整體思想在數學解題中的妙用

摘 要：高中數學解題時我們常常會應用到整體思想，但是整體思想是什么？為什么可以應用整體思想？如何在解題中應用整體思想？本文將聚焦這三個問題，具體闡述整體思想在數學解題中的妙用.

關鍵詞：高中數學；整體思想

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0018-03

高考數學中整體思想從來不是主流論調，但是它的身影卻在不同問題中頻頻出現.如何應用整體思想？在什么情況下我們可以應用整體思想？用整體思想又有一些什么作用呢？這樣的問題在我們解題時接踵而至.

1 整體思想的概念數學里的整體思想就是從問題的整體性質出發，用一個集中的視角觀察問題結構特征，將需要處理的問題的部分或者全部視作一個整體，使條件內容與問題產生聯系，從而有目的、有意識地對問題進行整體處理.整體思想處理下的問題不再是原來具備的形態，而是用另一個符號替代所需要整體看待的內容，從而利用替代符號繼續進行.

簡而言之，整體思想就是從大局入手，聚零為整，將重點放在整體結構上，簡化問題.

2 整體思想的使用方式

常見的整體思想解題方式有六種：整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊、整體構造.下面我將以例題中整體思想的解題方式進行具體闡述.

2.1 整體代換

整體代換的解題方式通常會應用在將代數式等量代換的情況之中.面對這種情況時，我們可以根據問題的條件和結論，選擇一個或幾個代數式，將它們看作一個整體后，在題目中進行等量代換，從而減少計算量[1].

題目 已知a+d2=2 007，b+d2=2 008，c+d2=2 009，且abc=24，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值.

分析 題目條件復雜，但是仔細觀察后發現對題目中前三個條件可以進行相互處理，得到a、b、c之間的關系，同時有一個關于a、b、c相乘的條件，此時就可以想到我們的整體代換法，是否可以將其與我們所要求的東西進行處理，產生一個聯系進行求解.

解析 對a+d2=2 007，b+d2=2 008，c+d2=2 009處理可得b=a+1，b=c-1，c=a+2.

原式=1abca2+b2+c2-bc-ac-ab

=12abca-b2+b-c2+c-a2（此時與我們題前發現的a、b、c關系有關，可直接代入數值）

=148×1+1+4=18.

2.2 整體設元

在這一類解題方式的題目中，我們通常可以使用一個新的參元去替代已知式或者已知式中的一部分，尋找滿足題目的一部分內容，達到化繁為簡的效果.

題目 已知f（x）=x2lnx.

（1）求f（x）在x=1處的切線方程；

（2）若過點0，0的直線l與f（x）的圖象相切，求直線l的方程.

分析 求解切線方程時，我們需要對原函數求導.觀察題目第二問，可知直線l經過原點，但是此時的原點并不是切點，故拿到題目時我們利用整體設元法對題目中的切點進行設元，從而進行解題.

解析 （1）f ′（x）=2xlnx+x2x=2xlnx+x，

當x=1時，f ′（1）=1，得到此時切線的斜率為1.

當x=1時，y=0，所以切點坐標為1，0.

∴切線方程為y=x-1.

（2）由題可知點0，0不是直線l與

f（x）的切點.

設二者相切于x0，x20lnx0，直線l的方程可利用第一問中的導數寫出：

y-x20lnx0=2x0lnx0+x0x-x0，

因為直線l過點0，0，代入得到x20lnx0=2x0lnx0+x0x0，

化簡得到lnx0=-1，x0=1e.

此時可得到直線的斜率為k=2x0lnx0+x0=-1e，

因為直線l過點0，0，故直線方程為y=-1ex.

2.3 整體變形

在這一類題目中，我們可以將問題條件中的某些部分進行整體處理，使之達到我們所需要的結構式，從而簡化問題.

題目 數列an的各項為互異正數，且其倒數構成公差為3的等差數列，則a1-ana1a2+a2a3+…+an-1an=.

