高中數(shù)學(xué)解題方法中的“三十六計(jì)”

摘"要：文章把學(xué)生所熟悉的“三十六計(jì)”融入數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)的方法之中，希望能增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)知，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生熟練掌握一些解題方法，幫助學(xué)生提高解題技能。

關(guān)鍵詞：聲東擊西；金蟬脫殼；李代桃僵；拋磚引玉

中圖分類號(hào)：G633.6"""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"""文章編號(hào)：1673-8918（2024）47-0071-03

許多高中學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)學(xué)科枯燥乏味，難以理解。如何讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)一些知識(shí)與方法印象深刻？今天我們一起來(lái)聊一聊高中數(shù)學(xué)解題方法中的“三十六計(jì)”，以幫助學(xué)生提高解題技能，為提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

一、“聲東擊西”求最值

【例1】"已知F是橢圓C：x24+y23=1的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，1），則｜PQ｜+｜PF｜的最大值為""""。

解析：由C：x24+y23=1可知a=2，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F′（1，0），

則｜PQ｜+｜PF｜=｜PQ｜+2a-｜PF′｜SymbolcB@4+｜QF′｜=4+（2-1）2+（1-0）2=4+2，

當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，F(xiàn)′共線時(shí)且當(dāng)P在QF′的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立。

∴｜PQ｜+｜PF｜的最大值為4+2，故答案為：4+2。

評(píng)注：本題考查橢圓的方程與定義、橢圓的性質(zhì)應(yīng)用、學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力。本題求｜PQ｜+｜PF｜的最大值，其中｜PF｜是左焦半徑，設(shè)出右焦點(diǎn)，應(yīng)用定義把｜PF｜轉(zhuǎn)化為4-｜PF′｜，即把左焦半徑轉(zhuǎn)化為右焦半徑，“聲東擊西”，之后利用兩邊只差小于第三邊，即：｜MN｜-｜MF′｜SymbolcB@｜NF′｜，當(dāng)P，Q，F(xiàn)′共線，P在QF′的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立。

二、“金蟬脫殼”求不等式

【例2】"意大利畫(huà)家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=ex+e-x2，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=ex-e-x2。設(shè)函數(shù)f（x）=sinhxcoshx，若實(shí)數(shù)a滿足不等式f（3a+20）+f（-2a2）lt;0，則a的取值范圍為""""。

解析：由題意可知：f（x）=ex-e-xex+e-x的定義域?yàn)镽，

因?yàn)閒（-x）=e-x-exe-x+ex=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，

又因?yàn)閒（x）=ex-e-xex+e-x=e2x-1e2x+1=1-2e2x+1，且g（x）=2e2x+1在R上為減函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：f（x）=1-2e2x+1在R上為增函數(shù)，

因?yàn)閒（3a+20）+f（-2a2）lt;0，所以f（3a+20）lt;-f（-2a2）=f（2a2），

所以3a+20lt;2a2，解得：agt;4或alt;-52，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞，-52∪（4，+∞）。

評(píng)注：本題是解不等式，根據(jù)題目的條件可以得到函數(shù)f（x）的解析式，但用解析式把所求不等式具體化后，不等式會(huì)很復(fù)雜，因此我們要利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為不等式3a+20lt;2a2，繼而得解。本題利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，可以達(dá)到去對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的效果，此方法可謂“金蟬脫殼”。

三、“李代桃僵”求零點(diǎn)之和

【例3】"設(shè)f（x）=sin3x+π4，x∈0，3π4，若函數(shù)y=f（x）-a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1lt;x2lt;x3，則x1+2x2+x3的值為""""。

解析：由題函數(shù)y=f（x）-a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可知x∈0，3π4時(shí)，sin3x+π4=a有三個(gè)根，令t=3x+π4，則sint=a，且t∈π4，5π2，

因每個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)t，所以可知sint=a，t∈π4，5π2有三個(gè)根，設(shè)為t1，t2，t3，

所以t1+t2=πt2+t3=3π，因此3x1+π4+3x2+π4=π3x2+π4+3x3+π4=3π，從而得x1+x2=π6x2+x3=5π6，

所以x1+2x2+x3=π。

評(píng)注：本題已知函數(shù)y=f（x）-a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即x∈0，3π4時(shí)，sin3x+π4=a有三個(gè)根，令t=3x+π4，則條件轉(zhuǎn)化為sint=a，t∈π4，5π2有三個(gè)根，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，即得x1+2x2+x3=π。這里用t=3x+π4將條件轉(zhuǎn)化為sint=a，t∈π4，5π2有三個(gè)根的情況，可謂“李代桃僵”。

