基于UbD理論的“計數原理”單元教學實踐探索

隨著新課程改革的推進，培養學生的核心素養已成為教育的重要目標。單元教學對培養學生的核心素養具有積極作用。UbD（Understanding by Design，為理解而教）理論強調教師在教學中應以學生為中心，重視學生對知識的理解，鼓勵學生在理解的基礎上智慧而有效地運用知識和技能。這與單元教學實踐理論不謀而合。文章以新人教A版高中數學選擇性必修第三冊第六章“計數原理”為例，分析了高中數學“計數原理”單元的教學現狀，探討在“兩個計數原理是解決計數問題的最根本、最重要的方法”這一大概念統領下，如何實施基于UbD理論的單元教學，以期為一線教師提供新的教學思路和教學評價方法，為落實核心素養提供有效途徑。

一、問題提出

在傳統的數學教學中，教師往往根據教學內容和教學目標來組織教學活動，從自身角度思考如何教，而忽視了學生如何學習，這導致學生缺乏對知識的深度理解，對知識的運用也僅停留在表面，學習狀態處于“只見樹木不見森林”的淺層階段。因此，如何支持數學課堂轉型，讓數學基本技能在課堂中得到真實有效的運用，已成為一線教師熱烈討論并亟須解決的問題。

UbD理論強調教學應重視學生對知識的理解，教師要引導學生通過理解來運用知識和解決問題。因此，追求理解的教學成為當下落實學科核心素養的重要途徑。UbD理論提出了理解六維度（解釋、釋義、應用、洞察、移情和自知），強調引導學生從多角度理解并靈活運用知識，這為教師在教學實踐中評價學生對知識的理解和掌握程度提供了客觀的大框架。對于數學教學而言，學生進步和發展的前提是對數學知識的深刻且有意義的理解，這與UbD理論“尋求理解”的教學理念高度一致。此外，在基于UbD理論開展教學時，教師會著重關注“學生需要什么”“他們理解什么”“如何達到理解的程度”及“如何展示所獲得的理解”。因此，在小學數學教學中，教師基于UbD理論和整體發展理論規劃數學單元的教學，有助于加深學生對知識的理解，增強學生的學習效果。在“計數原理”這一單元，兩個基本計數原理的教學難點在于，如何借助具體實例讓學生學會利用這兩個原理進行思考、分析和解決實際問題。基于UbD理論開展“計數原理”單元教學，可以幫助學生更好地理解計數原理的本質。

二、新教材“計數原理”單元的內容變化與教學現狀

（一）教學內容的變化

從內容設置來看，新人教A版高中數學教材在“計數原理”這一單元中，將“組合數的兩個性質”這一知識點放在“探究與發現”板塊，并增加了解決實際問題的例7，而前面的例6其實已經能夠推導出這些性質。由此可以推斷，新教材并不鼓勵教師直接向學生傳授這些性質，而是強調教師要引導學生利用已有知識解決實際問題。該單元是一個典型的概念教學單元，教師應具備“超前”思維，從概念的一般理解出發，構建整個模塊的“概念鏈”。

（二）教學現狀

通過之前對統計與概率相關單元的學習，學生已能運用分類和分步的思想方法來分析問題，并能運用列舉法解決計數問題。近年來，高考對計數原理與其他模塊知識的交叉考查有所減少，主要考查計數原理這一單元內知識的運用。一般來說，這些題目的運算量不是很大，學生在計算時通常可以借助圖表或樹狀圖。部分學生在學習計數原理時往往只是機械地記憶知識，忽視了對計數原理本質的理解。該單元的教學難點主要集中在兩個計數原理的選擇和運用方面，學生在面對問題時常常會出現用錯原理公式的情況。

三、基于UbD理論的“計數原理”單元教學實踐

在基于UbD理論的單元教學實踐中，首先，教師需要深入研究教材、課程標準并細致分析學情，以確定單元大概念和基本問題，并設定單元教學目標。其次，教師應根據教學目標確定評價依據。最后，教師應科學設計教學活動，確保學生了解所學單元的教學目標，以豐富學生的學習體驗，培養其核心素養。

（一）分析教學背景

“計數原理”這一單元一般是在高二年級下學期進行教學的。此時，學生已具備“統計與概率”的知識基礎，能夠運用樹狀圖或列表法解決相關問題。然而，當學生遇到計算量過大、不能通過列舉法解決的問題時，就需要一個新的計數工具（方法）。計數原理作為一種通過解決大量實際計數問題歸納推理得出的認知原理，可以有效解決這類問題。

（二）確定大概念

在“計數原理”這一單元的教學中，教師可以將“兩個計數原理是解決計數問題的最根本、最重要的方法”作為單元大概念，在此基礎上，將“分類加法計數原理與分步乘法計數原理”和“排列與組合”整合成第一個子單元，主題設為“兩個計數原理的概念與特例”；將“排列與組合”和“二項式定理”整合成第二個子單元，主題設為“兩個計數原理的運用”。

（三）明確教學目標

根據UbD理論，確定教學目標階段也叫確定預期結果階段。在這一階段，教師應設計以教學目標為核心的個性化學習任務，為學生搭建合適的學習支架，使學生在最近發展區內循序漸進地完成學習任務，深入理解知識，把握問題本質。基于UbD理論的單元教學與傳統教學有相似之處，但它改變了傳統教學的“目標—活動—評價”的教學步驟，提出了基于教學目標和評價目標的翻轉課堂教學模式，確保了課堂教學內容與學生最近發展區的一致性，實現了有價值的知識重建。

