本科“最優化方法”課程的教學改革與實踐

摘要：“最優化方法”是一門理論性強且應用廣泛的課程，在本科教學過程中要通過不斷改革來夯實基礎和促進教學質量的提升。本文將從最優化方法的發展歷程、基礎知識和實踐應用這三個方面闡述教學改革與實踐情況，體現不同層面和方式的改革思路，探索教與學的相互融合情況和感受真實效果。

關鍵詞：最優化方法；教學改革；實踐探索

中圖分類號：G642.0文獻標識碼：A

大眾對優化的認識，大部分起源于20世紀六七十年代我國著名數學家華羅庚先生在全國推廣的優選法。之后，隨著學者們的研究，涌現出大量關于最優化的起源、研究進展和應用成果等內容的論文和書籍，讓人們對最優化理論與方法及其應用有了更多的認識。但是，由于最優化理論的知識點和算法眾多，想要面面俱到地學習且每個分支都有深度研究幾乎是不可能的。顯然，較好的辦法是根據不同需求來側重學習相關內容。比如，從應用角度來看，非數學專業的學生想要應用最優化方法來解決專業問題，就得了解最優化算法能解決哪些相關優化問題，從而通過數學建模貼近這些優化問題，進而篩選出適用且高效的算法，展開數值實驗。其中，算法選擇和數據分析都需要一定的最優化理論與方法的知識，為此，在某些非數學專業本科生或研究生中開設與最優化理論與方法相關的課程是必要的，例如，在大數據、人工智能類本科專業開設“最優化方法”課程［1］。同時，面向新工科的最優化方法課程改革研究也有新的成果［2］。

本文主要從數學專業角度探討如何進行本科“最優化方法”課程教學改革和實踐。作為進行算法設計和理論研究的學者，必須有系統的最優化知識、扎實的理論分析功底和敏銳的應用切入能力。從人才培養上看，研究生階段將進行深度學習和研究創新，而本科階段應為研究生階段或走入社會的應用階段打下扎實的基礎。在筆者所屬學院，“最優化方法”是數學專業本科生的一門專業選修課，3學分，共48學時。雖然專業選修課較多，學生選擇面較廣，但因“最優化方法”應用廣泛、內容有趣而深受學生青睞，2023年上半年選擇這門課程的學生數超過總人數的90%。那么，面對學生的學習熱情，我們能否做到既讓學生熱愛基礎知識的學習，又讓學生通過親身實踐收獲知識的喜悅，這是進行教學改革和實踐探索中我們關注和思考的問題。

在課程教學改革和實踐方面，國內已經有很多同行bqh1niAFW5p87s1yqdQmFeJsdGkOB1bc20JIAvAPItQ=和學者進行了研究［36］。文獻［3］以提高學生學習成效為驅動，通過實用案例教學提高學生應用最優化方法解決科學問題的能力。文獻［4—5］將MATLAB軟件與理論教學相結合，提高學生的學習興趣與主動性。文獻［6］提出了最優化理論與方法課程教學改革的舉措，包括知識整合與系統優化、遞階引導與創新思維、直觀教學與本質揭示、學科交叉與知識融合。以上這些教學改革研究成果對我們開展課堂基礎知識教學、人才培養頂層設計和MATLAB實踐探索等方面都有啟發和借鑒意義。本文闡述的改革和實踐主要體現在以下三方面。

一、發展歷程的電影式教學改革

一般的課程教學，按照使用教材，對最優化的學科發展歷程只做簡單介紹甚至不介紹就直接講最優化問題的定義，然后舉例說明優化問題。當然，因為課時的限制，這樣講述未嘗不可，但是學生學完課程后對最優化的發展歷程知之甚少，達不到應讓學生了解該課程文化背景的目的，對學生人文知識的拓展和引導起不到應有的作用。為此，本課程嘗試做這樣的改革：

首先，進行充分調研。網上資源豐富，也有不少現成的課件和總結。

其次，整理成文檔，制作PPT。充分利用人工智能辦公軟件協助完成語音和動畫制作，以富有感情的講解配音和類似電影的動畫展示，盡可能詳略得當地講述最優化的發展歷程，讓學生對最優化有一定程度的認識，從而為后續的學習展開做好鋪墊。

最后，背景內容的設計安排。將首次課插入整體發展歷程，包括優化應用前沿研究成果及熱點問題的介紹，后續在講授一些經典方法或重點內容前再插入關于這個專題的歷史背景或者研究故事，例如，在講授線性規劃時，介紹Dantzig提出了解決線性規劃問題的單純形方法，馮·諾依曼建立了線性規劃問題的對偶理論等。一方面講述科學家的故事，另一方面聯系大學生的學習實際諄諄教導，這樣不僅將科學家精神融入課堂教學，提升了學生的科學素養，而且激發了學生投身科研的熱情，堅定了學生科技報國的理想信念。

