相切位置巧設(shè)置，幾何代數(shù)妙切入

摘" 要：涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，因其獨(dú)特的形式，成為高考命題中的一個創(chuàng)新應(yīng)用熱點(diǎn).本文結(jié)合一道圓與拋物線的相切問題，從代數(shù)視角與幾何視角切入，合理剖析與應(yīng)用，歸納總結(jié)解題技巧與策略，總結(jié)一般性結(jié)論與變式拓展，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：拋物線；圓；相切；導(dǎo)數(shù)

平面解析幾何中，涉及直線、圓、圓錐曲線之間的位置關(guān)系問題，一直是高考命題中的一個重要方向與基本考點(diǎn).特別是涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，內(nèi)涵實(shí)質(zhì)豐富，成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個熱點(diǎn)，也是圓錐曲線知識模塊中考查的一個重點(diǎn)與難點(diǎn).

1" 問題呈現(xiàn)

（廣東省深圳中學(xué)2024屆高三二輪一階測試（2024年3月）數(shù)學(xué)試卷·8）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，若圓M與拋物線C只有一個交點(diǎn)，且圓M與x軸相切于點(diǎn)F，則圓M的半徑為（" ）.

A. 439

B. 79

C. 32

D. 233

該題以拋物線為問題背景，解題時結(jié)合存在同時與拋物線、x軸相切圓這一條件，進(jìn)而確定相應(yīng)圓的半徑.問題合理交匯起平面解析幾何中直線、圓與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，通過相切加以合理融合，巧妙創(chuàng)設(shè)問題情境，實(shí)現(xiàn)問題的構(gòu)建與應(yīng)用.

在實(shí)際解決問題時，抓住平面解析幾何中直線、圓、拋物線之間的位置關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化直線與圓、直線與拋物線的相切關(guān)系，從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維、平面幾何思維、平面解析幾何思維等方式切入，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

2" 問題破解

2.1" 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維

方法1：導(dǎo)數(shù)法.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)圓M的半徑為r（rgt;0）.

由對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方且與x軸相切于點(diǎn)F，故圓M的方程為（x-1）2+（y-r）2=r2.

將x=y24代入圓M的方程，可得y24-12+（y-r）2=r2.

顯然ygt;0，故r=12yy24-12+y2=（y2+4）232y.

根據(jù)題設(shè)該關(guān)于y的方程恰有一個解，該解恰好是對應(yīng)圓M與拋物線C唯一交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

令函數(shù)f（y）=（y2+4）232y，ygt;0，注意到limy→0+f（y）=+∞，limy→+∞f（y）=+∞，故r=f（y）min.

由于f′（y）=（y2+4）（3y2-4）32y2，令f′（y）=0，解得y=233.則當(dāng)y∈0，233時，f′（y）lt;0，函數(shù)f（y）單調(diào)遞減；當(dāng)y∈233，+∞時，f′（y）gt;0，函數(shù)f（y）單調(diào)遞增.

所以r=f（y）min=f233=439，故選擇答案A.

2.2" 平面解析幾何思維

方法2：拋物線的光學(xué)性質(zhì)法.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)圓M的半徑為r（rgt;0）.

由于圓M與拋物線C只有一個交點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為P.由對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，則P（t2，2t），tgt;0，則知圓M與拋物線C在點(diǎn)P處有相同的公切線PN，其中點(diǎn)N為切線PN與x軸的交點(diǎn)，如圖1所示.

連接MF，MP，則MF⊥OF，MP⊥PN.

圖1

過點(diǎn)P作x軸的平行線PQ，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，設(shè)∠QPM=∠FPM=θ，則∠MFP=∠FPM=θ，∠PFN=∠QPF=2θ，所以∠MFN=3θ=90°，解得θ=30°，可得∠NPF=∠PFN=2θ=60°，則有∠PNF=60°，則知切線PN的斜率為tan60°=3.

借助切線法，可知拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為2ty=2（x+t2），即拋物線C在點(diǎn)P處的切線斜率為1t，則有1t=3，解得t=33，則N-13，0.

所以圓M的半徑r=|MF|=|NF|tan30°=43×33=439，故選擇答案A.

