小偏差永磁同步電機雙矢量模型預測控制

摘 要：傳統的永磁同步電機雙矢量模型預測控制的合成電壓矢量與參考電壓矢量的偏差較大，且存在計算量大、開關頻率高的缺點，在實際工況中難以實現良好的控制性能。為了解決上述問題，提出一種小偏差永磁同步電機雙矢量模型預測控制策略，通過分析參考電壓矢量的變化規律，構造新的電壓矢量選擇表，將電壓矢量的選擇范圍從六個降為三個，減小計算量的同時也降低了開關頻率；針對傳統的作用時間計算方法存在的問題，提出基于偏差最小原則的作用時間計算方法，并詳細證明了該方法的優越性。仿真和實驗結果顯示，所提出的方法能夠有效減小計算量和降低開關頻率，同時具有較好的穩態和動態性能。

關鍵詞：永磁同步電機；模型預測控制；小偏差；雙矢量；低開關頻率；作用時間

DOI：10.15938/j.emc.2024.10.015

中圖分類號：TM351

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）10-0155-11

收稿日期： 2023-02-07

作者簡介：陳 榮（1976—），男，博士，講師，研究方向為電機智能控制和特種電機驅動；

翟凱淼（1998—），男，碩士研究生，研究方向為電機系統及其控制；

舒胡平（1998—），男，碩士研究生，研究方向為特種電機設計及其控制。

通信作者：陳 榮

Small deviation dual vector model predictive control for permanent magnet synchronous motor

CHEN Rong， ZHAI Kaimiao， SHU Huping

（College of New Energy， China University of Petroleum， Qingdao 266000， China）

Abstract：The traditional dual-vector model predictive control of permanent magnet synchronous motor has a large deviation between the synthetic voltage vector and the reference voltage vector， and has the disadvantages of large calculation and high switching frequency. It is difficult to achieve good control performance in actual working conditions. In order to solve the above problems， a double vector model predictive control strategy with small deviation for permanent magnet synchronous motor was proposed. By analyzing the variation of reference voltage vector， a new voltage vector selection table was constructed， and the selection range of voltage vector was reduced from six to three， which reduces the amount of calculation and decreases the switching frequency. Aiming at the problems existing in the traditional calculation method of action time， a calculation method of action time based on α and β axis voltage functions was proposed， and the superiority of the method was proved in detail. The simulation and experimental results show that the proposed method can effectively reduce the amount of calculation and reduce the switching frequency， and has good steady-state and dynamic performance.

Keywords：permanent magnet synchronous motor; model predictive control; small deviation; dual vector; low switching frequency; action time

0 引 言

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有效率高、轉矩電流比大、功率密度大、控制性能好等獨特優勢，在電動汽車和風力發電領域受到越來越多的關注^［1-5］。相比于傳統的控制策略，模型預測控制（model predictive control，MPC）在結構上更簡單，概念上更直觀，更容易實現，這使得MPC技術在永磁同步電機控制中越來越受到重視^［6-9］。

傳統MPC在每個控制周期中只輸出一個電壓矢量，導致穩態紋波相對較高^［10-12］。為此，有學者提出了雙矢量模型預測電流控制（dual vector model predictive current control，D-MPCC）策略，通過在一個控制周期中輸出兩個電壓矢量來降低穩態紋波^［13-16］，但篩選電壓矢量的過程計算量較大，且在相同的控制周期下，開關頻率較FCS-MPCC會大幅提高^［17］。對于工作點變化范圍極大的應用場合，必須確保系統能夠承受的最大開關頻率大于D-MPCC所有工況下的最大開關頻率，限制了其應用范圍^［18］。

對于多矢量模型預測控制策略，為了更好地提高控制性能，準確地計算電壓矢量的作用時間是極其重要的。D-MPCC通常以d、q軸電流無差拍控制原理為基礎來計算作用時間，此種方法計算量較大，而且電壓矢量合成是在α、β軸中體現，故傳統的作用時間計算方法缺乏嚴格的理論證明，且作用時間易出現負值或者超出控制周期的不合理情況，在實際應用中難以實現全局最優控制^［19］。

