“基本不等式的證明”教學探析

摘 要：本文以蘇教版高中數學為例，重點分析“基本不等式的證明”教學方法，并進行教學反思.希望通過本研究，為相關人員提供參考借鑒，不斷提升“基本不等式的證明”教學水平.

關鍵詞：高中數學；基本不等式的證明；教學反思

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0054-03

基本不等式屬于高中數學中較為重要的內容，也是高考中的考點之一[1].在“基本不等式的證明”教學中，教師應對教材進行了解，清楚教學目標及重難點，將學生作為中心，精心設計課堂教學活動，構建高效課堂.

1 教材分析

蘇教版高中數學教材中，“基本不等式的證明”屬于第3章3.4.1 節的內容.

通過學習這部分的知識，學生可以掌握函數值域、最值等問題的解決方法.在該部分知識的學習中，教學重點在于對基本不等式的內容、證明方法等內容進行了解，掌握基本不等式的簡單應用.教學難點在于分析法證明、應用條件的掌握等.

2 教學目標

（1）通過參與基本不等式探究及論證活動，從中感受到探究、掌握數學知識的快樂與成就感，體會數學研究方法.

（2）掌握基本不等式的證明方法，并用于實踐，獲得一定的邏輯推理能力，感受數形結合思想，形成數學建模思維.

（3）通過基本不等式的應用，能進行其他相關不等式證明，計算出函數最值.

3 教學過程

3.1 發揮情境作用，感受數學文化

課堂教學環節，教師先為學生展示第24屆國際數學家大會會標（如圖1），提出問題：會標中都包含哪些圖形，這些圖形間存在哪種關系呢？進而引入本節學習的內容.

學生觀察會標時，教師要求學生對以往學習過的知識進行回顧，并向學生展示趙爽弦圖（如圖2），使學生了解其屬于最早的勾股定理證明方法，在體會數學文化的同時，感受代數與幾何的聯系.隨后提出問題，引發學生思考：通過圖1、圖2可以看出，趙爽弦圖屬于會標設計的主要依據，通過趙爽弦圖可以證明什么呢？如何證明？

3.2 借助數學圖形，引入新課知識

問題一：對以上圖形加以分析，你能回答出有哪些相等關系嗎？能否利用相同的手段，找出不等關系呢？經學生討論總結得出：a2+b2≥2ab.

問題二：這個式子永遠成立嗎？什么情況下等號成立？

問題三：經分析得出，a2+b2≥2ab，當agt;0，bgt;0時，可通過a

代替a，可用b代替b，則式子會發生何種變化？

學生通過實際計算獲得結果，得出當agt;0，bgt;0時，a+b≥2ab，經變形得到ab≤a+b2，當a=b時等號成立.

學生通過對以往所學知識的回顧，強化新舊知識的聯系，在教師引導下，逐漸接觸到需要掌握的新知識，自然引出基本不等式，以此培養學生數學抽象能力.

3.3 通過探究活動，證明結論

活動一：對于本節課提出的基本不等式，如何進行證明？會經過怎樣的證明過程？活動中，教師要求學生結合教材中的引導，自行思考，隨后寫出證明過程.并通過小組討論的方式進行探討，相互交流想法.最后，由教師展示證明過程.

分析法證明過程：

若想證明a+b2≥ab，應證明2ab≤a+b；證明上式，則應證明2ab-a-b≤0；證明上式，則應證明-（a-b）2≤0；證明上式，則應證明（a-b）2≥0.而（a-b）2≥0成立，當a=b時，該式中的等號成立.

小組合作環節，所有學生均能經歷推理過程，形成良好的數學思維，養成探究數學問題的良好習慣.

活動二：圖3所示圓中，AB為直徑，C為直徑上動點，AC=a，BC=b，經過點C作與AB垂直的直線DE，將AD、BD連接.通過圖3，能夠得出a+b2≥ab的幾何解釋嗎？

通過小組合作的方式，進行討論分析，最終由教師展示證明過程.

∵△ACD∽△BCD，∴CD=ab.

又∵CD≤AB/2，∴a+b2≥ab（agt;0，bgt;0）.

即當點C位于圓心，a=b時，等號成立.

完成證明后，教師借助幾何畫板，實施動態演示，使學生掌握基本不等式及等號成立條件.該環節，主要是對圖形進行深入分析，讓學生經歷以形證數的過程，對論證不斷完善，促使學生深入思考，實現思維能力有效提升.

