HPM視角下高中立體幾何教學案例研究

摘 要：通過數學史展示數學知識的發展脈絡，體現數學家們對數學問題的思想方法，是有效滲透數學文化方式之一，也是發展學生數學核心素養的途徑之一.本文以“直線與直線平行”為例展開教學實踐與研究，探索HPM視角下高中立體幾何的教學方式.

關鍵詞：數學史與數學教學；立體幾何；核心素養；數學思想方法

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0045-03

本文以“直線與直線平行”內容為研究課題，基于數學史融入數學教學的三種表現方式，設計合理的、符合學生發展的教學過程，并進行教學實踐，通過融入歐幾里得以及《幾何原本》相關數學史，達到“知史明理”的教學目標.

1 教學設計案例

1.1 教學目標

（1）通過觀察實物模型概括出基本事實4，了解《幾何原本》以及歷史上對基本事實4的證明，領悟公理化思想，感受數學家們對該定理的探索與推理，樹立鍥而不舍的數學精神，提升直觀想象和邏輯推理的數學核心素養.

（2）經歷探究-猜想-分析-推理論證四個階段，能夠在教師的引導下正確地推理證明等角定理，強化思維能力和邏輯推理能力.了解《幾何原本》對等角定理的證明，對照發現與數學家的邏輯思維有異曲同工之處，增強數學學習的熱情，養成良好的學習習慣[1].

（3）觀看《天才簡史-歐幾里得》視頻，了解歐氏幾何的發展對人類做出的貢獻，體會數學史的魅力與價值.

1.2 教學重難點

教學重點：了解歐幾里得與《幾何原本》，加深對基本事實4的理解并會應用于數學問題的解決；類比平面幾何等角定理初步判斷空間立體幾何等角定理是否成立.

教學難點：基于歐幾里得證明等角定理的思路，通過猜想-分析明確證明等角定理的邏輯思路，并給出正確的論證過程.

1.3 教學過程

1.3.1 復習舊知，加深知識理解

回顧在平面幾何的學習中，重點研究了兩直線平行的性質以及判定定理，類比平面幾何，針對空間立體幾何直線與直線平行，研究的重點依然是直線與直線平行的判定與性質.

1.3.2 探究新知，加強空間想象

教師類比平面兩直線平行的結論“當兩條直線都與第三條直線平行時，這兩條直線互相平行”提出問題.

問題1 空間中判定兩直線平行是否也有類似的結論？

活動1 讓學生通過觀察直觀感受生活中的實際情景從而得出結論.

情景1 如圖1，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，圖1長方體

可以看到DC和AB在同一平面內，A′B′和AB也在同一平面內，并且DC和A′B′都平行于AB，觀察一下DC與A′B′平行嗎？

情景2 如圖2，觀察所在教室，黑板邊所在直線AA′和門框所在直線CC′都平行于墻與墻的交線BB′，那么CC′與AA′平行嗎？

通過觀察以及根據定義判斷DC∥A′B′，CC′∥AA′.

得到基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

1.3.3 回顧歷史，感受幾何魅力

教師對基本事實4進行擴展，讓學生對這一基本事實有更深入的了解.

最早提出這一公理的數學家是著名的幾何之父歐幾里得，他在《幾何原本》第十一卷中將其以命題的方式展示，并給出了嚴格的推理證明過程.這一命題只是《幾何原本》的冰山一角，歐幾里得和《幾何原本》的魅力并不僅限于此.教師播放微視頻1：《天才簡史-歐幾里得》，讓學生通過視頻加深印象.

設計意圖 通過附加式和點綴式介紹歐幾里得以及《幾何原本》，展現數學文化之魅，達成德育之效，便于讓學生通過對此部分相關數學史的了解，對數學學習產生濃厚的興趣，從而能夠形成對數學知識以及數學問題的探索精神.

