抽象形成概念?運算演繹意義

【摘 要】數學概念是經過多級抽象得到的，是“數學化”的效果。教學抽象的數學概念需要回到情景中“找意義”。分數的定義是發生式的，可以用整數的運算演繹分數的意義，通過運算與推理建立模式，實現數學概念的符號化與一般化。小學數學中學習的分數應用題都可以歸納為“求一個數的幾分之幾是多少”的問題，解決這些問題正是以分數意義的理解作為基礎的。

【關鍵詞】分數意義 數學化 數學抽象 發生式定義

數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象是形成數學概念的基本過程，許多數學概念是從實際生活中通過理想化的形式抽象出來的，學生學習這些概念的有效方式就是“重蹈”這個抽象的過程。

即便是從現實生活或具體情境開始，經由多級抽象后得到的也往往是形式概念，這個過程弗賴登塔爾稱為“數學化”的過程。學生在初步獲得形式概念后，為了強化對概念的理解，并在問題解決過程中應用概念，還應當經歷一個重新尋找意義的過程。“數學化”與“找意義”是互逆的過程，是數學教學中的基本活動，其中“數學化”是弗賴登塔爾提出的數學教學的基本原則之一。

浙教版數學三年級下冊安排了學習分數的初步認識，四年級下冊安排了學習分數與除法，五年級下冊安排了學習分數的意義與性質。其中，分數的意義這部分教材中設計了三個教學的層次。

第一個層次是以長方形作為單位“1”的幾何直觀，利用分數與除法共享平均分概念的便利，理解單位“1”的均分得到分數單位，幾個分數單位的復合得到分數，并把這個意義表示為“先除再乘”的運算過程，如圖1。

圖1

第二個層次是把單位“1”假設為不同的數量，通過具體的運算和推理理解分數的實際意義，并在不同情境的比較中初步感知分數的“無量綱性”，如圖2。

圖2

第三個層次是從不同的例子中概括出抽象的單位“1”，歸納出分數的一般意義，并用字母符號的運算表征這個過程，形成抽象的分數模型，如圖3。

圖3

以上三個層次是“數學化”與“找意義”相互交融的過程。第一個層次是抽象結構，即把抽象的數學符號具體化，用幾何直觀表示其意義，并結合數學運算解釋意義的發生過程；第二個層次是符號運算，即把單位“1”表示為不同的數量，通過數學運算演繹分數的具體意義；第三個層次是模型構建，即通過形式推理得到分數的一般意義，其中的形式推理既包括從具體情境中歸納出抽象的單位“1”，也包括運用字母進行形式運算，演繹分數一般意義的過程。

通過具體的運作理解抽象的概念，在抽象與具體之間形成聯系與解釋的回路，是新思維數學分數意義教學最重要的特色。運算演繹意義，既可以增進學生對分數意義的理解，也有利于培養學生數學抽象的核心素養。

下面介紹這節課的教學環節，著重于數學抽象和數學運算的過程。按照感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征等四個環節展開。

一、感知與識別

分數與整數、小數一樣，都是若干個計數單位累加的結果。把分數與整數、小數進行聯系與比較，可以突出計數單位在數的構成中的重要性，有利于學生理解若干個分數單位累加得到分數的過程。

師：老師在黑板上寫三個數—30、0.3、，你們說說它們有什么不同與相同。

生：30是自然數，0.3是小數，是分數。

生：它們都有數字3。

師：沒錯，每個數里都有“3”。這些“3”表示的意義一樣嗎？

生：30里的3表示3個十，0.3里的3表示3個0.1，里的3表示3個。

師：今天我們學習分數的意義。表示什么意思，你們知道嗎？

生：把一個物體平均分成5份，表示這樣的3份。

生：把20個蘋果平均分成5份，表示這樣的3份。

師：你們舉的例子很好，有的是把一個物體平均分，也有的是把一些物體平均分。能不能畫一幅圖，把你們心里想的表示出來？

學生獨立畫圖，教師選擇部分作品展示交流。

（數學概念的形成是從特殊開始的，以這個分數為例，引導學生解釋其含義，理解意義的“多樣性”。數學概念的思維是從直覺開始的，畫圖表示就是按照定義的語義表示這個分數，把抽象的意義“過程化”。“多樣性”和“過程化”為抽象概念提供了豐富的素材與思維的便利。）

二、分類與概括

抽象必須關注研究對象的共性，數學抽象就是用數學的眼光去觀察。首先是識別事物間的相似性，然后通過分類把有共同屬性的數學對象放在一起，把這些對象中具有相似性的特征概括出來，形成抽象的數學概念。

