應用于學生思維能力提升中的“解”與“變”

摘要：隨著新課改的逐步推進，數學教學如何改革和創新成為數學教師研究的重點問題。在多年的數學教學中筆者發現，一題多解與一題多變是數學教學中有效的教學途徑之一。本文分析了一題多解與一題多變在數學教學中的重要性，并詳細闡述了它在培養學生思維能力的數學教學中的應用。

關鍵詞：思維能力一題多解一題多變

隨著當下對教育質量要求的不斷提高，在教學過程中，一題多解與一題多變的學習方法具有深刻的意義。在數學教學過程中，一題多解和一題多變之間相輔相成，相互配合，教師通過應用一題多解與一題多變，引導學生對一道題目不同求解方法進行探索以及對同一類型問題進行分析，將所學知識活學活用到所求解的問題中，不斷探索新的思路，并尋找到最佳策略，培養學生的思維能力，讓學生在遇到問題時能夠隨機應變，避免思維定式的負面影響，提高學生的學習效果和興趣，并使學生對所學知識融會貫通，進而提高學生解決和分析問題的能力，進行有效學習，避免學生在學習中出現無用功情況，提高學生的數學涵養。本文在闡述一題多解與一題多變的定義與價值基礎上，從多個方向和角度詳細闡述了一題多解與一題多變在培養思維能力方面的應用，并加以例題進行了分析。

一、一題多解培養學生思維能力的應用

（一）培養發散思維，增強思維的靈活性

一題多解的教學方法可以培養學生思維的廣闊性、靈活性和發散思維，使學生開闊思路，活化思維，將所學的知識和方法融會貫通，在數學教學中適當地應用該方法可以提高教學質量。

比如題目“已知Sn為等比數列an的前n項和，S3，S6，S9成等差數列，求證a2，a5，a8成等差數列”的解題要點是能夠靈活利用相關公式解決問題，我們知道此題可利用公式Sn=a11-qn1-q、Sn=a1-anq1-q及S2n=Sn1+qn，S3n=Sn1+qn+q2n，因此合理選擇公式是解題的關鍵。教學時教師不應該直接明了地告訴學生結論，而是設法對學生進行啟發，讓學生自己去探索和發現真諦，對問題進行分析和思考，搞清楚每一種解法的思考方向和所要應用的知識點，讓學生能夠知道結論的同時，還能夠知道結論的推導。教師在教學中，應引導學生利用相關理論知識，聯系所學內容，應用多種方法去證明，這樣既能讓學生理解證明的過程，對公式有深刻的印象，又能讓學生學習到有用的解題思路和方法，不局限于用一種方法解決問題，從而達到培養學生的發散思維，訓練學生思維的靈活性的目的。

（二）培養創新性思維，增強創新意識

素質教育要求注重學生創新性思維的培養，要讓學生形成自主的創新意識，在數學教學中，通過一題多變教學方法培養學生的創新意識，是一個常用的途徑。

比如在解決題目“已知向量OA=k，2，OB=-2，3，OC=3k，-4，且A，B，C三點共線，求k的值”中，應用距離公式是常規方法，也是比較容易想到的方法，運用共線向量法需要將三點共線問題轉化為共線向量問題，而斜率法是比較好的解決問題的方法。但是這三種方法的運用需要學生具有一定的知識結構，能夠靈活地應用知識，而且要有良好的創新性思維和發散性思維，不局限在一種思維方式中，敢于跳出舒適區，去探索未知的領域。因此在教學中，教師應適當地應用一題多解的教學方式，讓學生更新知識系統，掌握更多的方法和技能，進而培養學生的創新性思維。

（三）培養邏輯思維能力，提高解決問題的能力

邏輯思維是人們在長期的實踐中利用概念、推論、判斷等方式反映認識事物本質和規律的過程。教師在教學中利用題目訓練引導學生調動邏輯思維，對所學知識進行框架性的總結，并厘清其中的邏輯關系，從而達到訓練學生推理演繹能力的目的。

