二次函數(shù)的系數(shù)對函數(shù)圖象的影響探究

摘" 要：本文從系數(shù)的符號

入手，探討系數(shù)變化對二次函數(shù)圖象的影響，然后通過實例詳細闡述如何根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷某些代數(shù)式的符號，從而全面揭示二次函數(shù)的圖象特征與系數(shù)之間的內在聯(lián)系，旨在使學生深刻理解二次函數(shù)解析式中各項系數(shù)的意義，進而理解二次函數(shù)的圖象特征，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

關鍵詞：二次函數(shù)；系數(shù)；圖象；影響

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）35-0008-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡介：陳發(fā)梨（1968.1—），男，福建省閩侯縣人，大專，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

二次函數(shù)在數(shù)學中具有重要地位，廣泛應用于物理、工程、經濟等領域．理解二次函數(shù)的系數(shù)對圖象的影響，對于深入理解二次函數(shù)的性質至關重要，能夠有效提高學生的問題解決能力.

1" 系數(shù)的符號對二次函數(shù)圖象的影響

例1nbsp; 函數(shù)y=kx2-k和y=kx（k≠0）在同一平面直角坐標系中圖象可能是（" ）.

解析" 由二次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx2-k可知，其對稱軸為x=0.對于A選項而言，當klt;0時，拋物線開口向下，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，拋物線與y軸交于正半軸，本圖象符合題意，故A選項正確；對于B選項而言，當kgt;0時，拋物線開口向上，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，拋物線與y軸交于負半軸，本圖象不符合題意，故B選項錯誤；對于C選項而言，當klt;0時，拋物線開口向下，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，拋物線與y軸交于正半軸，本圖象不符合題意，故C選項錯誤；對于D選項而言，當klt;0時，拋物線開口向下，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，拋物線與y軸交于正半軸，本圖象不符合題意，故D選項錯誤．綜上所述，正確的選項為A.

點評" 本題主要考查二次函數(shù)圖象與比例系數(shù)的關系、反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.先根據(jù)二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的符號，再判斷反比例函數(shù)圖象即可求解.由此可以看出，本題綜合性較強，重點考查系數(shù)對函數(shù)圖象的影響［1］．

2" 根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷符號問題

例2" 如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），與y軸的交點在（0，-2）和（0，-1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結論：

①4a+2b+cgt;0；

②4ac-b2lt;8a；

③13lt;alt;23；

④bgt;c.

其中正確結論的個數(shù)有（" ）.

A．1個" B．2個" C．3個" D．4個

解析" 因為圖象與x軸交于點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，所以圖象與x軸的另一個交點為（3，0），所以當x=2時，ylt;0，所以4a+2b+clt;0，故①錯誤；因為函數(shù)圖象開口方向向上，所以agt;0.因為拋物線與y軸交點在（0，-2）和（0，-1）之間，對稱軸為直線x=1，所以頂點的縱坐標小于-1，即4ac-b24alt;-1，且agt;0，得4ac-b2lt;-4alt;8a，故②正確；因為圖象與y軸的交點在（0，-2）和（0，-1）之間，所以-2lt;clt;-1.因為圖象與x軸交于點A（-1，0）和（3，0），所以ax2+bx+c=0的兩根為-1和3，由

一元二次方程根與系數(shù)的關系可知ca=-1×3，得c=-3a，所以-2lt;-3alt;-1，即13lt;alt;23，故③正確；由于對稱軸為x=-b2a=1，得b=-2a.因為agt;0，c=-3a，所以bgt;c，故④正確．

綜上所述，正確的有②③④，故選C．

點評" 本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點位置確定［2］，利用數(shù)形結合的思想建立“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系是解題的關鍵．根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所給出的結論進行判斷．由此可見，解決這類問題時，需根據(jù)二次函數(shù)圖象獲取系數(shù)的符號，為問題解決創(chuàng)造條件［3］．

3" 二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合判斷

例3" 在同一坐標系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=-ax2-c的圖象大致為（" ）.

