巧用遷移法探究新定義函數的圖象與性質

摘" 要：函數是初中數學中的核心概念，其圖象與性質在解決數學問題的過程中具有重要作用．在面對新定義函數時，遷移已有的函數知識和方法能夠有效提高問題解決效率．基于此，文章詳細闡述如何巧用遷移法探究新定義函數的圖象與性質，通過實例分析，展示遷移法在數學學習中的應用價值.

關鍵詞：遷移法；新定義函數；圖象；性質

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）35-0050-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡介：施建兵（1968.2—），男，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

函數是數學中描述客觀世界變化規律的重要工具，其圖象和性質反映了函數的內在特征．隨著數學學習的深入，初中學生會不斷遇到各種新定義函數．對于這些新函數，教師可引導學生利用遷移法探究其圖象與性質．知識遷移是指一種學習對另一種學習的影響，即將已有的知識、技能、方法等應用到新的情境中，解決新問題．遷移法提供了一種有效的問題解決途徑，借助遷移法，教師可指導學生將已熟悉的函數知識和研究方法，應用到新定義函數的探究中，從而降低學習難度，提高學習效率［1］．

1" 新定義函數的概念和特點

1.1" 新定義函數的概念

顧名思義，新定義函數是相對于學生已經熟悉的函數而言的，它是在特定的數學情境或實際問題中產生的具有獨特形式和性質的函數.新定義函數的出現，往往是描述某些復雜的現象或關系的需要.

1.2" 新定義函數的特點

新定義函數的一個顯著特點是其形式的創新性，它可能打破了傳統函數的常見模式，引入了新的運算、變量組合或參數，這使得學生在研究和理解它時需要跳出固有的思維框架．另一個特點是其應用的針對性．新定義函數通常是為了解決特定領域的具體問題而被定義的，因此在該領域中具有獨特的價值和意義．新定義函數的性質也可能與常規函數有所不同．在面對新定義函數時，不能僅僅依賴于以往的經驗和方法，而要勇于嘗試新的數學工具和技巧．通過深入分析、推導和計算，逐步揭示其隱藏的規律和特點．新定義函數是數學發展的重要推動力，它不僅豐富了數學的內涵，也為解決現實世界中的復雜問題提供了更多可能．學生應當

積極認識和研究新定義函數，不斷提高問題解決能力.

2" 遷移二次函數知識研究“鵲橋”函數

例1" 我們定義一種新函數：形如y=ax2+bx+c（a≠0，b2-4acgt;0）的函數叫作“鵲橋”函數．數學興趣小組畫出一個“鵲橋”函數y=x2+bx+c的圖象如圖1所示，則下列結論正確的是（" ）

A．bclt;0""" B．c=3

C．當直線y=x+m與該圖象恰有三個公共點時，則m=1

D．關于x的方程x2+bx+c=3的所有實數根的和為4

解析" 因為（-1，0），（3，0）是函數圖象與x軸的交點，所以1-b+c=0，9+3b+c=0，解得b=-2，c=-3.從而可得bc=（-2）×（-3）=6gt;0，故A、B選項錯誤；如圖2，當直線y=x+m與該圖象恰有三個公共點時，應該有2條直線，故C錯誤；關于x的方程x2+bx+c=3，即x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，當x2-2x-3=3時，x1+x2=2，當x2-2x-3=-3時，x3+x4=2，所以關于x的方程x2+bx+c=3的所有實數根的和為2+2=4，故D正確．

點評" 本題主要考查二次函數的應用、新定義函數、二次函數的性質，利用數形結合的思想解答是解題的關鍵［2］.與研究一般函數的方法一樣，這里利用了待定系數法求得b、c的值即可判斷A、B錯誤；利用數形結合的思想，由圖象可判斷C錯誤；由題意可得x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，利用根與系數的關系可判斷D正確．

3" 遷移一次函數知識研究其“衍生”函數

例2" 定義：對于給定的一次函數y=ax+b（a≠0），把形如y=ax+b（x≥0），-ax+b（xlt;0）的函數稱為一次函數y=ax+b的衍生函數．

（1）已知函數y=x+1，若點P（1，b1），Q（-2，b2）在這個一次函數的衍生函數圖象上，則b1=，b2=．

（2）已知矩形ABCD的頂點坐標分別為A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0），當函數y=kx-3（kgt;0）的衍生函數的圖象與矩形ABCD有1個交點時k=.當函數y=kx-3（kgt;0））的衍生函數的圖象與矩形ABCD有兩個交點時，直接寫出k的取值范圍.