二、基礎知識的浸入式教學改革

“最優化方法”課程有別于“運籌學”，運籌學提供了最優化問題的實際背景和應用場景，而最優化則為運籌學提供了解決問題的方法和工具。由于“最優化方法”與“運籌學”的部分研究內容相互重合，因此初學者易于混淆，這點我們在授課之初便要說明清楚。“運籌學”偏重解決實際問題，而“最優化方法”則偏重于理論研究，很多運籌學問題往往可以歸結為最優化問題，因此最優化理論是求解運籌學問題的重要理論支撐。從內容上看，運籌學是一門以決策支持為目標的學科，最優化是其中一個重要的分支，除此之外，運籌學還包含其他諸如圖論、網絡流、決策論、排隊論、存儲論以及博弈論等分支。

（一）明確研究對象

為了讓學生了解“最優化方法”課程將講述什么，首先給學生講解最優化問題的一般數學形式，并根據函數情況講解規劃的分類與判別，進而展示一些實際應用中的數學模型，對照最優化問題的數學模型加深理解。

在此內容改革上，除了課本例題，主要列舉文獻［7］第4章中詳細介紹的“中歐班列去程運輸組織優化研究”中的數學模型和解決方法，讓學生通過博士學位論文體會到非數學專業的研究學者是如何應用優化知識的，更深刻體會到作為數學專業學生，應提供更好的最優化理論和算法供應用者使用，能夠浸入式體會到肩上的責任和使命。同時，鼓勵學生積極聆聽院士講座和進行拓展閱讀，了解最優化在國際國內前沿領域的更多應用，比如在拱橋建造創新技術中的應用［8］，在裂變核反應理論計算研究中的應用［9］。

（二）了解基礎理論

在學習“最優化方法”課程之前，學生已完成數學分析、高等代數、概率論與數理統計等內容的學習，具備了學習該課程的數學基礎，但是對于先修知識在本課程的應用還是一知半解，為此，在講述最優化的基礎理論時，一定力求講得清晰易懂。另外，后續研究生階段的教學內容也深受本科階段學習的影響。如果不在本科階段講清楚最優化基礎知識的來龍去脈，夯實各個細節，那么到了研究生階段就會因基礎不牢而拖延研讀前沿論文的進度，碰到的阻礙和問題會很多。

鑒于先修課程和后續學習的需要，我們從整體和細節兩方面同時進行教學改革，既要講清楚前因后果，又要講清楚相關內容的細節該如何分析推理及如何運用先修知識。

在這樣細致有序的教學理念下，學生也沉浸在最優化的知識海洋里，跟著教師的思路不斷學習和思考。比如，當講到Farkas引理時，課本只有定理描述、證明和練習題，沒有幾何意義和更多的介紹，這對后面使用是不利的，為此，我們制作了8頁PPT，一方面補充強調Farkas引理是最優化理論中重要的基石定理，與“對偶”概念有著深刻的聯系，另一方面通過取真實數據作圖展示具體的幾何意義。因Farkas引理的證明利用凸集分離定理，過程比較抽象，而實際上Farkas引理的幾何意義相當清晰，所以我們增加了幾何意義展示，讓學生更容易理解和記憶。學生在聽課中不斷跟進和討論，課堂氛圍很好，課后，學生主動提出進一步思考Gordan定理和擇一性定理的幾何意義和了解它們的應用，這樣的改革達到了激發學生學習內驅力的目的。

（三）了解算法框架

除了基礎理論，我們還讓學生浸入式體會解決問題的最優化思路，即算法設計。大部分算法的基本框架是：+RHSNpN6sLzM8biWv7qVOw==選取初始點；沿著改進方向移動最優步長到達下一個迭代點；在一定終止準則下終止迭代，得到精確或近似最優解。

首先，初始點的選取。和學生討論初始點的可行性，讓學生明白這步的難點在哪里。難點在哪里，研究要攻克的地方就在哪里，鼓勵學生有針對性地展開研究。誠然，無約束規劃對初始點沒有范圍的要求，但根據不同方法的收斂性特點，還是有一些選取的特殊性，比如牛頓法，要想算法收斂，選取的初始點就要充分靠近最優解。約束規劃問題大部分的算法要求初始點可行，而有的算法只要求滿足部分約束條件，顯然，不要求初始點可行能提高算法的靈活性。怎樣在不影響收斂性和收斂速度的情況下選取更寬松的初始點，這是研究的一個方向。

其次，改進方向的選取。正所謂“失之毫厘，謬以千里”，算法迭代過程中，改進方向的選取是非常重要的一環，但方向不是唯一確定的，可以根據實際需求設計，從而得到不同的算法。比如，同為無約束優化問題，課堂上會介紹最速下降法、牛頓法、共軛梯度法和擬牛頓法等。隨著學習的展開，要對各種優化問題的改進方向邏輯進行類比分析。

再次，最優步長的選取。不是沿著改進或可行方向走得越遠就越好，合適的步長很重要。結合優化問題的情況，比如求目標函數最小值，則最優步長在可行下降方向上選取，這類問題就是線搜索問題；比如在課堂上介紹試探法，對其中的黃金分割法不僅講理論過程，還和學生探索筆算的規律性和如何用MATLAB實現。