對于計算量大和開關頻率高的問題，多個學者進行了相關研究。文獻［20］提出將減小開關次數作為成本函數的其中一個控制目標，根據電機運行狀態，采用模糊控制動態輸出穩態開關次數權重系數，有效降低了平均開關頻率，但計算權重系數需要將系統分為靜態和動態分別考慮，實現過程較為復雜。文獻［21］將逆變器輸出電壓矢量的尋優標準從傳統的跟蹤偏差最小，優化為在滯環內延展步長最長，以降低逆變器的開關頻率，但需構造的虛擬電壓矢量過多，計算量較大。文獻［22］利用7段式空間矢量脈寬調制對稱發波原理生成脈寬，從而實現固定開關頻率，但是算法實現的遍歷過程是非線性不連續的，故無法利用線性理論嚴格分析系統穩定性。文獻［23］通過測量并預測每個上升沿和下降沿之間的切換周期，設計了新的代價函數及其加權因子，使得開關頻率固定，但實現過程較為復雜，不利于實際應用。

在計算電壓矢量作用時間方面，文獻［24］和文獻［25］在電壓矢量作用時間出現負值時采取舍棄對應的電壓矢量的做法，只讓剩下的電壓矢量進行輸出，這種方法簡單易行，但是會增加合成電壓矢量與參考電壓矢量的偏差。文獻［26］和文獻［27］采用調制法來計算作用時間，定義電壓矢量作用時間與對應的價值函數成反比，避免了作用時間出現負值的情況，具有實現簡單、計算量小等優點，但其反比關系缺乏嚴格理論證明。

為了解決上述問題，本文提出了一種小偏差永磁同步電機雙矢量模型預測控制（small deviation double vector model predictive control for permanent magnet synchronous motor，SD-DVMPC）策略。首先，構造了一個高效的電壓矢量切換表，從而將電壓矢量的選擇范圍從六個降為三個，減小了計算量的同時也降低了開關頻率；然后，提出了一種基于偏差最小原則的作用時間計算方法，并詳細證明了該方法的優越性，改善了系統的控制性能。仿真和實驗結果都證明了本文所提控制策略的有效性和可行性。

本文首先介紹表貼式永磁同步電機（surface permanent magnet synchronous motor，SPMSM）的數學模型和傳統D-MPCC的控制原理，并分析D-MPCC的優缺點。然后在分析參考電壓矢量變化規律的基礎上，提出一種高效的電壓矢量切換表，同時推導基于α、β軸電壓函數的作用時間計算方法，并詳細證明方法的優越性。最后對所提的SD-DVMPC進行仿真和實驗驗證。

1 傳統D-MPCC基本原理

1.1 數學模型

SPMSM在d、q軸坐標系下的數學模型可表示為：

式中：i_d、i_q分別為d、q軸電流；u_d、u_q分別為d、q軸電壓；L為定子電感；R_s為定子電阻；ψ_f為定子磁鏈；ω_e為轉子轉速。

將式（1）的狀態方程離散化可以得到：

兩電平電壓型逆變器（two-level voltage source inverter，2L-VSI）驅動三相SPMSM的等效電路如圖1（a）所示，其控制集包含的電壓矢量對應的開關狀態如圖1（b）所示。

圖1 SPMSM驅動系統的等效電路及對應的開關狀態

Fig.1 Equivalent circuit of SPMSM drive system and corresponding switching states

1.2 D-MPCC原理

傳統D-MPCC首先在6個有效電壓矢量中選擇使價值函數最小的電壓矢量作為最優電壓矢量u_i，再根據u_i確定候選電壓矢量組合，除u_i外，其余電壓矢量均可作為次優電壓矢量u_j的候選矢量。

由式（2）可得u_i和u_j作用時q軸電流變化率S_qi和S_qj分別為：

S_qi=di_qdt|_uq=uq|i=s₀+u_q|_iL_s；

S_qj=di_qdt|_uq=uq|j=s₀+u_q|_jL_s。（3）

式中s₀是零電壓矢量作用時i_q的斜率，S₀的表達式為

S₀=di_qdt|₀=1L_s［－R_si^p_q（k）－ω_e（k）L_si^p_d（k）－

ω_e（k）ψ_f］。（4）

D-MPCC策略中k+1時刻的i_q（k+1）為

i^p_q|_sw（k+1）=i^p_q（k）+S_qit_i+S_qj（T_s－t_i）。（5）

根據q軸電流無差拍確定u_i和u_j的作用時間t_i，和t_j分別為

t_i=i^*_q－i^p_q（k）－S_qjT_sS_qi－S_qj；

t_j=T_s－t_i。（6）

則對應的虛擬電壓矢量的d、q軸分量為

u_d=t_iT_su_d|_i+t_jT_su_d|_j；

u_q=t_iT_su_q|_i+t_jT_su_q|_j。（7）

將五個候選電壓矢量依次代入預測模型，得到i_d（k+1），i_q（k+1），選出使價值函數最小的候選電壓矢量作為輸出以控制2L-VSI，價值函數的表達式為

g=（i^*_d－i_d）²+（i^*_q－i_q）²。（8）

式中：i^*_d和i^*_q分別為d、q軸電流的參考值；i_d和i_q分別是基于SPMSM模型的d、q軸電流的預測值。

一方面D-MPCC解決了單矢量模型預測電流控制中最優電壓矢量作用后電流預測值與給定值存在較大偏差且穩態紋波大、系統穩態性能較差的問題；另一方面，D-MPCC存在開關頻率高且計算量大的問題，增加了開關損耗和數字處理器的運算負擔。