活動三：教師可借助多媒體，使學生對幾何以及代數平均數定義進行了解，從而通過以上知識，進行基本不等式證明.教師總結幾何平均數與算數平均數的定義，并以此對基本不等式進行幾何及代數解釋.其中，幾何解釋為圓的直徑不小于圓的弦；代數解釋為幾何平均數不大于算數平均數.該環節能夠使學生歸納總結能力得到有效提升，通過數學語言表述數學公式，促進學生數學抽象素養得到進一步提升.

4 鞏固練習與課堂小結

4.1 鞏固練習

教學活動開展后，為使學生更加深入地掌握學習的內容，教師應為學生提供幾道習題，進行鞏固練習.

（1）已知a、b∈R，且a≠b，a+b=2，則1、ab、a2+b22的大小關系是什么？

（2）a、b∈R，且abgt;0，下列哪個不等式恒成立？

A.a2+b2gt;2ab"" B.a+b≥2ab

C.1a+1bgt;2abD.ba+ab≥2

（3）設x為任意實數，x2+14與x的大小關系是什么？

（4）已知a、b∈R，求證a2+b2≥（a+b）22，等號成立條件是什么？

科學的練習，有助于學生將所學知識更好地內化，加深記憶.通過習題（1）的練習，學生在對知識進行理解的同時，學會了知識遷移；通過習題（2）的練習，學生能夠認識到兩數均為正數，屬于基本不等式的重要條件；通過習題（3）（4）的練習，可加強學生對不等式證明方法的掌握，實現所學知識的靈活使用.

4.2 課堂小結

以上活動完成后，教師應通過提問的方式，對課堂所學知識內容進行總結：問題一，如何理解基本不等式？通過什么方式進行推導？問題二，基本不等式怎樣證明？有哪些證明方法？問題三，對于基本不等式，你能說出它的圖形解釋及代數解釋嗎？通過小組合作的方式，對以上問題進行探討，獲得結論后，由小組代表發言，其他小組對其闡述內容進行補充.教師結合學生闡述，進行總結分析.

5 教學反思

第一，注重教學情境的促進作用.新課程標準下，高中數學教師開展“基本不等式的證明”教學活動時，需要注重教學情境的重要價值，以此更好地實現學生核心素養提升目標.本次活動開展中，以第24屆國際數學家大會會標、趙爽弦圖為主，使學生感受數學文化的價值，進行數學文化教學情境創設，激發學生對數學知識的探究欲望.當然也可選擇其他情境創設的方式，將學生注意力集中在教學活動中，引導學生主動發現問題，積極探究問題，營造出良好的學習氛圍[2].

第二，確保知識精練與應用協調一致.高中數學教學中，知識精練尤為重要，不僅要站在整體角度對數學知識間的關系進行分析，還應進行局部角度的分析，從而使學生數學認知結構得到不斷優化[3].在數學應用方面，主要是通過提出系列問題，訓練學生應用所學知識解決實際問題，既是知識訓練，又是知識掌握情況的檢測過程.有助于學生獲得更多的解題經驗，促進其思維品質發展，

進而擁有更強的學習能力.

第三，先學后教，突顯主體地位.課堂教學的重點在于確保學生能夠學會并內化知識，教師在實際教學中，應始終將學生放在關鍵位置，引導學生主動思考問題[4].教師在教學問題提出后，切忌自問自答，而是要為學生留出足夠的思考時間及探究機會，要求學生自主思考，并與小組其他同學共同探討，實現思維模式的相互交換，共同提升.隨后，教師再結合學生討論結果，加以總結點評，使學生了解自身思維局限，實現持續發展.

6 結束語

綜上所述，高中數學教學中，基本不等式的證明屬于較為重要的內容之一，通過該內容的學習，

學生能夠更好地應對基本不等式方面的問題.在解決基本不等式問題時，能夠擁有更加清晰的解題思路，為后期學習奠定良好基礎.新課程改革下，要求將學生作為課堂主體，注重學生核心素養培養.因此，高中數學教師應在實際教學中，與學生形成良好互動，借助情境創設、提問探究、小組合作等方式，使學生真正參與到知識學習及問題解決中，從而更好地內化所學知識，實現知識體系的良好構建.

參考文獻：［1］ 吳佐慧，葉瀚文.HPM視角下的基本不等式教學[J].數學通報，2020，59（6）：37-42.

[2] 劉雙.教科書分析視角下的基本不等式教學設計與反思[J].理科考試研究（高中版），2022，29（7）：19-22.

[3] 唐瑞，趙思林.基本不等式教學需注意的問題及教學建議[J].教學月刊（教學參考），2020（7）：77-80.

[4] 彭金艷.基本不等式教學設計及反思[J].文理導航·教育研究與實踐，2021（11）：155-156.

［責任編輯：李 璟］