除了歐幾里得的歐式證法之外，數學家勒讓德以及其他數學家在此基礎上不斷探索得到了三垂線法、同一法以及線面相交法，這些證明方法都運用到了后面學習的直線與平面垂直的判定定理和性質定理.發展到今天，基本事實4就作為公認的定理而不用加以證明，我們是站在偉人的肩膀上應用知識解決問題，數學家們的思想方法值得我們學習[2].

設計意圖 課本中只是簡要敘述了基本事實4，這里通過附加式介紹關于歐幾里得以及其他數學家們對于這一基本事實的證明作為知識的補充，彰顯方法之美，構建知識之諧，達成德育之效，讓學生能夠從中感受到數學思想方法和邏輯推理證明的重要性，了解數學家們不同的證明方法，學習數學家們的邏輯思維，感受幾何發展熠熠生輝，體會數學精神和知識之間環環相扣的緊湊感[3].

1.3.4 例題講解，領悟思想方法

例1 如圖5，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.圖5 空間四邊形

問題2 題目中已知的條件有哪些？要求證的是什么？

問題3 如何證明四邊形EFGH是平行四邊形？

問題4 如何將已知條件進行轉化變成能夠證明EFGH為平行四邊形的條件？

問題5 E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點可以轉化成什么？

變式訓練 對于本例題，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形呢？

設計意圖 例題講解和變式訓練，使學生在學習基本事實4以及了解相關擴展數學史之后，能夠及時鞏固知識，讓學生能夠體會基本事實4蘊含的數學思想，提高思維能力和邏輯推理數學核心素養.

1.3.5 擴展新知，提高邏輯思維

在研究完直線與直線平行的判定后，接著研究直線與直線平行的性質.

問題6 在平面幾何中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等，在空間中，這一結論是否還成立呢？

思路 如圖6，分別在∠BAC和∠B′A′C′的兩邊上截取AD，AE，A′D′，A′E′，

使得AD∥A′D′，AE∥A′E′且AD=A′D′，AE=A′E′，連接AA′，DD′，EE′，ED，E′D′.

問題7 要證∠BAC和∠B′A′C′相等，已知的條件是什么？

問題8 用什么方法可以證明∠BAC和∠B′A′C′相等？

問題9 要證ΔADEΔA′D′E′，需要證明什么？用什么判定方法？

問題10 如何根據已知條件證明ED=E′D′？（提示：證明EDD′E′為平行四邊形）

教師介紹的這個證明方法來自于歐幾里得《幾何原本》十一卷中的命題10，并介紹歐式證法與現在的證法有何異同.

設計意圖 在學生進行探究-猜想-分析-證明之后，通過介紹《幾何原本》中有關這一命題的證明，同時強調歐幾里得的證明過程和邏輯思維和本節課中的分析證明一致，再結合數學史的融入，能夠鼓勵學生勇于探究數學問題，增強學生學習幾何的自信心，培養學生的邏輯推理核心素養以及提高學生對幾何證明的思維能力.

1.3.6 課堂小結，整合知識框架

學生小結 引導學生自己總結本節課的學習內容以及體會到的數學精神和數學思想方法，并且表達自己對數學史融入數學教學的看法.

教師總結 牛頓曾經說過這樣一句話：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現.本節課我們就很好地貫穿了觀察與發現-直覺與猜想-推理與證明這樣的邏輯思維.

2 教學反思

本節課主要在兩個知識層面的教學中融入了相關數學史的內容，一是空間平行線的傳遞性，二是空間等角定理的證明.通過多元化方式融入數學史，讓學生能夠在課堂中隨時保持對學習的積極性，提高學習動機，提升思維能力，同時感受數學與人文相契合的魅力，體會數學家的思想方法.

參考文獻：［1］ 韓粟，王巳震，汪曉勤.HPM視角下平面解析幾何序言課的教學實踐與思考[J].數學通報，2022，61（8）：8.

[2] 沈中宇.數學史融入立體幾何教學的行動研究[D].上海：華東師范大學，2017.

[3] 安振亞.基于發展學生直觀想象素養的教學實踐與反思：以“直線與直線平行”的教學為例[J].中國數學教育，2022（20）：44-46，64.

［責任編輯：李 璟］