2 SD-DVMPC策略

2.1 參考電壓矢量的分析

D-MPCC策略中最優電壓矢量的選擇與參考電壓矢量V_δ所在扇區密切相關。最優電壓合成的方式有兩種，一種是相鄰的最優電壓矢量進行合成，如圖2中的u_a和u_b進行合成，合成電壓矢量頂點在外側虛線上，此時逆變器開關頻率較小；另一種是相隔的電壓矢量進行合成，如圖2中的u_a1和u_b1進行合成，合成電壓矢量頂點在內部虛線上，此時逆變器開關頻率較大。D-MPCC未考慮逆變器的開關次數，僅根據價值函數的大小判斷最優電壓矢量，如果選擇相隔電壓矢量進行合成，則開關頻率較高。因此，為了降低開關頻率，須限制電壓矢量的合成方式，只考慮相鄰的電壓矢量進行合成，下面擬對V_δ在每個控制周期所在的扇區的變化規律進行研究。

圖3表示V_δ所在扇區變化情況，由圖3可以看出V_δ所在扇區的變化具有很強的規律性，由第一個扇區逆時針依次變化到第六個扇區，且在變化時只在相鄰扇區進行跳變或者保持不變。例如在第k個控制周期時V_δ位于扇區Ⅰ，則第k+1個控制周期V_δ一定處于扇區Ⅰ或扇區Ⅱ或扇區Ⅵ，故最優電壓矢量只需在這幾個扇區進行選擇即可。

2.2 電壓矢量的選擇

傳統D-MPCC策略中，存在多個可能的電壓矢量組合，確定最佳組合的過程極大地增加了數字信號處理器的計算負擔。為了解決上述問題，根據對參考電壓矢量的分析，所提SD-DVMPC使用一個新的電壓矢量切換表，快速選擇最優電壓矢量u_i和次優電壓矢量u_j，且每次選擇電壓矢量時，對應的開關狀態只允許一相發生變化或者不變，新的電壓矢量切換表如表1所示。

根據表1，每次篩選電壓矢量時對應的開關狀態可能不變或者只改變一次。在每個控制周期內，共需篩選兩次電壓矢量，故每個控制周期內逆變器上橋臂開關總次數最低為1次，最高為2次，相比于D-MPCC，計算量更小且開關頻率更低。

2.3 作用時間的計算

傳統的作用時間計算中主要考慮d、q軸電流的無差拍跟蹤，利用下一采樣時刻的預測值等于給定值來計算作用時間。這種計算方式計算量大，且缺乏嚴格的理論證明，因為2L-VSI的八個電壓矢量的正六邊形圖是基于α、β軸，且電壓矢量合成是在α、β軸中實現，故采用d、q軸電流進行計算可能難以達到最理想的合成方式，且作用時間易出現負值或者超出控制周期的不合理情況，在實際應用中難以實現全局最優控制。為了解決上述問題，本文提出一種基于α、β軸電壓函數的作用時間計算方式。

本文采取一步延時補償的方法實現控制延時補償，此時式（2）變為

根據式（9）可得下一個控制控制周期應施加的參考電壓矢量：

u^*_d、u^*_d經過變換得到u^*_α、u^*_β，所以定義α、β軸電壓函數為：

g=（u^*_α－u_α）²+（u^*_β－u_β）²。（11）

式中u_α、u_β分別為兩個最優電壓矢量u_i、u_j對應的α、β軸分量。

假設參考電壓矢量位于扇區Ⅰ，如圖4所示，圖中：|OA|表示參考電壓矢量V_δ；|AC|表示V₁對應的電壓差函數g₁；|AD|表示V₂對應的電壓差函數g₂。由于相鄰的電壓矢量進行合成后的頂點只能在|CD|上，所以會存在一定的偏差，當|AB|垂直于|CD|時，偏差最小，合成的電壓矢量為|OB|，此時有