方法3：切線性質(zhì)法1.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)圓M的半徑為r（rgt;0）.

由于圓M與拋物線C只有一個交點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為P，由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則P（t2，2t），tgt;0，則知圓M與拋物線C在點(diǎn)P處有相同的公切線PN，其中點(diǎn)N為切線PN與x軸的交點(diǎn)，如圖2所示.

圖2

連接MF，MP，則MF⊥OF，MP⊥PN.

借助切線法，可知拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為2ty=2（x+t2），即拋物線C在點(diǎn)P處的切線斜率為1t.

而M（1，r），又由于kMP=2t-rt2-1，結(jié)合MP⊥PN，可得1t·2t-rt2-1=-1，整理，可得r=t3+t.

而|MP|=r，則有（t2-1）2+（2t-r）2=r2，整理，可得r=（t2+1）24t.

于是有t3+t=（t2+1）24t，整理，有t2=13，解得t=33，r=t3+t=439，故選擇答案A.

方法4：切線性質(zhì)法2.

依題可知，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)圓M的半徑為r（rgt;0）.

由對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方且與x軸相切于點(diǎn)F，故圓M的方程為（x-1）2+（y-r）2=r2.

設(shè)圓M與拋物線C的交點(diǎn)為P（x0，y0），x0gt;0，y0gt;0，借助切線法，可得拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為y0y=2（x+x0），即2x-y0y+2x0=0.

借助切線法，又可得圓M在點(diǎn)P處的切線方程為（x0-1）（x-1）+（y0-r）（y-r）=r2.

由于以上兩條切線方程是同一條直線方程，所以有x0-12=r-y0y0=1-x0-ry02x0，

y20=4x0.

解得x0=13，y0=233，r=439，故選擇答案A.

點(diǎn)評：根據(jù)平面解析幾何情境下拋物線與圓的位置關(guān)系，通過直線與圓、直線與拋物線的相切的位置特征與幾何性質(zhì)，將解析幾何問題借助導(dǎo)數(shù)法、光學(xué)性質(zhì)法以及切線性質(zhì)法等思維視角來應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.

解題時的關(guān)鍵是通過極限思維，以拋物線與圓的位置關(guān)系中圓的半徑的參數(shù)的構(gòu)建來應(yīng)用，借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來實(shí)現(xiàn).或通過平面解析幾何思維，利用切線性質(zhì)法，以平面幾何與平面解析幾何的圖形直觀來切入，進(jìn)而綜合具體問題情境應(yīng)用來求解.

3" 結(jié)論歸納

根據(jù)以上問題及其各思維方法與解析過程，可對問題進(jìn)行一般化處理，得到以下一般性的結(jié)論.

結(jié)論：已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點(diǎn)為F，若圓M與拋物線C只有一個交點(diǎn)，且圓M與x軸相切于點(diǎn)F，則圓M的半徑為239p.

根據(jù)該結(jié)論，當(dāng)p=2時，滿足題設(shè)條件時，所求的圓M的半徑r=239p=439，即為以上原問題.變換拋物線方程的形式，以及拋物線的對稱軸位置等，都可以合理來設(shè)置與結(jié)論相關(guān)的應(yīng)用問題.

4" 教學(xué)啟示

此類涉及直線、圓、圓錐曲線之間的相切問題，自身內(nèi)涵豐富，有圖形的直觀與幾何內(nèi)涵，可以從幾何視角直觀分析其特征；也有曲線的方程與代數(shù)實(shí)質(zhì)，可以從函數(shù)視角推理剖析其性質(zhì).這就給問題的突破與求解提供更多的思維方式，可以有效開拓與發(fā)散數(shù)學(xué)思維，融合并交匯眾多的數(shù)學(xué)知識，對提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有極大幫助.

教師引導(dǎo)學(xué)生依托圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，通過曲線方程的代數(shù)形式以及曲線圖形的幾何直觀，數(shù)形結(jié)合，巧妙應(yīng)用.基于此進(jìn)行結(jié)論的歸納與總結(jié)，將問題加以一般性推廣與深入應(yīng)用，利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).