貝努利數和多貝努利數及其算法

摘 要：本文給出一種新的算法，利用該算法并選用適當的初始值，可以分別得到貝努利數、多貝努利數以及歐拉數等著名數。本文研究了該算法的原理，給出并證明算法生成的無窮階矩陣的第0列的顯式計算公式。本文還給出了無窮階矩陣第0列到第0行的逆變換公式，這些公式可用于建立恒等式及封閉計算公式。并作為應用實例，得到有關這些著名數的一些封閉的計算公式以及恒等式。

關鍵詞：貝努利數；多貝努利數；算法；恒等式

中圖分類號：O157；O158" 文獻標識碼：A" 文章編號：1673-260X（2024）12-0027-04

收稿日期：2024-10-19

通信作者：程曉亮（1980-），男，漢，教授，博士，博士生導師，主要從事復分析與數學教育研究。郵箱：chengxiaoliang92@163.com。

基金項目：國家自然科學基金項目（12026420）；吉林省科技發(fā)展計劃項目（YDZJ202201ZYTS627）

貝努利數在數學，特別是組合數學、數論中有很多重要的應用，在冪和的計算以及zeta函數值的計算中發(fā)揮著重要作用。仍有不少文章討論貝努利數及其推廣，并得出其性質，應用于不同的場景[1-6]。

Akiyama和Tanigawa[6]研究多zeta函數在非正整數點處的值時，發(fā)現了一個可以用來計算貝努利數的有趣算法，它類似于計算二項系數的帕斯卡三角方法，現在被稱為Akiyama-Tanigawa算法。算法如下。

給定第0行：

a0，0，a0，1，a0，2，…，a0，k，…=1，，，…，，…

然后通過下列遞推公式定義其他各行：

an+1，m=（m+1）（an，m-an，m+1）（n≥0，m≥0）" （1）

則第0列為

a0，0，a1，0，a2，0，…，an，0，…=B0，B1，B2，…，Bn，…

其中Bn是第n個貝努利數。

Kaneko[7]進一步研究了Akiyama-Tanigawa算法的原理，給出了第0列的顯式計算公式，并利用Akiyama-Tanigawa算法證明，選用適當的初始值，可以得到貝努利數，其位于無窮階矩陣的第0列。更進一步，Kaneko新定義了一種多貝努利數，利用同一算法證明，選用其他適當的初始值，可以得到多貝努利數，其位于無窮階矩陣的第0列。

Inaba[8]和Cereceda[9]分別討論了Akiyama-Tanigawa算法及廣義Akiyama-Tanigawa算法在整數冪的超和研究中的應用。

本文給出一種新的算法，算法如下。

給定第0行a0，k（k=0，1，2，3，…），然后通過下列遞推公式定義其他各行：

an+1，m=（m+1）an，m-an，m+1（n≥0，m≥0） （2）

本文將證明，給定初始值即第0行a0，k≡1（k=0，1，2，3，…），算法生成的無窮階矩陣其第0列為：

a0，0，a1，0，a2，0，…，an，0，…=B0，B1，B2，…，Bn，…

該式說明，在第0行恒取1這種非常簡單的情形下，新算法也可生成貝努利數列作為算法生成的無窮階矩陣的第0列。部分計算結果顯示如圖1所示。

同理，本文將證明，通過選取合適的第0行該算法也可以生成多貝努利數和歐拉數。

本文研究了該算法的原理，首先用數學歸納法給出并證明該算法生成的無窮階矩陣的通項公式，然后給出并證明無窮階矩陣的第0列的顯式計算公式：

an，0=n+1

k+1·（-1）k·k！·a0，k" （3）

以及第0列到第0行的逆變換公式：

a0，m=·（-1）ms（m+1，k+1）·ak，0 （4）

接著將證明這些公式可應用于建立恒等式及封閉計算公式。最后作為應用實例，得到有關貝努利數、多貝努利數以及歐拉數的一些封閉的計算公式以及恒等式。

1 算法理論及主要結果

2 在貝努利數等著名數研究中的應用

3 結論

本文提出了一種新算法，并證明只要選取適當的初始值，它可用于生成貝努利數、多貝努利數以及歐拉數等著名數。本文討論了該算法的原理，并給出了無窮階矩陣的第0列的顯式計算公式、逆變換公式，它們可以作為建立恒等式及封閉計算公式的一種方法。同時，提供了建立這些著名數相關的封閉計算公式和恒等式的應用實例。文中給出的算法理論及應用實例說明，本文的算法是對已有算法的一種補充。

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參考文獻：

〔1〕MEZ? I. A new formula for the bernoulli polynomials[J]. Results in Mathematics， 2010， 58（03）： 329-335.

〔2〕Kaneko M. Poly-Bernoulli numbers[J]. Jour. Th. Nombre Bordeaux， 1997，9： 199-206..

〔3〕ARAKAWA T， KANEKO M. Multiple zeta values， poly-Bernoulli numbers， and related zeta functions[J]. Nagoya Mathematical Journal， 1999， 153： 189-209.

〔4〕OHNO Y， SASAKI Y. Recursion formulas for poly-Bernoulli numbers and their applications[J]. International Journal of Number Theory， 2021， 17（01）： 175-189.

〔5〕KARGIN L， CENKCI M， DIL A， et al. Generalized harmonic numbers via poly-Bernoulli polynomials[J]. Publicationes Mathematicae Debrecen， 2022， 100（3/4）： 365-386.

〔6〕AKIYAMA S， TANIGAWA Y. Multiple Zeta values at non-positive integers[J]. The Ramanujan Journal， 2001， 5（04）： 327-351.

〔7〕KANEKO M. The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers[J]. Journal of Integer Sequences， 2000，3： Article 00.2.9.

〔8〕INABA Y. Hyper-sums of powers of integers and the akiyama-tanigawa matrix[J]. Journal of Integer Sequences， 2005，8： Article 05.2.7.

〔9〕CERECEDA J L. Generalized Akiyama-Tanigawa algorithm for hypersums of powers of integers[J]. Journal of Integer Sequences， 2013， 16：Article 13.3.2

〔10〕Graham R.L.， Knuth D.E.， Patashnik O. Concrete Mathematics[M]. Massachusetts：Addison-Wesley Publishing Company， 1994.

〔11〕Broder A.Z. The r-Stirling numbers[J]. Discrete Math，1984： 49 （03）： 241-259.