿在均勻拉伸力作用下的位移。假設(shè)桿的長度為L，彈性模量為E，截面積為A，受均勻分布的拉伸力f（x），求解一端固定、另一端自由的桿在均勻分布的拉伸力f（x）作用下的位移。

其次，MATLAB編程實現(xiàn)，具體包括以下步驟。①節(jié)點和單元劃分：設(shè)置桿的總長度L、彈性模量E、截面積A和節(jié)點數(shù)N+1。②構(gòu)建剛度矩陣：對于每個單元，計算局部剛度矩陣并將其組裝到全局剛度矩陣中。③構(gòu)建載荷向量：計算載荷向量。④應(yīng)用邊界條件：固定節(jié)點1的位移（設(shè)為0），調(diào)整剛度矩陣和載荷向量。⑤求解位移：使用MATLAB的反斜杠操作符求解線性方程組，得到每個節(jié)點的位移。⑥結(jié)果可視化：繪制位移圖，展示每個節(jié)點的位移情況。

四 教學(xué)改革效果評估

（一） 學(xué)生學(xué)習(xí)效果評估

教師可以利用MATLAB Grader來設(shè)計有限元分析相關(guān)的編程任務(wù)（如構(gòu)建剛度矩陣、實施網(wǎng)格劃分、模擬應(yīng)力分布等），并通過自動化評估工具對學(xué)生的作業(yè)進行批改以及評分。通過創(chuàng)建一個MATLAB腳本，驗證學(xué)生計算結(jié)果的正確性，檢查剛度矩陣的構(gòu)建、載荷向量的組裝和邊界條件的應(yīng)用，腳本代碼如下。

function result = evaluate_student_code（）

% 預(yù)期的剛度矩陣（小規(guī)模示例）

expected_K = [...]; % 填寫預(yù)期結(jié)果

% 計算誤差

if norm（K - expected_K） < 1e-6

result = '評估通過！';

else

result = '剛度矩陣構(gòu)建錯誤。';

end

end

（二） 案例反饋與優(yōu)化

分析學(xué)生在該案例中的表現(xiàn)，確定其在剛度矩陣構(gòu)建、邊界條件處理等方面的常見問題，提供詳細的錯誤報告，解釋錯誤的原因和改進建議，根據(jù)學(xué)生的水平和課程進度，將教學(xué)案例設(shè)計為基礎(chǔ)、中級和高級三個層次，使用個性化學(xué)習(xí)路徑和差異化教學(xué)策略，根據(jù)學(xué)生的反饋和學(xué)習(xí)進度調(diào)整案例難度，讓進步較快的學(xué)生能夠挑戰(zhàn)更復(fù)雜的案例，同時給予進度較慢的學(xué)生更多的基礎(chǔ)練習(xí)和支持。根據(jù)學(xué)生反饋調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，定期組織案例討論會或研討班，讓學(xué)生展示他們的MATLAB項目成果，分享遇到的問題和解決方案，使學(xué)生可以更好地理解和改進他們的分析方法。設(shè)計添加更多跨學(xué)科的教學(xué)案例，將有限元分析與其他學(xué)科領(lǐng)域結(jié)合，有助于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和批判性思維。

五 結(jié)束語

本文基于新工科背景，以有限單元法課程為例，探討了案例驅(qū)動多元考核模式的設(shè)計與實踐。研究結(jié)果表明，多元考核模式在促進學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提升實踐能力和培養(yǎng)綜合素質(zhì)方面具有顯著效果。多元考核模式不僅適用于有限單元法課程，對于其他工科課程的教學(xué)改革也具有借鑒意義。通過合理設(shè)計與實施，該模式可以在不同工科課程中推廣應(yīng)用，進一步提升工科教育的整體質(zhì)量。

未來的研究將繼續(xù)探索多元考核模式在工科教育中的應(yīng)用效果，同時關(guān)注信息技術(shù)在考核模式中的引入與整合，努力實現(xiàn)更加智能化和個性化的教學(xué)評價體系。此外，針對現(xiàn)有考核模式中的不足之處，將進一步優(yōu)化考核設(shè)計，確保考核的科學(xué)性、公平性和實效性。

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DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.34.029

基金項目：中國高等教育學(xué)會高等教育科學(xué)研究規(guī)劃課題“學(xué)組制：力學(xué)專業(yè)拔尖學(xué)生的培養(yǎng)”（A2023-350）；國家自然科學(xué)基金項目“相變-多物理場作用下能源土破壞分析的近場動力學(xué)模型與算法研究”（12302264）；青島理工大學(xué)本科教學(xué)改革與研究項目“‘新工科’人才培養(yǎng)模式下材料力學(xué)課程多元考核模式探索與實踐”（F2023-151）

第一作者簡介：趙世軍（1988-），男，漢族，山東日照人，博士，副教授。研究方向為計算固體力學(xué)。

*通信作者：孔亮（1969-），男，漢族，云南景東人，博士，教授，院長。研究方向為海洋巖土力學(xué)與工程。