四、“連環(huán)計(jì)”求數(shù)列之和

【例4】"在等差數(shù)列｛an｝（n∈N*）中，a1+a2=11，a3=10。

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=1anan+1an+2，數(shù)列的｛bn｝前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明Tnlt;1168。

解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，

由a1+a2=11a3=10，即2a1+d=11a1+2d=10，解得a1=4d=3，

所以an=a1+（n-1）d=4+3（n-1）=3n+1，

數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=3n+1；

（2）∵an=3n+1，

∴bn=1anan+1an+2=1（3n+1）（3n+4）（3n+7），

bn=13n+41（3n+1）（3n+7）=1613n+413n+1-13n+7=1613n+1·13n+4-13n+4·13n+7，

∴Tn=1614×7-17×10+17×10-110×13+…+13n+1·13n+4-13n+4·13n+7=16128-13n+4·13n+7=1168-1613n+4·13n+7lt;1168。

評(píng)注：本題第一問(wèn)只需求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；

本題第二問(wèn)可先根據(jù)an=3n+1得出bn=1anan+1an+2=1（3n+1）（3n+4）（3n+7），然后利用裂相消法求出Tn。學(xué)生們一般對(duì)兩項(xiàng)裂項(xiàng)比較熟悉，對(duì)三項(xiàng)裂項(xiàng)有點(diǎn)陌生，其實(shí)三項(xiàng)問(wèn)題還是可以通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化成“兩項(xiàng)”的形式，即bn=1（3n+1）（3n+4）（3n+7）=1613n+1·13n+4-13n+4·13n+7，

進(jìn)而裂項(xiàng)，使每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的相鄰項(xiàng)“連環(huán)”相消，最后得出結(jié)論。裂項(xiàng)相消法是一種在數(shù)學(xué)中常用的技巧，特別是在數(shù)列求和問(wèn)題中，這種方法的核心原理是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩個(gè)項(xiàng)的差，這樣在求和的過(guò)程中，一些項(xiàng)可以進(jìn)行相互抵消，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。這種方法特別適用于那些分母是兩個(gè)自然數(shù)的乘積，并且分子是這兩個(gè)數(shù)的差或和的情況。

五、“拋磚引玉”求定點(diǎn)

【例5】"已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0，-2），B32，-1兩點(diǎn)。

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH。證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)。

解析：（1）解：設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1，過(guò)A（0，-2），B32，-1，

則4n=194m+n=1，解得m=13，n=14，

所以橢圓E的方程為：y24+x23=1。

（2）A（0，-2），B32，-1，所以AB：y+2=23x，

①若過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線斜率不存在，直線x=1。代入x23+y24=1，

可得M1，-263，N1，263，代入AB方程y=23x-2，可得T-6+3，-263，由MT=TH得到H-26+5，-263。求得HN方程：

y=2+263x-2，過(guò)點(diǎn)（0，-2）。

②若過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線斜率存在，設(shè)kx-y-（k+2）=0，M（x1，y1），N（x2，y2）。

聯(lián)立kx-y-（k+2）=0x23+y24=1，得（3k2+4）x2-6k（2+k）x+3k（k+4）=0，

可得x1+x2=6k（2+k）3k2+4x1x2=3k（4+k）3k2+4，y1+y2=-8（2+k）3k2+4y1y2=4（4+4k-2k2）3k2+4，

且x1y2+x2y1=-24k3k2+4（*）

聯(lián)立y=y1y=23x-2，可得T3y12+3，y1，H（3y1+6-x1，y1）。

可求得此時(shí)HN：y-y2=y1-y23y1+6-x1-x2（x-x2），

將（0，-2），代入整理得2（x1+x2）-6（y1+y2）+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，

將（*）代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，

顯然成立，

綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)（0，-2）。

評(píng)注：第一個(gè)問(wèn)題將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

本題第二問(wèn)分情況討論了過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線斜率是否存在，先從特殊位置入手，確定定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)對(duì)斜率存在也符合。解題思路主要采用特殊位置探路，為后續(xù)由斜率存在得出的等式24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，找到定點(diǎn)，起到了探路牽線的作用，即“拋磚引玉”。

以上案例把學(xué)生所了解的“三十六計(jì)”融入數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的方法之中，不僅能增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)知，也有利于幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生熟練掌握一些解題方法。同時(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題，理解認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)的能力。因此，只要能幫助學(xué)生提高解題技能，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的方式方法，教師都可以大膽嘗試，不斷改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)：

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