|AD|²－|BD|²=|AC|²－|BC|²。（12）

由于ΔODC為等邊三角形，根據電壓矢量合成的規則可知ΔBEC和ΔDFB也為等邊三角形，此時：

|BD|=|OE|；|BC|=|OF|。（13）

假設電壓矢量V₁的作用時間為T₁，電壓矢量V₂的作用時間為T₂，則有

|OE|=2T₁3T_sV_dc；

|OF|=2T₂3T_sV_dc。（14）

式中，V_dc表示2L-VSI的直流母線電壓。

將式（13）和式（14）代入式（12）可以得到

T²₁－T²₂=9（g²₂－g²₁）4V²_dcT²_s。（15）

T₁和T₂滿足

T₁+T₂=T_s。（16）

聯立式（15）和式（16）可得：

T₁=（9（g²₂－g²₁）8V²_dc+12）T_s；

T₂=（12－9（g²₂－g²₁）8V²_dc）T_s。（17）

在ΔACD中，恒有

g²₂－g²₁lt;|CD|²=4V²_dc9。（18）

故式（17）中的T₁和T₂恒大于零，且小于T_s。傳統的計算電壓矢量作用時間有d、q軸電流無差拍控制和調制兩種情況，故有必要對這兩種情況進行偏差分析。

當采用D-MPCC策略計算得到的作用時間進行合成時，合成電壓矢量與參考電壓矢量V_δ方向相同，如圖5所示。圖中線段|AB|表示本文提出的SD-DVMPC策略的偏差，線段|AK|表示D-MPCC策略的偏差，由于ΔABK為直角三角形，必有|AK|gt;|AB|，所以本文提出SD-DVMPC策略偏差更小。當D-MPCC計算得到的電壓矢量作用時間小于零或者大于控制周期時，通常采用單矢量進行輸出，此時偏差為線段|AC|，仍大于SD-DVMPC的偏差。

當采用調制法分配T_s時，T₁和T₂滿足關系：

T²₁T²₂=g²₂g²₁=K₁。（19）

在本文提出的SD-DVMPC中，T₁和T₂的關系為

T²₁T²₂=|DB|²|BC|²=g²₂－|AB|²g²₁－|AB|²=K₂。（20）

為了比較調制策略和本文所提策略的偏差大小，定義K為K₁和K₂的比值，綜合式（19）和式（20），可得到

K=（g₁g₂）²－|AB|²g²₂（g₁g₂）²－|AB|²g²₁。（21）

第一種情況為g₂gt;g₁，如圖6（a）所示，此時Klt;1，即K₁小于K₂，說明調制策略合成的電壓矢量向D點發生了偏移，此時|OG|為合成的電壓矢量，偏差為線段|AG|，而本文提出的策略的偏差為線段|AB|。由于ΔABG為直角三角形，必有|AG|gt;|AB|，所以本文所提策略的偏差小于調制策略的偏差。

第二種情況為g₂lt;g₁，如圖6（b）所示，此時K₁大于K₂，調制策略合成的電壓矢量向C點發生了偏移，此時|OG|為合成的電壓矢量，偏差為線段|AG|，同樣由于ΔABG為直角三角形，必有|AG|gt;|AB|，所以本文所提策略的偏差依然小于調制策略的偏差。

第三種情況為g₂=g₁，如圖6（c）所示，此時K₁等于K₂，調制策略合成的電壓矢量與本文所提策略的合成方式保持一致，此時本文所提策略的偏差等于調制策略的偏差，都為線段|AB|。

綜上所述，本文所提策略避免了電壓矢量作用時間出現負值的情況，且相比于傳統的雙矢量模型預測控制和調制控制，本文所提策略具有偏差小、計算量小和開關頻率低的優點，可有效提高系統運行的穩定性。

3 仿真研究

為了驗證所提SD-DVMPC策略的有效性，在MATLAB/Simulink環境下分別對D-MPCC和SD-DVMPC進行仿真研究。SPMSM的參數見表2，SD-DVMPC策略的系統控制框圖如圖7所示，兩種策略的采樣頻率均為10 kHz。

仿真結果如圖8和圖9所示。圖8為D-MPCC和SD-DVMPC穩態性能對比圖，給定轉速為300 r/min、負載轉矩為3 N·m，波形從上到下依次是轉速、電磁轉矩和A相定子電流。由圖8可看出穩態運行時SD-DVMPC的轉速波動明顯小于D-MPCC，穩定性更好；相較于D-MPCC，SD-DVMPC可有效減小轉矩脈動；SD-DVMPC的定子電流的正弦性更好，其中，D-MPCC的諧波率為8.34%，SD-DVMPC的諧波率為5.37%。

