數(shù)學(xué)思想與方法在高中物理解題中的應(yīng)用

摘 要：以“三角函數(shù)”為例，探討了數(shù)學(xué)思想與方法在高中物理解題中的應(yīng)用，展示了數(shù)學(xué)思維在解決物理問(wèn)題中的重要性.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)概念和性質(zhì)，并運(yùn)用三角函數(shù)的公式和定理，能夠幫助學(xué)生更好地理解和解決高中物理中涉及角度、周期、波動(dòng)等問(wèn)題.研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想與方法的靈活應(yīng)用不僅可以提高學(xué)生的理解能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問(wèn)題解決能力.

關(guān)鍵詞：高中物理；數(shù)學(xué)思想；三角函數(shù)

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0109-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：吳朝霞（1973.2—），女，江蘇省南通人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

高中物理作為一門重要的學(xué)科，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高，而數(shù)學(xué)作為物理學(xué)的重要工具，為高中物理解決問(wèn)題提供了思路和方法.其中，三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)中重要的分支之一，在高中物理中有著廣泛的應(yīng)用，由于三角函數(shù)涉及到角度、周期、波動(dòng)等概念，可以幫助解決物理中的運(yùn)動(dòng)、波動(dòng)、力學(xué)等問(wèn)題.因此，深入研究數(shù)學(xué)思想與方法在高中物理解題中的應(yīng)用具有重要的理論和實(shí)踐意義.

1 三角函數(shù)法解決物體動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

1.1 動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題解題思路

高中階段解決平衡問(wèn)題的基本思路是分析物體受力情況，結(jié)合平衡條件列出平衡方程，從函數(shù)解析角度對(duì)物體的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)特定物理量的變化，物體整個(gè)狀態(tài)發(fā)生緩慢變化.在物體的動(dòng)態(tài)平衡條件下，教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)方程探究物體受力變化情況.

1.2 案例分析

例1 如圖1所示，輕繩兩端分別系在質(zhì)量為m的物體以及輕質(zhì)圓環(huán)上，當(dāng)圓環(huán)被套在粗糙水平桿MN上時(shí)，給予相應(yīng)的拉力F，從而拉動(dòng)輕繩的末端節(jié)點(diǎn)，能夠使物體達(dá)到圖1中的某一位置.現(xiàn)改變水平力F的大小，在圓環(huán)位置一定的情況下，使連接物體的輕繩下降到圖中的虛線位置.在物體緩慢運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于水平拉力F、圓環(huán)和粗糙水平桿之間的摩擦力F摩、圓環(huán)對(duì)粗糙水平桿的壓力FN的變化情況，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（" ）.

A.拉力F逐漸增大，F(xiàn)摩保持不變，F(xiàn)N逐漸增大

B.拉力F逐漸增大，F(xiàn)摩逐漸增大，F(xiàn)N保持不變

C.拉力F逐漸減小，F(xiàn)摩逐漸增大，F(xiàn)N逐漸減小

D.拉力F逐漸減小，F(xiàn)摩逐漸減小，F(xiàn)N保持不變

解析 本道例題為高中物理中典型的力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，可以利用力的合成思想進(jìn)行求解.利用數(shù)學(xué)中的三角形函數(shù)知識(shí)對(duì)本道題目進(jìn)行解析時(shí)^[1]，以重物及結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，分析受力情況，受重力G、水平力F和繩子的拉力T三個(gè)力作用，如圖2所示.由平衡條件得F=Gtanθ，當(dāng)θ減小時(shí)，F(xiàn)逐漸減小；再以M、m兩物體組成的整體為研究對(duì)象，

受重力G總、水平力F、桿的摩擦力F摩和支持力FN四個(gè)力作用，如圖3所示，由平衡條件得FN=G總，F(xiàn)摩=F，支持力FN保持不變，摩擦力F摩逐漸減小，所以D選項(xiàng)正確.

2 三角函數(shù)法解決物理最值問(wèn)題

2.1 極值問(wèn)題解題思路

求解物理習(xí)題中的極值問(wèn)題時(shí)，通過(guò)分析物理過(guò)程和狀態(tài)，依據(jù)物理規(guī)律建立所求因變量和物理過(guò)程中的自變量之間的三角函數(shù)關(guān)系，隨后將不同角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成同一角的三角函數(shù)方程后，利用三角函數(shù)公式即可求解.

2.2 案例分析

例2 如圖4所示，某一質(zhì)點(diǎn)從傾斜角為α的斜面上方P點(diǎn)開(kāi)始，沿一光滑的斜槽PA由靜止下滑到斜面上，而想要使其滑行的時(shí)間最短，那么對(duì)應(yīng)的PA與豎直方向上PB的夾角β為多大？

解析 物體在光滑斜槽PA上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，斜槽PA的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，P點(diǎn)到斜面的豎直距離為h，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度a=gsin（90°-β）.

