基于知識“生長點”促進數學思維發展

【摘要】數學作為自然科學的基礎學科，其知識體系的發展是一個由簡至繁、由具體到抽象的漸進過程.在這一發展過程中，數學知識“生長點”作為新舊知識的交匯點和思維拓展的出發點，對初中生的學習和思維發展具有重要影響.文章首先對數學知識“生長點”的內涵與意義進行了深入剖析，其次以“一次函數的圖像”教學為例，提出了基于數學知識“生長點”的多向性、邏輯性、系統性和結構性思維培養策略.實踐表明，這些策略能夠顯著提升學生的數學思維能力，促進其全面發展.

【關鍵詞】數學知識；生長點；初中生；思維發展；一次函數圖像；教學策略

引 言

數學知識體系是一個循序漸進、逐步深入的動態發展過程，它從簡單直觀的概念出發，逐步向復雜抽象的領域拓展.在這一過程中，數學知識生長點（以下簡稱“生長點”）作為連接新舊知識的核心環節，發揮著至關重要的作用.對于初中生而言，這些“生長點”不僅是知識學習的關鍵點，更是思維發展的催化劑，能夠引導學生將已有知識與新知識相融合，構建出更加完整、系統的知識框架.因此，如何在數學教學中精準識別并有效利用這些“生長點”，成為當前教育改革的重要議題.這不僅關乎教學質量的提升，更關系到學生數學思維能力及綜合素質的發展.

一、“生長點”的內涵與意義

“生長點”指的是數學知識體系中那些至關重要的關鍵節點或轉折點，“生長點”不僅承載著新舊知識的無縫銜接，更是知識進一步拓展與深化的重要基石.這些“生長點”如同一座座橋梁，連接著過往的知識積累與未來的學習探索，使得知識體系得以連續不斷地發展與完善.對于教師而言，深入理解“生長點”的內涵具有深遠的價值，能夠幫助教師更加精準地把握教學的核心與方向，科學合理地選擇教學方法與策略，從而更有效地引導學生掌握數學知識，培養他們的數學思維與解決問題的能力.

（一）“生長點”是知識銜接的橋梁

“生長點”作為數學知識體系中不可或缺的一環，扮演著新舊知識間橋梁的重要角色.“生長點”不僅標志著某一知識領域的完成，更為后續學習的展開提供了堅實的基礎.在這些節點上，舊知識的積累成為新知識學習的出發點，通過“生長點”的銜接，學生能夠在已有認知基礎上順利過渡到新知識的學習中，避免知識的孤立與碎片化.教師若能精準把握這些生長點，便能更好地設計教學序列，使課程內容既連貫又深入，促進學生的知識體系系統化發展.

（二）“生長點”是學習動力的引擎

“生長點”往往伴隨著認知挑戰，這種挑戰正是激發學生內在學習動力的關鍵因素.當學生面對生長點帶來的新知識與復雜問題時，好奇心與求知欲被自然激發，驅使他們主動探索、積極思考.教師如果能充分利用“生長點”的這一特性，設計富有挑戰性的學習任務，就能有效激發學生的學習熱情，培養他們的自主學習能力和探究精神.在這個過程中，學生不僅掌握了數學知識，更學會了如何學習.

（三）“生長點”是思維發展的契機

“生長點”不僅是知識的交匯點，更是學生思維能力發展的關鍵契機.在“生長點”處，知識的復雜性和抽象性往往達到一個新的高度，要求學生運用更高級的思維方式來理解和解決問題.這種挑戰促使學生跳出固有的思維模式，嘗試從不同角度、不同層面進行思考，從而促進了他們邏輯思維、批判性思維等高級思維能力的發展.教師應高度重視“生長點”的利用，通過設計富有啟發性的問題、引導深入討論等方式，為學生提供思維發展的廣闊空間.

（四）“生長點”是創新能力的源泉

創新能力的培養是教育的重要目標之一，而“生長點”正是孕育創新能力的沃土.在“生長點”處，知識的邊界被不斷拓寬，新的概念和理論不斷涌現，為學生提供了廣闊的想象空間和創造可能.當學生嘗試解決“生長點”帶來的問題時，他們不僅要運用已有知識，還要敢于質疑、勇于探索未知領域，這種過程正是創新能力培養的重要途徑.教師應鼓勵學生勇于挑戰生長點帶來的難題，培養他們的創新思維和問題解決能力.