師：（同時展示學生的四幅作品，作品略）請同學們觀察這些作品，它們都畫得正確嗎？

生1：正確。

師：選擇一幅圖來說一說，它是如何表示的？

生2：把一條線段平均分成5份，其中的3份是。

生3：把5支鉛筆平均分成5份，其中的3支是。

生4：把長方形平均分成5份，涂色的有3份，是。

生5：我想以生活中的例子來說。媽媽買了5個蘋果，平均分成5份，假如吃掉3個，就表示吃掉了。

師：如果要把這四幅圖分成兩類，可以怎么分？

生6：把一個物體平均分的作為一類，把一些物體平均分的作為一類。

師：一個物體，一些物體，我們把它統一說成是一個整體。那么，這兩類表示的意義可以怎么說？

生7：把一個整體平均分成5份，其中的3份就是。

（學習分數意義的重點與難點是一致的，都是對單位“1”的抽象。通過分類的活動，把均分的不同對象分成“一個”與“一類”，統稱為一個整體，這是單位“1”抽象的第一階段。）

師：可是你們看有些圖，它們的形狀、大小甚至數量都不相同，為什么都能用表示？

生8：因為都是平均分成5份，表示了這樣的3份。

師：說得很好。用一個長方形可以表示，用5個蘋果也能表示，它們有什么聯系呢？

（學生無答。）

師：如果要把蘋果放到長方形的圖里，你打算怎么放？

生：長方形中的1份就表示1個蘋果，3份就是3個蘋果。如圖4。

圖4

（數學學習的任務不是發現已經存在的內容，而是構建數學的研究對象。教學不能止步于復述已經知道的內容，而是要理解概念的抽象意義。把具體數量對應到幾何圖形中，實現數與形的連接與轉換有兩個目的：一是在不同的情境中建立意義的聯系，二是為下一步具體數量的運算推理打下基礎。）

三、想象與建構

運算就是用數學的思維去分析。通過運算演繹分數的發生過程，幫助學生理解分數意義，使抽象的分數意義具體化、過程化。

師：一塊長方形菜地，種西紅柿，怎么表示它的？

生：把這個長方形平均分成5份，表示其中的3份，如圖5。

圖5

師：會說還要能算。你剛才說的這句話能用算式來表示嗎？把這個長方形記作“1”，平均分怎么表示？這樣的3份怎么算？

生：1÷5×3。

師：1÷5表示什么意思？

生：平均分成5份。

生：平均分成5份，取其中的1份。

生：每塊有。

師：你能在圖上找到嗎？

（學生到圖上指。）

師：為什么還要乘3？

生：有這樣的3份。

師：也就是說，3個是。（板書：1÷5×3=× 3=）

[分數的定義是發生式的，對于一個具體的分數來說，按照語義去做就能得到這個分數。因此，在分數的初步認識中通常要求畫圖表示某個特定的分數。在這里，利用分數與除法共享平均分概念的便利，把“做分數”的過程用算式進行表征，用單位分數乘整數（每份數×份數）表示“分數即先分再數”的意義。]

分數的意義從抽象層面上解釋比較容易，在具體的問題情境中解釋反而比較困難。在學習分數的意義后，學生可以很流利地按照句式說出一個特定分數的意義，但是當把這個分數置于具體的情境中解釋時，不少學生就會遇到困難。為什么要學習分數的意義？學習分數意義是為解決分數應用問題做準備的。小學學習的分數應用題都可以歸結為“求一個數的幾分之幾是多少”的問題，解決這些問題正是以分數意義的理解為基礎的。因此，更為重要的是把抽象的分數置于具體的情境中加以解釋。

師：如果一塊長方形菜地的面積是200平方米，它的是多少平方米？先自己想一想，算一算，再與同桌交流。

生：200÷5×3=120（平方米）。

師：看懂這個算式的意思了嗎？

生：200除以5就是1份，乘3就是3份。

師：1份是怎么得來的？

生：把200平方米平均分成5份。

師：我把它表示成，你們看得懂嗎？

生：就是200平均分成5份。

師：在圖里找一找，是哪一部分？

學生指其中的1份，教師將寫入其中。

師：我們把計算過程完整地寫下來，就是200÷5×3= ×3=120（平方米）。

師：這塊長方形的地，我們可以用兩種方法來計算它的大小：1÷5×3= ×3=，200÷5×3= ×3=120（平方米）。比一比，它們有什么聯系？

生：計算方法是一樣的，都是先除再乘。

生：都是先求出1份，再求出3份。

師：你們從不同的角度表達了相同的意思。先除就是得到其中的一份，再乘就是表示這樣的幾份。

（長方形是單位“1”的幾何直觀，用具體的數量來代表單位“1”，讓學生參與實際的運算，可以把抽象的概念過程化、具體化。如果學生之前不了解分數與除法的關系，把每份數量表示為分數的形式就會有困難。需要說明的是，這樣表示的目的不是要學習分數的運算，而是為了理解分數的意義。）

