思維導圖在數學問題解決中的應用研究

摘" 要：文章剖析了數學問題解決的過程，分析了思維導圖在數學問題解決中的工具性價值. 通過實例，給出了思維導圖在數學問題解決的四個階段中的應用過程，深入研究了思維導圖在問題表征、模式識別、激活問題圖式、搜索問題空間、實施思維監控和確定解決方向等步驟中的具體應用，并總結了思維導圖對數學問題解決和思維能力培養的重要意義.

關鍵詞：數學問題解決；思維導圖；思維過程；思維能力

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0004-04

引用格式：吳志丹. 思維導圖在數學問題解決中的應用研究［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：4-7.

問題解決是數學教學活動中最基本、最重要的活動形式. 如何提高數學問題解決的效率，提高學生的思維能力，實現對問題深層次的理解，是一項值得研究的課題. 基于此，筆者對數學問題解決的思維過程進行了研究，分析了思維導圖的工具性特點，發現思維導圖恰好為數學問題解決的思維過程搭建了“腳手架”. 因此，提出了將思維導圖應用于數學問題解決中的想法. 通過具體實例，給出了思維導圖在數學問題解決的各個階段中的具體應用過程. 研究發現，思維導圖是解決數學問題的一種有效的認知工具，對于提高數學問題解決的效率、增強學生的思維能力有積極的作用.

一、數學問題解決的過程

問題是數學的心臟. 一個數學問題由初始狀態、目標狀態和問題解決規則組成. 解決數學問題，就是從初始狀態出發，按照某些規則（也稱“算子”），經過若干個中間狀態，最終到達目標狀態的過程. 認知心理學把在解決一個問題的過程中所到達的全部中間狀態和全部算子統稱為問題空間. 問題解決就是對問題空間進行搜索，以便找到一條從問題的初始狀態到目標狀態的道路.

解決數學問題的過程往往伴隨著復雜的思維活動. 具體思維過程包括理解問題、探索思路、轉換問題直至解決問題，以及回顧問題解決過程中的全部思維活動. 基于思維活動的分析，波利亞提出了問題解決的四個階段，即理解問題、擬訂計劃、實現計劃和回顧反思，如圖1所示.

二、思維導圖在數學問題解決中的工具性分析

1. 思維導圖在激發三種思維中的作用

在數學問題解決的過程中經常使用三種思維方式，即發散思維、集中思維和化歸思維. 思維導圖是激發大腦潛能的強有力的圖解工具，其結構符合大腦的自然結構和思維過程，可以幫助學生更好地運用上述三種思維方式.

（1）問題解決的發散思維和思維導圖.

發散思維不是局限于對已知問題的既定理解，而是對問題進行多角度、多方向的思考，進而提出新問題，發現多種解答的思維方式. 發散思維的特點是思路廣闊、尋求變異，通過對已知信息進行轉換或改造，擴散派生，從而形成新的信息. 思維導圖呈樹狀結構，它從一個“主題中心”出發，從不同角度對問題進行探索，從不同層次對問題進行分析，其分支的數量體現了思維的廣度，即發散思維的廣度. 因此，思維導圖是發散思維圖形化的表征，可以幫助學生擴展“求解”的探索空間.

（2）問題解決的集中思維和思維導圖.

集中思維（又稱收斂思維）是調動各種已知信息，按照常規尋求問題解決的思維方式. 集中思維的特點是思路集中，所有信息都朝著一個目標深入發展，進而生成新的信息. 思維導圖中每個分支的長度都體現了思維的深度，即集中思維的深度. 思維導圖能夠將學生對問題的理解逐步引向縱深.

（3）問題解決的化歸思維和思維導圖.

化歸思維是將待解決的問題轉化為更容易解決的或已經解決的問題來處理，即化未知為已知、化困難為容易，然后將問題還原為原問題的思維方式. 例如，無理方程與分式方程的求解問題可以化歸為整式方程的求解問題. 對于較復雜的數學問題，思維導圖可以幫助學生實現化歸，其一般模式如圖2所示.

2. 思維導圖在思維監控中的作用

思維監控是指對于從事的問題解決活動（包括問題解決策略的選擇、整個問題解決過程的組織，目前所從事的工作在整個問題解決過程中的作用等內容）中的自我意識、自我分析、自我評估和自我調節. 思維監控是學生對思維活動的自我意識、對自我認知過程的認知，是一種最高層次的認知. 美國心理學家弗拉維爾（J.H.Flavell）提出的元認知知識和元認知體驗指的就是思維活動的自我意識. 對于數學問題的解決，思維監控起著至關重要的作用，它直接決定著問題能否順利解決甚至最終成敗.

思維導圖是一種元認知工具，能夠使學生將正在進行的認知活動作為意識對象，進行積極地監控和調節，從而快速到達預定的目標狀態. 從思維監控的角度來看，思維導圖能夠幫助學生樹立自我意識，自覺調控思維進程，對自身的思維活動有清醒的認識和正確的評估，從而促進數學思維活動的順利進行，強化學生的思維能力和思維水平，提高數學問題解決的效率.

三、思維導圖在數學問題解決中的應用

數學問題的解決需要進行一系列復雜的思維活動. 通過上述對思維導圖在激發三種思維和思維監控中的工具性分析，發現思維導圖恰好為數學問題解決的思維過程搭建了“腳手架”. 通過下面的例題，說明思維導圖在數學問題解決的四個階段——理解問題、擬定計劃、實現計劃和回顧反思中的具體應用過程.

例" 已知[sinα，cosα]是方程[8x2+6kx+2k+1=0]的兩個實根，求實數k的值.

1. 思維導圖在數學問題解決的“理解問題”階段的應用

思維導圖在數學問題解決的“理解問題”階段的應用，分為以下兩個部分.