分析 觀察題目，我們可以看到所要求的式子十分復雜，此時可以考慮整體變形將問題轉化為與條件相關聯的內容.

解析 數列an的倒數構成公差為3的等差數列，所以

1an+1-1an=3，（此時好像沒有明顯關系，可進行通分）

an-an+1an+1an=3，∴anan+1=13an-an+1（得到相鄰項相乘之間的關系，與所求式子的分母部分有關，故我們可以將分母進行整體變形化簡問題）.

a1-ana1a2+a2a3+…+an-1an

=a1-an［（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）］/3

=a1-an（a1-an）/3=3.

2.4 整體補形

這一類方法出現在圖形類的題目中較多.我們根據題設條件將原題目中的圖形補足為某種我們已知的特殊圖形，找到題設條件與補足的特殊圖形之間的關系，從而找到問題本質，解決問題.

題目 已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，PA=2，PB=PC=1，則三棱錐P-ABC外接球的體積為.

分析 由題可知，三棱錐中三條棱兩兩垂直，此時我們就可以將其整體補形為正方體或者長方體，將未知的三棱錐外接球與我們熟悉的幾何體聯系.

解析 由題，我們可以將三棱錐P-ABC放入

長為2，寬為1，高為1的長方體中，∴三棱錐P-ABC外接球的半徑R=1222+12+12=62，體積V=43πR3=43×623π=6π.

2.5 整體配湊

整體配湊法，顧名思義，就是通過將問題中的條件和結論進行適當的配湊，使之結構形式特殊化或者公式化，再利用它們的相關性質進行求解.使用這種方法時，我們一定要注意保持問題的一致性，不能改變問題所求，保證結果不變.

題目 已知x∈-3，+∞，求y=x+16x+3的最小值.

分析 因為x存在取值范圍，故能求得x+3的范圍，所以x+16x+3不是定值.因為題目中存在不同的關于x的代數式，從整體探究，為使得題目內式子一致，我們可以對其進行配湊，達成整體求解的效果.

解析 ∵x∈-3，+∞，

∴x+3∈0，+∞，

對所求式子進行整體配湊，

y=x+16x+3=x+3+16x+3-3，

配湊完成后可以發現所求可以利用均值不等式解出.

y=x+3+16x+3-3

≥2x+3·16x+3-3=5.

當且僅當x+3=16x+3，即x=1時等號成立，故y=x+16x+3的最小值為5.

2.6 整體構造

什么時候使用這種解題方式呢？通常我們可以將問題中的某些代數式，賦予其幾何意義，構造出幾何圖形，利用數形結合的思想來解答問題[2].

題目 已知0lt;xlt;12，求x2+4+12-x2+9的最小值.

分析 問題中出現兩個根式.面對這種問題，乍一看十分棘手，但是通過思考后，我們可以發現根式內均為平方數，與我們用勾股定理求解斜邊長度十分類似，故可以將問題整體構造為直角三角形斜邊進行求解，通過兩點之間線段最短，找到兩個斜邊之間的最短長度，得到最小值.

解析 我們將問題中兩個根式用直角三角形斜邊表示，賦予其幾何意義：CD=x2+4，CE=12-x2+9，

求x2+4+12-x2+9的最小值即求CD+CE的最小值，當C、D、E三點共線時，數值最小，最小值為DE=122+2+32=13.

3 結束語

本文聚焦整體思想的概念，具體探究其包含的六種整體解題方式，以及其在不同題目中的使用方法，為高中數學快速且高效解題提供新思路.

參考文獻：［1］ 韓樺芳.淺談新教材背景下數學整體思想培養：以“高一學生函數學習”為例[J].福建中學數學，2023（05）：12-15.

［2］ 劉慧榮.大單元教學觀下的數學思想方法類單元教學思考：以“整體思想”為例[J].數學教學研究，2023，42（02）：45-49.

［責任編輯：李 璟］