靈魂拷問：一次函數(shù)的圖象為什么是直線？

1 問題的提出

函數(shù)的概念生成之后，一次函數(shù)的圖象是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的第一類函數(shù)圖象，通過列表、描點、連線，師生得出一致結(jié)論“一次函數(shù)圖象是一條直線”.從而在后續(xù)的學(xué)習(xí)中簡化了一次函數(shù)圖象的畫法（如只描兩點，兩點確定一條直線）.可為什么在描完點連線的時候，會默認(rèn)將這些點用光滑的曲線連接起來就是直線而不是折線呢？很多教師最簡單的處理方法有兩種：一種是描點之后通過視覺效果發(fā)現(xiàn)這些點有一個共同的特征，都在一條直線上，這樣可以讓學(xué)生很快得到結(jié)論；另一種則是教師拋出以上問題讓學(xué)生思考，通過引導(dǎo)學(xué)生增加圖象上點，借助動態(tài)數(shù)學(xué)軟件描繪出這些點，利用信息技術(shù)的視覺效果讓學(xué)生觀察此函數(shù)的圖象是一次函數(shù).那該如何讓學(xué)生從代數(shù)的角度去“證明”這一結(jié)論？

2 案例引入

解法1是嚴(yán)格按照題目的要求將兩部分的面積加起來得到的結(jié)果，必然是正確答案；按照常理來說，解法2中將兩部分的面積之和看作一個大直角三角形的面積，那為什么答案會不相同？答案不同便意味著方法不對，這種解法是錯誤的，也說明Rt△AEF與梯形EFCB不能拼成Rt△ABC.

要滿足什么樣的條件才能將二者合成Rt△ABC呢？第一，公共邊EF長度必須相等，此條件滿足；第二，AE與AB必須在同一條直線上，以初中學(xué)生的認(rèn)知則需證明∠AEB=180°，而由已知條件可知，∠AEF=∠BEF=90°，因而∠AEB=180°，此條件也滿足；第三，AF與AC也必須在同一條直線上，肉眼看起來二者的確在同一條直線上，可見眼見也不一定為實.那該如何去證明？一種方法是只需證∠AFC=180°，而因為AE與AB在同一條直線上已得到證實，AF，AE，AC，AB四條直線涉及同一個角——∠A，故另一種方法是證明∠FAE=∠CAB.

3 問題分析

以上例子說明Rt△AFE與梯形EFCB雖然看起來像拼成了Rt△ABC，但通過以上證明發(fā)現(xiàn)點A，F(xiàn)，C并不在同一條直線上，拼接起來的AFC也并不是直線而是折線.這更加提醒學(xué)生，眼睛看到的東西不一定是真的，需要通過大腦思考以及嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言去說明.那么在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候，又如何說明一次函數(shù)的圖象一定是直線呢？或者說如何判斷連起來的線一定是直線而并不是折線？

4 一次函數(shù)的圖象為何是直線

一次函數(shù)的斜率與直線的傾斜角有關(guān).要想證明一次函數(shù)的圖象上的點都在一條直線上，涉及到角度以及邊的關(guān)系，從本質(zhì)上來說就是求兩兩連線所成的兩條直線的斜率相等，在沒有提及斜率這個概念之前，最好的方式就是利用三角函數(shù)來表達(dá).在此，為什么要用正切而不是其他的三角函數(shù)呢？因為題目中已知的都是直角三角形兩直角邊的關(guān)系，剛好探究的是一個角對邊和鄰邊的關(guān)系，故用正切；但對于初中生來說，斜率以及三角函數(shù)這些概念都很陌生，超出了他們的知識范疇，在解釋時可以適當(dāng)?shù)貙⑵滢D(zhuǎn)化為三角形相似，這樣也便于初中生理解.

而對于教師來說，要善于從初中生的認(rèn)知以最簡單的方式向?qū)W生解釋，也更需要理解其背后的意義，以更加精確的知識去證明一次函數(shù)的圖象是一條直線.

5 如何證明一次函數(shù)的圖象是直線

將案例中的直角三角形放到平面直角坐標(biāo)系中去考慮，以圖3為例，假如P（x，y）是平面內(nèi)任意一點，要滿足什么條件，才能使點P（x，y）在直線AM上？

解析：假設(shè)P（x，y）與點A不重合，則P（x，y）在射線AM上或在射線AM的反向延長線上.

因此，平面上的任意點P（x，y）在直線AM上的充要條件是y=kx+b（k≠0）.

這代表直線AM上的任意一點（x，y）的橫坐標(biāo)x決定了一個縱坐標(biāo)y，且滿足y=kx+b（k≠0），x是自變量，y是函數(shù)，直線AM是它的圖象y=kx+b（k≠0）就是它的解析式.

對于函數(shù)的教學(xué)，課標(biāo)中要求教師引導(dǎo)學(xué)生借助平面直角坐標(biāo)系中的描點，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的關(guān)系，但這也并不意味著通過列表、描點、連線以及兩點確定一條直線就默認(rèn)“一次函數(shù)的圖象是一條直線”，教師在教學(xué)過程中也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生，提出這一項思考，或許很多學(xué)生都是“創(chuàng)造小能手”，能用他們的認(rèn)知以及所掌握的知識得出不一樣的解釋.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，培養(yǎng)創(chuàng)新意識首先要讓學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，這也為學(xué)生學(xué)習(xí)其他函數(shù)打下了基礎(chǔ).

之所以會有很多看似很簡單卻很難回答的問題，是因為教師普遍都以公認(rèn)的知識或結(jié)論去教學(xué)，沒有更深層次地去提出問題，不給自己思考的機會.更不給學(xué)生思考和“創(chuàng)造”的機會，類似的問題還有許多，如：學(xué)習(xí)了整數(shù)、分?jǐn)?shù)，為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)？高中階段學(xué)習(xí)了直線的傾斜角之后為什么要學(xué)習(xí)直線的斜率？學(xué)完了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后為什么還要學(xué)習(xí)圓的一般方程？定理和定義的區(qū)別是什么……很多小問題需要深入教材去研究，這也需要教師不斷鉆研，深入學(xué)習(xí)，不斷地在教與學(xué)中積累更多的經(jīng)驗，提出和解決更多有價值、有意義的問題.