（1）問題表征.

學生借助思維導圖將題目所具備的條件、待達到的目標和限制性因素等羅列出來. 通過圖形化的表征，學生能夠清晰地識別組成問題的基本概念，理解概念之間的多種關聯，解釋概念之間的隱含關系，從而更全面地弄清楚問題.

在該題中，借助思維導圖可以明確：題目中的已知條件是[sinα，cosα]為一元二次方程的兩個實根；該題需要求解的目標是方程中的待定系數k的值；限制性因素為兩個實根.

（2）模式識別.

在接觸并理解數學問題之后，學生需要先判斷題目的類型，以便將數學問題與已有知識和經驗建立聯系，然后確定問題解決的思路. 這種先進行歸類、判別的策略就是模式識別.“已知一元二次方程的兩個實根，求方程的待定系數k的值”為一元二次方程中根與系數的關系的問題，可以借助思維導圖的化歸思維，將問題化歸為關于k的方程來求解.

2. 思維導圖在數學問題解決的“擬訂計劃”階段的應用

在數學問題解決的“擬訂計劃”階段恰當地應用思維導圖，可以幫助學生激活問題圖式、搜索問題空間、實施思維監控和確定解決方向.

（1）激活問題圖式.

當題目輸入大腦時，學生的思維就會提取貯存于大腦長時記憶里的知識組塊，即激活問題圖式. 問題圖式是由與問題類型有關的原理、概念、關系、規則和操作程序構成的知識綜合體.

思維導圖能夠引導學生構建一個類似人腦聯想記憶結構的知識網絡圖，通過從已有的知識體系中快速找到與問題解決相關的知識組塊，激活問題圖式. 貝斯特（J.B.Best）曾指出，圖式知識一旦被激活，就能引導學生用特定的方式搜尋問題空間和問題的有關特征，從而提高問題解決的效率.

（2）搜索問題空間.

思維導圖的發散思維拓展了問題解決的探索空間. 思維導圖中的連接線，能夠引導學生積極主動地思考問題，激發創意與聯想，進而幫助學生將各種零散的想法、知識等內容融會貫通為一個系統. 思維導圖既能夠清晰地呈現概念或者公式之間復雜的邏輯關系，又能夠培養學生的創造性思維和創新能力.

上述例題的思維導圖的建構如圖3所示. 該題的建構不是一蹴而就的過程，而是一個不斷充實、重組的動態過程.

（3）實施思維監控.

問題解決是一種目的明確的活動. 因此，在問題解決的過程中，必須集中指向目標. 思維導圖可以幫助學生始終明確問題解決的目標，使學生對自身的思維活動有清醒的認識和正確的評估，對自身的思維實施監控，從而促進數學思維的順利進行.

（4）確定解決方向.

問題解決的過程在一定意義上又是一種選擇的過程. 在解決數學問題的過程中，思維導圖是在發散思維的基礎上進行了收斂思維. 利用思維導圖的收斂思維，可以從若干種方案中挑選出最佳方案，將思維集中指向目標，以便迅速找到問題解決的條件和目標狀態之間的聯系，從而解決問題.

3. 思維導圖在數學問題解決的“執行計劃”階段的應用

思維導圖通過可視化的方法幫助學生厘清思維的脈絡，從復雜的知識網絡中找到問題解決所需要的中間狀態. 學生參照圖示，實施求解計劃，從問題的初始狀態，經過一系列中間的轉化狀態，逐步向目標狀態靠攏，然后對每個步驟進行檢驗. 該例題按照圖2執行問題解決計劃，通過計算可以得出k的值.

4. 思維導圖在數學問題解決的“回顧反思”階段的應用

“回顧反思”階段雖然容易被忽視，但它卻是提高數學思維的一個重要方面. 思維導圖呈現的是整個思維過程，其可視化的方法有助于學生對整個問題解決過程進行回顧和反思. 因此可以將其應用于數學問題解決的“回顧反思”階段.

在該例題中，利用思維導圖進行回顧反思，發現題目中隱含的限制條件為[Δ≥0]. 因此，在“執行計劃”階段求出的[k=2]不滿足條件，故舍去. 若不經歷“回顧反思”階段，就會得出錯誤的答案.

不僅如此，回顧與反思的過程還有利于創造性思維和批判性思維的培養. 一個問題的結束意味著另一個問題的開始，思維導圖促進學生深層次地理解問題，而不是簡單地追求問題的答案.

四、結束語

數學問題解決是一項復雜的思維活動，思維導圖恰好為這一思維過程搭建了“腳手架”. 思維導圖能夠幫助學生調控和捋順思維，激發問題解決的靈感，提高問題解決的效率. 繪制思維導圖是一場頭腦風暴，對學生思維的培養大有裨益. 思維導圖以集中的方式將學生對問題的理解引向縱深，以發散的方式搜索信息，以邏輯的方式組織信息，有利于縱向思維能力、發散思維能力和邏輯思維能力的培養. 思維導圖將隱性的知識顯性化，促進學生對自我認知結構的批判，有利于培養學生的批判性思維和創造性思維. 因此，思維導圖是解決數學問題的一種有效的認知工具，應用思維導圖能夠提高數學問題解決的效率，增強學生的思維能力.

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基金項目：教育部產學合作協同育人項目——基于超星平臺的高等數學課程混合教學模式的研究與實踐（231102070271846）；

教育部產學合作協同育人項目——三全育人背景下高等數學課程思政建設與實踐（230824461607000）；

遼寧省教育科學“十四五”規劃2022年度立項課題——高等數學課程思政育人體系構建研究（JG22DB618）.

作者簡介：吳志丹（1979— ），女，博士，副教授，主要從事數學教育教學研究.