（3）已知點E（0，t），以OE為一條對角線作正方形OMEN，當正方形OMEN與一次函數y=2x-2的衍生函數圖象有兩個交點時，求t的取值范圍.

解析" （1）由題意可知，函數y=x+1的衍生函數為y=x+1（x≥0），-x+1（xlt;0），因為點P（1，b1），Q（-2，b2）在這個一次函數的衍生函數圖象上，所以b1=1+1=2，b2=-（-2）+1=3．

（2）由題意可知，函數y=kx-3（kgt;0）的衍生函數為y=kx-3（x≥0），-kx-3（xlt;0）.當函數y=-kx-3（kgt;0）的衍生函數的圖象與矩形ABCD有1個交點時，圖象如圖3所示，此時y=-kx-3過點（-3，0），解得k=1.

當點D在衍生函數y=-kx-3（klt;0）上時，k取最小值，0=3k-3，解得k=1.當點A在衍生函數y=kx-3（kgt;0）上時，k取最大值，0=k-3，解得

k=3.當函數y=kx-3（kgt;0））的衍生函數的圖象與矩形ABCD有兩個交點時，圖象如圖4所示，k的取值范圍是1lt;klt;3．

（3）一次函數y=2x-2的衍生函數為y=2x-2（x≥0），-2x-2（xlt;0）.當E在y軸正半軸上時，圖象如圖5所示.因為四邊形OMEN是正方形，所以ON與x軸正半軸的夾角為45°，所以直線ON的表達式為y=x，由y=2x-2，y=x，得x=2，y=2.由此可知N（2，2），M（-2，2），所以MN=4，OE=4，E（0，4），t=4.

當E在y軸負半軸上，圖象如圖6所示.因為四邊形OMEN是正方形，所以OM與x軸正半軸的夾角為45°，所以直線OM的表達式為y=-x，聯立方程組y=2x-2，y=-x，解得x=23，y=-23.從而M（23，-23），N（-23，-23），所以MN=43，OE=43 ，t=-43.

如圖7所示，當點E的坐標為（0，-2）時，正方形OMEN與一次函數y=2x-2的衍生函數圖象有三個交點，所以tlt;-2．

故t的取值范圍是t=4或 t=-43或tlt;-2．

點評" 本題主要考查新定義函數，利用點與分段函數的關系即可求得函數值，利用其與矩形、正方形交點個數即可確定待定系數的取值范圍.分類討論、構造方程是解題關鍵．本題第（1）問中，根據衍生函數的定義求解即可.本題第（2）問中，根據題意求出y=kx-3（kgt;0）的衍生函數，畫出圖形即可求出答案；根據題意畫出圖形，當點D在衍生函數y=-kx-3（klt;0）上時k取最小值，當點A在衍生函數y=kx-3（kgt;0）上時k取最大值，求解即可.本題第（3）問中，分兩種情況討論：點E在y軸正半軸上、點E在y軸負半軸上，分別畫出圖形，結合圖形求解即可．由此可見，這類看起來非常復雜的“陌生”函數依然需要借助已學過的函數知識和方法，通過知識和方法的合理遷移，才能夠解決這類問題．

4" 結束語

遷移法是探究新定義函數圖象與性質的有效方法，它能夠幫助學生快速找到研究的切入點，提高學習效率．在初中數學學習中，學生應學會運用遷移法解決問題，不斷積累解題經驗，提升分析問題解決問題的能力．同時，也要注意遷移技巧和注意事項，確保探究的準確性和科學性．

參考文獻：［1］ 崔佳佳，王秀閣.在新函數的研究中促進數學活動經驗的遷移：以“二次型絕對值函數的圖象和性質”研究為例［J］.中國數學教育，2021（7）：27-30.

［2］ 蔣飛.把握研究規律促進智慧生長：“探究新函數圖象與性質”教學及反思［J］.初中生世界，2022（40）：23-26.

［責任編輯：李" 璟］