二、基于“生長點”促進初中生思維發展的實踐探索

在初中數學教學中，如何有效促進學生的思維發展一直是教育者關注的焦點.“生長點”作為知識拓展與思維培養的交匯點，為教學實踐提供了重要啟示.“一次函數的圖像”不僅是初中數學課程的重要組成部分，更是培養學生多向性、邏輯性、系統性和結構性思維的良好素材.在這一堂課的教學中，可以基于“生長點”精心設計問題情境，引導學生從不同角度審視函數圖像，探索其性質與變化規律，從而培養他們的多向性思維.同時，借助同化與順應的心理機制，幫助學生構建完整的認知結構，提升他們的邏輯性思維.此外，注重整體認知與歸納總結，以此培養學生的系統性思維和結構性思維.

（一）立足“生長點”設問題情境，培養多向性思維

初中生的思維逐漸由具象向抽象過渡，為了有效促進他們的多向性思維發展，教師需要精心設計問題情境，將數學問題置于一個開放、多元的思考環境中.教師通過立足“生長點”設置問題情境，能夠激勵學生從多元視角和不同層次去審視問題，并能促使他們探索并提出多樣化的解決方案.這樣不僅能點燃學生的求知欲，還能培育他們的批判性思考和創新能力.在解決問題的實踐過程中，學生將不斷開闊思維邊界，逐步建立起一種靈活且富有創造性的思考模式，使他們能夠更加自如地應對各種復雜情境.

從以上教學片段可以看出，立足生長點創設問題情境，能為學生提供了一個充滿挑戰與機遇的思維發展平臺.在情境的引導下，學生可以在解決問題的過程中不斷嘗試、不斷反思，從而培養出多向性思維，有助于他們更深入地理解數學知識.可見，在教學中教師應關注“生長點”在問題情境設計中的重要性，不斷優化教學策略，以更好地促進學生的思維發展.

（二）立足“生長點”促同化順應，培養邏輯性思維

同化與順應是心理學中描述個體認知發展的重要概念，分別代表著個體將新知識納入原有認知結構與調整原有認知結構以適應新知識的過程.立足“生長點”促進同化順應，意味著教師要在知識生長的關鍵節點上，引導學生主動探索、主動建構，使他們在面對新知識時能夠迅速找到與原有知識的聯系點，通過同化與順應的過程，形成更加完整、系統的認知結構.這有助于學生學會如何運用邏輯規則進行推理，如何有條理地分析問題.

在第二環節的教學中，教師先引導學生從不同角度深入探究了關系式y=2x+1.接著，指導學生選取五個特定的點，在平面直角坐標系中嘗試描點，以便更深入地探索一次函數圖像的形態.學生可能會在坐標系中標記出點（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5），并仔細觀察這些點的分布規律.很快，一些學生就注意到了這些點似乎都排列在同一條直線上，這一發現引發了他們的思考，并促使他們猜測一次函數y=2x+1的圖像可能就是一條直線.為了驗證這一猜想，教師鼓勵學生繼續列舉更多符合函數關系式的點，并觀察這些點在坐標系中的位置.學生們積極響應，紛紛尋找滿足函數y=2x+1的有序數對，并在坐標系中描出相應的點.結果證明，這些新增的點也都位于同一直線上，這進一步驗證了之前的猜想.隨后，教師鼓勵學生進行更大膽的假設.有的學生認為所有函數的圖像都是直線；有的學生則提出，所有的函數關系或許都能用直線方程來表示；還有的學生明確指出，所有一次函數的圖像都是直線.盡管學生的這些回答還存在一定的片面性，但這正是他們當前認知水平的真實體現，是他們經過獨立思考后得出的結論.

為了獲得更精確的結論，教師引導學生重溫繪制函數圖像y=2x+1的過程，并鼓勵他們嘗試描繪一次函數y=-x+2的圖像.在尋找有序實數對的過程中，一些學生在選擇x值時表現出多樣性和無序性.此時，教師可以追問：怎樣才能更合理地選擇x，y的值呢？經過深入討論，學生們發現了一種更優的x取值策略：按照數值大小順序選取正負數，且優選互為相反數的數值，這樣的選擇方式在直角坐標系中能展現出對稱的美感.隨后，學生們通過團隊協作與積極探索，成功繪制出了一次函數y=-x+2的圖像，并觀察到該圖像同樣呈現為一條直線.在此基礎上，教師進一步激發學生的探究興趣，鼓勵他們隨意寫出一個一次函數關系式，并嘗試繪制對應的圖像.經過獨立思考和相互討論，學生們最終能夠推斷出，一次函數y=kx+b（其中k，b為常數，且k不等于0）的圖像確實是一條直線.

從以上教學片段可以看出，立足“生長點”促進同化順應，不僅能夠幫助學生更好地掌握數學知識，還能在潛移默化中培養他們的邏輯性思維.通過引導學生主動探索、主動建構，為他們提供了思維發展的契機.在這一教學策略的引領下，學生得以在解決問題的過程中不斷鍛煉邏輯推理能力.