“計數原理”單元是對“統計與概率”單元的深化，同時為下一單元“隨機變量及其分布”的學習打下了基礎，其在概率與統計知識模塊中起著承上啟下的作用。基于大概念“兩個計數原理是解決計數問題的最根本、最重要的方法”，教師可以分別確定兩個子單元的基本問題。其中，“兩個計數原理的概念與特例”這個子單元的基本問題為：“兩個計數原理對計數問題有什么作用？”“排列和組合之間有什么關系？”第二個子單元“兩個計數原理的運用”的基本問題為：“二項式定理與計數原理之間有何聯系？”

UbD理論采用理解的六個維度來評估學生的理解能力，即能準確解釋和完整復述目標知識，說明學生的理解能力處于敘述層面；能深刻理解背景知識的性質和意義，說明學生的理解能力處于理解層面；能運用評價性思維和創造性思維等高階思維分析與解決實際問題，說明學生的理解能力處于應用層面。因此，為了確保教學評價的有效性，教師要從不同層面收集學生的相關信息，如學習態度、互動交流、基本素養等。基于此，教師可以在確定大概念和基本問題的基礎上設定“計數原理”單元教學目標：掌握兩個計數原理及其關系，掌握運用原理的思路和方法；理解排列數公式及其變式、組合數的相關性質；掌握二項式定理等基礎知識，并能運用其解決實際問題。

（四）確定評價方式

確定評價方式這一階段體現了UbD理論所倡導的“以終為始”的思想，可分為確定證據和確定評估方式兩個方面。在這一階段，教師應從預期結果出發，收集證據以評估是否達到預期結果，并選擇評估學生對目標知識理解程度的方法。教師可通過設置表現性學習任務，讓學生置身于與他們興趣相關的“真實”情境中，通過思考、交流和探索，逐步提高他們的基本數學能力。由此看來，根據UbD理論進行單元教學，可以提高學生的數學基本技能，有助于實現數學教學從知識導向到素養導向的轉變，推動核心素養的落地，從而培養社會發展所需要的人才。例如，教師可以采用表現性任務和單元檢測相結合的評價方式完成單元教學目標的評價。在采用表現性任務評價方法時，教師可以安排學生通過小組合作的方式，結合兩個計數原理，分析排列和組合的關系，并以小組專題匯報的形式展示成果。在習題練習環節，教師可以讓學生擔任“小老師”，在課堂上將自己的解題思路、技巧和心得分享給其他同學。

（五）開展教學活動

在“計數原理”單元的教學實踐中，教師應基于UbD理論，緊密圍繞單元教學目標開展教學活動。

針對“兩個計數原理的概念與特例”這一子單元，首先，教師可以利用教室座位編號的兩種不同方式，引發學生思考和對比，讓學生回顧初中階段計數的相關問題，并結合教材例題的特征分類，初步了解兩個計數原理的概念與特例。其次，教師可以引導學生思考解決計數問題的簡便方法，幫助學生認識排列與組合的概念，分析排列與組合的聯系，并基于排列與組合的聯系建立對應關系，思考如何由排列數求組合個數，進而深入理解兩個計數原理的概念及本質。最后，教師可以安排學生獨立完成習題，并擔任“小老師”向其他學生進行講解。教師還可以組織小組合作學習活動，指導學生分析排列與組合的關系，總結解決計數問題的基本思路，并以小組專題匯報的形式展示成果。

針對“兩個計數原理的運用”這一子單元，首先，教師可以帶領學生回顧兩個計數原理的概念與特例，總結不同計數問題的解決方法。其次，教師可以引導學生利用計數原理寫出多項式的展開式，總結二項式定理的一般形式，并讓學生以小組為單位探究二項式系數的性質，結合組合的意義解釋性質。最后，教師可以讓學生收集初中階段利用計數原理解決問題的例子，并對比初中和高中的解題方法，引導學生基于大概念梳理本單元所學知識及運用的數學思想方法等。

結語

UbD理論強調學生的學習興趣和在學習過程中的主動性。這就要求教師在設計學習活動時，既要站在學生的角度充分考慮學生的參與度和體驗，又要采用多樣化的教學方法和互動方式，激發學生的學習興趣，構建注重理解的生動課堂。同時，教師想要將UbD理論運用于數學教學，需要具備較高的專業水平和豐富的教學經驗。教師要積極主動地更新教學理念，主動學習和掌握新的教學技巧與手段，以更好地利用UbD理論開展教學。在日常教學中，教師要建立和諧的師生關系，關注學生的情感需求，關注每名學生的發展，為學生的學習提供個性化的支持與指導。此外，UbD理論鼓勵學生獨立思考，注重學生問題解決能力、創新思維能力和知識運用能力的提高。在UbD理論下，教師要根據課程標準設定教學目標、構建評價機制及設計學習活動。

在UbD理論中，理解涉及意義的識別、傳遞和應用等要素，而這些要素在沒有語境的情況下是難以識別的。UbD理論為幫助教師識別理解而提出的“理解的六個維度”強調了語境對理解的重要性，因此，教師在設計學習任務時，應創設豐富且真實的情境，引導學生提出重要的問題，并在貼近真實的情境中進行探究，從而加深學生對知識的理解和記憶，提高學生在情境中運用知識的能力。

基于UbD理論進行單元教學可以加深學生對知識的理解，提高學生的探究能力和解決實際問題的能力。教師通過精心設計的學習活動，可以引導學生在不同的情境中靈活運用所學知識，實現知識的有效遷移。在這個過程中，學生不僅能掌握數學知識，提高數學能力，還能培養數學思維，提升數學核心素養。

（作者單位：佛山大學數學與大數據學院）