師：我們再來發揮一下想象，如果農民伯伯在這塊長方形的地里收獲了450千克西紅柿，賣出了，賣出了多少千克，怎么算？

生：450÷5×3= ×3=270（千克）。

師：還是用長方形的圖形來解釋。450表示什么？除以5表示什么？為什么要乘3？

（學生解釋略。）

（長方形是單位“1”的化身，是單位“1”的幾何直觀，這是單位“1”抽象的第二階段。把長方形想象為不同的數量，通過具體數量的運算構建起抽象的意義理解。這時，數量直觀。運算支持了理解，運算過程的每個步驟都可以在圖中找到具體的意義，而且通過比較，學生初步感知了“量”與“率”的對應與聯系。在計算過程中，感受單位“1”不同，相同分數所表示的實際意義就不同，凸顯單位“1”在分數中的重要意義。）

學習分數意義要經歷兩個重要的數學抽象過程：一是等置抽象，是指對分數指代的一類對象共同性質特征的抽象，用沒有對象和單位的數字表示，如；二是關系抽象，是指對分數產生過程中數量關系的抽象，用形式化的數學符號來表示，即分數。

師：這個長方形真神奇呀，它就像魔盒一樣，可以表示一個圖形，可以表示一個數量，大家想想還可以表示什么。

（學生舉例略。）

師：你們舉了很多的例子。我也來舉一個，它表示100可以嗎？

生：可以。

師：它的是多少？你們會算嗎？

生：100÷5×3=×3=60。

師：現在增加難度。如果它的表示300，這個長方形表示多少？你是怎么想的？

生：300對應的是3份，1份就是100，整個長方形就是5份，所以是500。

生：300÷3×5=500。

（把長方形假設為一個數，實現單位“1”從數量到數的抽象。與其說是對數進行運算，不如說是運用分數的意義推理關系。由對應于300去推理整體表示的數有兩個價值：一是運用概念和符號推理，二是溝通了分數運算與“歸一”問題的內在聯系。）

師：這個長方形表示的內容包羅萬象，可以是一個整體，它代表一個數量，也可以是一個數。在數學上我們用單位“1”來表示它。（板書：單位“1”）現在你們有什么問題想問嗎？

生：老師，那個單位“1”為什么要加上引號呢？

師：好問題。誰來回答？

生：它不是真正的1。它可以代表不同的數量。

師：可以是1嗎？

生：當然可以，但是它還可以代表其他的數量。

師：今天我們了解了的意義，你們說說，表示什么？

生：把一個物體平均分成5份，表示其中的3份。

師：沒錯，在一個圖形中或一個數量中，理解它的意義并不難。現在，如果要把表示的所有意義說出來，可以怎么說呢？

生：把單位“1”平均分成5份，表示其中的3份。

師：現在我們換個情境，換個分數，說一說分數表示的意義。

出示：一本故事書有240頁，小明讀了這本書的。

（學生回答略。）

（數學概念都是抽象的，它超越了常識與經驗。一個物體，一個圖形，一個數量，一個不帶單位的數，都可以作為單位“1”，這是單位“1”抽象的第三階段。在這個階段，把沒有對象與單位的數字概括為單位“1”， 這是人類想象力、創造力與現實世界完美結合的產物。）

四、定義與表征

數學抽象第二階段的特點是符號化、形式化和公理化。通過概念的定義與形式化的表征，實現從感性具體上升為理性一般的思維過程。

師：老師再寫一個分數，先讀一讀，再解釋它的意義。（板書：）

生：表示把單位“1”平均分成m份，表示其中的n份。

生：m表示平均分成若干份，n表示取其中的幾份。

師：m表示把單位“1”平均分的份數，n表示這樣的幾份。

師：這個分數也能用一個算式表示嗎？

生：1÷m×n=×n=。

師：表示什么？為什么要乘n？

師：表示平均分成m份中的1份，乘以n就表示這樣的n份。

師：課本上，分數的意義寫得很清楚了，請同學們翻到課本第6頁，看看上面的一段文字，與同桌交流兩個問題：a分數各部分的名稱和意義是什么？b分數的意義與運算有什么聯系？

（去掉具體內容，利用符號和關系術語表示分數的意義，通過運算與推理建立模式，在一般的層面上表示分數的意義，實現數學概念的符號化與一般化。分數概念與形式運算是對分數意義的兩種不同表達，它們相互聯系、共同作用，可以豐富學生對分數意義的理解。）

【參考文獻】

[1]鮑建生，等.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]張天孝.現代新思維小學數學教育[M].杭州：浙江大學出版社，2017.