（三）立足“生長點”重整體認知，培養系統性思維

數學知識具有整體性與系統性，立足“生長點”注重整體認知，意味著教師要引導學生從全局視角審視數學知識，理解知識之間的內在聯系與邏輯關系.這種教學策略有助于培養學生的系統性思維，使他們能夠把握數學知識的整體框架，學會將零散的知識點串聯起來，形成完整的知識體系.通過立足“生長點”進行整體認知的訓練，學生可以更加深入地理解數學的本質與規律，提高運用數學知識解決問題的能力.

在第三環節的教學中，教師首先帶領學生復習了一次函數及其圖像的基本概念，對正比例函數y=kx（k≠0）和非正比例函數y=kx+b（k≠0，b≠0）兩種類型進行重點討論.在此基礎上，教師鼓勵學生發揮想象力，猜想接下來可能會學習的函數類型.部分學生能回想起學過的正比例和反比例知識，于是提出了可能會進一步學習反比例函數的猜想.另一些學生則著眼于一次函數自變量次數為1的特點，推測若自變量次數增加，可能會遇到二次函數.這些猜想不僅體現了學生們思維的靈活性，也映射出他們對數學知識結構的初步了解.緊接著，教師與學生共同探討了反比例函數和二次函數圖像的繪制方法，并引導學生認識到研究函數圖像的一般步驟：首先，要透徹理解函數關系式的數學內涵；其次，根據函數關系式列出有序實數對；再次，在平面直角坐標系中標定這些點并連線；最后，觀察圖像的形態，并通過繪制多個同類函數的圖像來總結圖像的共通特性.這一流程讓學生親歷了數學研究的基本思維模式，如類比思維等，幫助他們構建了對函數圖像的整體認知框架.

從以上教學片段可以看出，立足“生長點”注重整體認知，為學生提供了一個培養系統性思維的廣闊舞臺.在這一教學策略的引領下，學生得以從全局視角審視數學知識，理解知識之間的內在聯系與邏輯關系.通過不斷訓練，學生將逐漸具備構建完整知識體系的能力，這對于他們的學習與發展具有重要意義.

（四）立足“生長點”做歸納總結，培養結構性思維

“生長點”不僅是知識拓展的起點，也是歸納總結的契機.立足“生長點”進行歸納總結，要求教師引導學生基于知識生長的關鍵節點，對所學內容進行梳理、提煉與整合.這種教學策略有助于培養學生的結構性思維，使他們能夠清晰地把握數學知識的結構脈絡，理解知識之間的層級關系與邏輯關系.通過立足生長點進行歸納總結的訓練，學生可以更加高效地掌握數學知識，提高運用知識解決問題的效率與準確性.

在第四環節的教學中，教師應以知識結構圖作為教學的中心框架.從創設情境以激發興趣、引出相關概念，到將特殊函數的研究策略推廣到一般函數的學習路徑，教師需要精心地將各個關鍵要素融入結構圖中，并按照一定的邏輯順序，有條不紊地推進整個教學過程的構建.這樣，整個課堂的知識結構將變得條理清晰，同時，函數、方程等關鍵概念及教學上的難點也將被有效地逐一攻克.在本課即將結束時，教師引導學生觀察知識結構圖（如圖1、圖2所示），回顧所學知識.學生從y=kx+b（k≠0）出發，用方程視角和函數視角進行了再理解，通過列出二元一次方程，得到一次函數關系式，再進一步在平面直角坐標系中找規律、合情推理，最終描點連線得到一次函數的圖像，實現了數與形的有機結合.同時，在這一過程中學生不僅關注了一次函數y=kx（k≠0）和y=kx+b（k≠0，b≠0）這兩種形式，還將正比例函數和非正比例函數進行了區分，并為后續學習反比例函數和二次函數埋下了伏筆.

從以上教學片段可以看出，立足“生長點”進行歸納總結，是學生數學學習中培養結構性思維的重要途徑.通過引導學生進行梳理、提煉與整合，為他們提供了一個鍛煉結構性思維的平臺.這一策略下，學生得以清晰地把握數學知識的結構脈絡，理解知識之間的層級關系與邏輯關系.通過不斷提升，學生將逐漸具備構建完整知識結構的能力.

結 語

立足于“生長點”的教學策略，在初中生思維發展的過程中展現出了獨特的價值與意義.通過構建與生長點緊密相關的教學情境，可以引導學生主動思考、積極探索，從而有效提升學生的數學思維能力.這些教學策略不僅有助于學生深入理解數學概念，還能培養他們的邏輯思維、創新思維及問題解決能力.教師應繼續深化對這一領域的研究與實踐，不斷優化教學策略與方法，以更好地服務于學生的發展需求.

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