D-MPCC和SD-DVMPC的動態性能對比如圖9所示。空載狀態下電機穩定運行于300 r/min，在0.1 s時突加3 N·m負載，在0.2 s時由3 N·m負載突減至空載。由圖9可知，負載突變時，轉速略有波動，但都能快速跟蹤給定轉速；流過定子電流隨負載變化而變化且正弦性良好，SD-DVMPC具有更低的轉矩脈動。

在Simulink中的仿真通常為離線仿真，受系統硬件和模型復雜度影響，模型的實際運行時間通常不等于設定運行時間，故在系統硬件等條件相同的條件下，只需比較模型實際運行時間即可比較不同模型的復雜度。圖10表示兩種控制策略的實際運行時間對比，從圖中可以看出在設定運行時間相同的情況下，D-MPCC的實際運行時間要大于SD-DVMPC的實際運行時間，且隨著設定運行時間的增大，兩種策略的實際運行時間的差值逐漸擴大，表明本文提出SD-DVMPC的計算量明顯小于D-MPCC。

4 實驗驗證

為了進一步驗證本文所提SD-DVMPC的可行性與正確性，搭建了基于dSPACE1104的永磁同步電機實驗裝置，如圖11所示。實驗用永磁同步電機參數同表2，兩種控制策略的采樣頻率均為10 kHz。

圖12所示為D-MPCC與SD-DVMPC在永磁同步電機穩定運行于300 r/min時帶3 N·m負載的穩態實驗波形。由圖12可知，穩定運行時，D-MPCC和SD-DVMPC轉速波動小，性能接近。穩定運行時的轉矩波動，可用轉矩標準差進行衡量進而得到轉矩脈動T_{e_rip}的計算公式：

T_{e_rip}=1n∑ni=1（T_e（i）－T_{e_av}）²;

T_{e_av}=1n∑ni=1T_e（i）。（22）

式中n為采樣點的個數。

根據轉矩標準差表達式可分別計算得到穩定運行條件下，帶3 N·m負載且穩定運行于300 r/min，D-MPCC和SD-DVMPC的轉矩脈動，分別為0.264 N·m和0.225 N·m。與D-MPCC相比，SD-DVMPC電磁轉矩脈動減小了14.77%，且定子電流更接近于正弦，收斂性更好。

圖13（a）和圖13（b）分別為兩種策略下永磁同步電機空載起動至轉速300 r/min時的實驗波形。由圖13可看出，D-MPCC和SD-DVMPC均能平穩起動，起動過程中轉速基本無超調，且SD-DVMPC的轉矩脈動更小，定子電流正弦性更好，紋波更小。

圖14（a）和圖14（b）為在兩種控制策略下電機穩定運行于300 r/min時，負載由3 N·m突減至0時的實驗波形。由圖14可以看出，在負載突減后，兩種控制策略的電機轉速變化較小，轉矩能夠快速跟隨負載變化，且SD-DVMPC具有更好的轉矩跟隨性能，更小的電磁轉矩脈動和更優的電流波形。

為了比較兩種策略的計算復雜度，可以在dSPACE1104控制系統中直接讀取預測控制執行周期進行比較。預測控制執行周期包含通信時間、A/D轉換時間、數據存儲時間和代碼執行時間等。相同實驗條件下，通信時間、A/D轉換時間和數據保存時間不變，對于不同的控制策略，只需比較代碼執行時間。D-MPCC和SD-DVMPC的預測控制執行周期分別為26.7 μs和15.4 μs。表明SD-DVMPC顯著縮短了算法計算時間，有利于提高控制系統的實時性，與D-MPCC相比，SD-DVMPC顯著降低了計算復雜度。

5 結 論

為了解決永磁同步電機傳統雙矢量模型預測控制存在的計算量大、開關頻率高和偏差較大的問題，本文研究一種小偏差雙矢量模型預測控制方法，在該方法中，使用高效的電壓矢量切換表來篩選電壓矢量，并提出基于偏差最小原則的作用時間計算方法，減小計算量和降低開關頻率的同時提高了系統的控制性能。通過仿真及實驗驗證可得出如下結論：

1）在起動、加減載及穩態時，所提出的小偏差雙矢量模型預測控制均能快速跟隨給定值，動靜態性能明顯優于傳統的雙矢量模型預測策略。

2）本文提出的小偏差雙矢量模型預測控制策略相比于傳統的雙矢量模型預測策略計算量更小，開關頻率更低，同時合成電壓矢量與參考電壓矢量的偏差更小，更有利于系統穩定運行。

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（編輯：劉素菊）