解析" 由二次函數(shù)圖象可知，-agt;0，-clt;0，即alt;0，cgt;0；由一次函數(shù)圖象可知，alt;0，cgt;0，a、c的符號都一致，故A符合題意.由二次函數(shù)圖象可知，-agt;0，-clt;0，即alt;0，cgt;0；由一次函數(shù)圖象可知，alt;0，clt;0，c的符號不一致，故B不符合題意.由二次函數(shù)圖象可知，-alt;0，-cgt;0，即agt;0，clt;0；由一次函數(shù)圖象可知，agt;0，cgt;0，c的符號不一致，故C不符合題意.由二次函數(shù)圖象可知，-alt;0，-cgt;0，即agt;0，clt;0；由一次函數(shù)圖象可知，alt;0，cgt;0，a、c的符號都不一致，故D不符合題意．

點評" 本題綜合考查一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象．可根據(jù)兩個函數(shù)圖象的特征分析各項系數(shù)的符號，然后進行分析圖象即可，或者對系數(shù)符號進行分類討論，逐個分析函數(shù)圖象，再進行判斷．

4" 兩個二次函數(shù)圖象的綜合判斷

例4" 已知二次函數(shù)y1=x2+ax+1，y2=ax2+bx+1（a，b為常數(shù)，a≠0）．

（1）若a=-6，求二次函數(shù)y1的頂點坐標．

（2）若a=4b，設函數(shù)y2的對稱軸為直線x=k，求k的值．

（3）點P（x0，m）在函數(shù)y1圖象上，點Q（x0，n）在函數(shù)y2圖象上，當0lt;x0lt;1，b=1時，試比較m，n的大小．

解析" （1）因為a=-6，所以y1=x2-6x+1．即y1=x2-6x+1=（x-3）2-8，所以二次函數(shù)y1的頂點坐標為（3，-8）．

（2）因為a=4b，所以y2=4bx2+bx+1，對稱軸為直線x=-b2×4b=-18.因為二次函數(shù)y2的對稱軸為直線x=k，則k=-18．

（3）當alt;0時，函數(shù)y2=ax2+bx+1的圖象開口向下，因為b=1，得y2=ax2+x+1.令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，解得x=0或x=1，所以兩拋物線的交點的橫坐標為0和1，如圖2所示.由圖象可知，當0lt;x0lt;1，mlt;n.

當agt;1時，函數(shù)y2=ax2+bx+1的圖象開口向上.因為b=1，所以y2=ax2+x+1.令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，解得x=0或x=1，所以兩拋物線的交點的橫坐標為0和1，如圖3所示.由圖象可知，當0lt;x0lt;1，mgt;n.

當a=1時，y1與y2的圖象重合，當0lt;x0lt;1，m=n；當0lt;alt;1時，函數(shù)y2=ax2+bx+1的圖象開口向上.因為b=1，所以y2=ax2+x+1.令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，解得x=0或x=1，所以兩拋物線的交點的橫坐標為0和1，如圖4所示.由圖象可知，當0lt;x0lt;1，mlt;n.

綜上所述，當alt;0時，mlt;n；當agt;1時，mgt;n；當a=1時，m=n；當0lt;alt;1時，mlt;n．

點評" 本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質等知識，其綜合性較強，對學生而言具有一定的難度，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．本例第（1）問中，將a=-6代入拋物線解析式求出解析，再化成頂點式即可求解；本例第（2）問中，把a=4b代入拋物線解析式中求出解析式，再根據(jù)對稱軸公式即可求得；本例第（3）問中，令x2+ax+1=ax2+x+1，解得x=0或x=1，即可得出兩拋物線的交點的橫坐標為0和1，分四種情況alt;0時，agt;1時，a=1時，0lt;alt;1時，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求解．

5" 結束語

通過研究可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)a、b、c分別從不同方面影響著函數(shù)圖象．二次項系數(shù)決定開口方向和大小，一次項系數(shù)影響對稱軸位置，常數(shù)項決定與y軸的交點的位置．在初中數(shù)學教學中，引導學生準確理解和把握二次函數(shù)各項系數(shù)的作用，有助于提高學生運用二次函數(shù)的相關知識分析問題和解決問題的能力，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：［1］ 程仕秀.二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關系［J］.初中生天地，2017（Z7）：80-82.

［2］ 趙建平，錢鳳嬌.用“教師的引”啟“學生的探”：“二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系”一節(jié)的教學實踐與反思［J］.初中數(shù)學教與學，2022（6）：14-16.

［3］ 曹松峰.中考二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系問題剖析［J］.中學生數(shù)理化（初中版·中考版），2015（Z1）：25-26.

［責任編輯：李" 璟］