最后，終止準則的確定。通常根據精度要求，針對算法的某個關鍵技術或核心問題，給出具體的終止準則，并且終止準則要有可實踐性，即不會在MATLAB的正確算法設計下出現一直迭代無法終止的情況。通常，出現問題時可以調整預設的參數，或者限制迭代次數，以得到近似最優解。

綜合以上四點，實際教學過程中，將在預習環節給學生布置相關問題，以期得到課堂上的深入討論，比如，預習時觀察無約束最優化問題的最速下降法、牛頓法、共軛梯度法和擬牛頓法這4種算法的異同，從初始點的選取、方向的設計思路、步長的選擇、收斂性分析、是近似解還是精確解、優點和缺點等方面進行。在學生有初步印象后，課堂上先逐一講解這些算法，然后再列表對比，讓學生深刻理解為何同樣的優化問題，還要考慮這么多種算法。當然，更多的時候是研究約束優化問題，學生將了解到約束優化的目標函數和約束函數的多樣性，從而理解算法設計的研究難點，明確做優化算法研究應如何切入和展開。

三、實踐應用的體會式教學改革

對于本科生而言，最優化方法最初吸引他們的是能找到合適的方法求出優化問題的最優解。隨著學習的深入，學生能感受到研究的難度和壓力。為了讓學生能夠堅持投入熱情，除了算法配套講解MATLAB命令、作業題和測驗題用MATLAB命令實踐外，我們還嘗試進行期中考試的改革，讓學生分組（通常3～5人一組），利用所學的線性規劃知識完成一個主題內容，比如其中一次的主題是：

“陽春三月，校園內春意盎然，朝氣蓬勃的大學生們在求學之余，如何高效地組織一些戶外活動或者文體賽事？請各小組對其中的一項組織工作進行策劃和討論，就某一或某些方面的最優方案整理出數學優化問題，建立線性規劃模型，用教材第2～3章介紹的方法求解，并用MATLAB程序實現，最后寫明此項工作的意義。”

從學生提交的報告看，整體實踐效果很好，甚至有的超出預期，例如，某組學生自定標題“最優化方法在文體賽事選手指派問題中的應用”，采用的優化方法是“人工變量法——大M法”，原問題的自變量是22維，其工作亮點是：

（1）用XeLaTex編譯，并以論文形式撰寫，展示非常完美的過程和結論；

（2）編寫專門的大M法MATLAB程序，難度大；

（3）問題難度比較大，約束比較多；

（4）附XeLaTex安裝說明和大M法MATLAB程序，方便他人學習和使用。

我們對每個小組提交的報告都做了分析并反饋給學生，所有資料整合后共享，學生可以互相學習提高，學習氛圍一直很好，這對學生團隊合作、思考力及動手能力的培養影響深遠。

結語

本課程只是眾多本科課程之一，但它是組成培養計劃的一部分，起著培養本科生相應能力的作用。為此，我們認為教學改革除了考慮知識層面和因材施教，還要從全局、細節、思政、實踐等各環節考慮，需不斷進行教學設計改革，讓學生既能扎實地掌握本課程知識，又能善學樂學，并能為研究生階段做相應準備。雖然本文主要從數學專業本科生的角度探討“最優化方法”課程教學改革和實踐，但是這些思想和做法對非數學專業教授本課程也有借鑒意義。隨著人工智能時代的到來，我們還需多思考和探索適合時代發展的教學模式。

參考文獻：

［1］彭揚，李慶玉，任澤民，等.大數據、人工智能類專業開設最優化方法課程必要性探析［J］.計算機時代，2022（11）：141143，148.

［2］王宗原，戴運桃.面向新工科改革最優化方法教學探究［J］.當代教育實踐與教學研究，2023（10）：9799.

［3］孫杰寶，吳勃英，張達治.《最優化方法》課程教學法研究與實踐［J］.大學數學，2017，33（3）：120124.

［4］陳征，沈丹紅.基于Matlab軟件的《最優化方法》教學［J］.寧波工程學院學報，2011，23（3）：101103.

［5］李豐兵.淺談MATLAB在《最優化方法》課程教學中的應用［J］.科技資訊，2019（14）：113115.

［6］梁禮明，吳健，王建宏，等.最優化理論與方法課程教學改革舉措［J］.西部素質教育，2023，9（1）：163166.

［7］閆偉.中歐班列國內段運輸組織優化理論與方法［D］.北京：北京交通大學，2019.

［8］鄭皆連，等.500米級鋼管混凝土拱橋建造創新技術［M］.上海：上海科學技術出版社，2020.

［9］田源，續瑞瑞，張玥，等.最優化方法應用于裂變核反應理論計算的研究［J］.原子能科學技術，2022，56（5）：918926.

基金項目：廣西高等教育本科教學改革工程項目：國家一流專業建設背景下應用型課程的改革研究與實踐——以《最優化方法》為例（項目編號：2022JGA102）

作者簡介：曾友芳（1974—），女，壯族，廣西靖西人，博士，副教授，研究方向：最優化理論與方法。