根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

L=12gsin（90°-β） t2①

根據(jù)正弦定理得

hsin（90°-β+a）=Lsin（90°-a）②

聯(lián)立解得

12g t2=hcosacos（β-a）cosβ③

利用三角函數(shù)積化和差公式得

12gt2=hcosacos（2β-a）/2+

cosa/2 ④

根據(jù)題意可知，在a一定時(shí)，要使時(shí)間t最小，則需要cos（2β-a）最大即可.根據(jù)三角函數(shù)可得知，當(dāng)2β-a=0時(shí)，cos（2β-a）=1，因此斜槽PA與豎直方向上PB的夾角β=12a時(shí)，滑行的時(shí)間t為最小值^[2].在本道題目中，利用三角函數(shù)的性質(zhì)、正弦定理、三角函數(shù)積化和差方式，可以達(dá)到解題的最終目的.

3 三角函數(shù)法解決磁場(chǎng)問(wèn)題3.1 磁場(chǎng)問(wèn)題解題思路

在電磁學(xué)中，常常需要描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向和大小，極坐標(biāo)是一種常用的表示方法，其中角度用三角函數(shù)來(lái)表示，從而方便計(jì)算和分析.

3.2 案例分析

例3 如圖5所示，直角三角形ΔABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，BC=L，在三角形內(nèi)部存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在三角形的BC邊中點(diǎn)處有一粒子源，該粒子源可以均勻向三角形內(nèi)的所有方向發(fā)射出大量速率相同的高速粒子，這些高速粒子所帶的電荷量為+q，質(zhì)量為m，如果有一粒帶電粒子恰好從C點(diǎn)沿著三角形AC邊的方向射出，求解從AB射出的粒子占所有粒子的百分比^[3].

解析 粒子恰好從C點(diǎn)沿著AC的方向射出時(shí)，對(duì)應(yīng)的S處在BC的中點(diǎn)位置，由幾何關(guān)系可知R=L4.當(dāng)粒子發(fā)射速度方向與SB間的夾角為θ時(shí)，粒子恰好與三角形AB邊相切，其運(yùn)動(dòng)軌跡為圓心O，如圖6所示.根據(jù)幾何知識(shí)求得Rcosθ+R/cos30°L/2+Rsinθ=tan30°，解得θ=60°.由此可以得出粒子發(fā)射速度方向與SB間的夾角范圍為0～60°時(shí)，粒子從AB射出.所以，從三角形AB邊射出的粒子占所有粒子的百分比為η=60°180°×100%≈33.3%.

4 三角函數(shù)法解決直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

4.1 直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題解題思路

將三角函數(shù)應(yīng)用于高中物理解決直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，首先對(duì)物體的受力情況進(jìn)行分析，然后需要根據(jù)三角函數(shù)的正弦、余弦、正切、余切公式理清題目的基本思路，借助三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題.

4.2 案例分析

例4 一質(zhì)量為m的物體放在粗糙水平面上，當(dāng)物體受到與水平方向夾角為α的斜向上拉力F時(shí)，向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g.求物體m與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ^[4].

解析 對(duì)物體的受力進(jìn)行分析，建立直角坐標(biāo)系，對(duì)物體受到的力F進(jìn)行分解，如圖7所示.根據(jù)平衡條件得：

FX合=F1-Ff=0，

Fy合=FN+F2-mg=0.

因?yàn)镕f=μFN，

F1=Fcosa ，F(xiàn)2=Fsina，所以μ=Fcosamg-Fsina.

解答勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)涉及正交分解，使用三角函數(shù)的正弦、余弦、正切等公式，學(xué)生往往會(huì)混淆正弦與余弦公式，因此在解題前，必須熟悉三角函數(shù)公式.借助三角函數(shù)知識(shí)解答大部分的力學(xué)知識(shí)題目時(shí)，只要學(xué)生思路清晰，對(duì)物體進(jìn)行正確的受力分析，并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，結(jié)合平衡條件或牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程，就能順利完成解答.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文的探究分析可以看出，數(shù)學(xué)思想與方法在高中物理解題中具有不可替代的作用.在高中物理解題時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)三角函數(shù)等知識(shí)，不僅有助于學(xué)生鞏固和提高物理和數(shù)學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問(wèn)題解決能力.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)具有積極的促進(jìn)作用，能使高中物理教學(xué)取得更好的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］徐德云.從核心素養(yǎng)的視角再談高中數(shù)學(xué)建模：以“三角函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)片段為例[J].數(shù)理化解題研究，2023（09）：2-4.

[2] 金曉暉.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐：以“生活中的三角函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（02）：11-15.

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［責(zé)任編輯：李 璟］