例1已知sinα+cosα=-15，且π2≤α≤π，求tanα-π4。

方法一（解方程組法）：由sinα+cosα=-15以及sin2α+cos2α=1，

解得sinα，從而求出cosα，tanα。

tanα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4=tanα-11+tanα=-34-11+-34=-7。

方法二（整體代入法）：先化切為弦，分別求出sinα+cosα=-15，

sinα-cosα=75，

故原式=sinα-cosαsinα+cosα=-7。

這兩種解法從簡單到復雜，都需要對基本公式和基本知識有深刻的把握，需要利用邏輯思維銜接上下步，理解解題步驟之間的關聯。因此教師在教學中要讓學生學習好基本理論知識，打好基礎，夯實基本功，并且培養學生的觀察能力，適當引導學生探究，啟發他們有邏輯地思考，加深學生對知識理論原理的把握，并在解題時保證能夠利用簡單方法解決問題的同時，推陳出新，尋找更多其他的實用解法，進而鍛煉他們的解題能力。

（四）避免思維定式，進行有意義的學習

思維定式是指在思考某一件事時，人們總會受到先前對事物已有的認知的干預，從而影響自身判斷的一種心理狀態，是人們的一種固定的思維活動方式。心理學研究表明，人們受到的思維定式的影響中，總伴隨著負面的影響，因此在教學過程中，要正確認識思維定式的影響，對于具有消極作用的思維定式需要盡量去避免，加強求異思維的訓練，而教學中應用一題多解的方式是一種避免思維定式負面影響的較好的教學方式，并且能夠幫助學生進行有意義的學習。

例2設函數fx=ex2x-1-ax+aalt;1，若整數x0存在且唯一，并使fxlt;0，求a的取值范圍。

方法一：把x放兩邊ex02x0-1lt;ax0-a，設gx=ex2x-1，hx=ax-a，運用數形結合思想解決問題。

方法二：通過參變分離的辦法分三種情況討論。

①當x=1時，不成立;

②當xgt;1時，agt;ex2x-1x-1，令gx=ex2x-1x-1，當x∈1，32時，gx是減函數；當x∈32，+∞時，gx是增函數，所以gxmin=g32=4e32，即agt;4e32，與題目alt;1矛盾，舍去；

③當xlt;1時，agt;ex2x-1x-1，令g（x）=ex2x-1x-1，同理可得，當x∈-∞，0時，gx是增函數；當x∈0，1時，gx是減函數。所以gxmax=g0=1，即alt;1，滿足題意。又整數x0存在且唯一，所以a≥g-1=32e，所以32e≤alt;1。

綜上所述，a的取值范圍為32e≤alt;1。

上述題目每種解題方法雖然都用到了函數的單調性，但是采用的角度卻不同。在教學過程中，教師通過不斷加強習題的訓練，有意識地引導學生在對同類型的問題進行分析時，養成主動探索，從根本上了解和解決問題的習慣，讓學生擺脫傳統的教學形式的禁錮，發散和活躍思維，這樣不僅達到了提高學生解題能力的目的，還能幫助學生擺脫思維定式的消極的影響，進行有意義的學習。

二、一題多變培養學生思維能力的作用

（一）組織變式訓練，提高應變能力

受當前教育氛圍的影響，數學教學逐漸變得無趣、沉悶和僵化，弱化了數學教學真正的意義，并使學生失去了學習興趣。而一題多變能夠通過引導學生主動參與到數學教學的活動中，活躍課堂氣氛，讓學生在愉悅的教學環境下學習，進而改善教學中課堂沉悶無趣、教師“獨角戲”的現狀。

例3已知P是雙曲線C上的點，F1，F2是C的焦點，且有∠F1PF2=60°，PF1=3PF2，求C的離心率。

變式一：已知雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左右焦點F1，F2，過F2的直線交該雙曲線的右支于A、B兩點，若AF2=3F2B，AF1=AB，求C的離心率。

變式二：設F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左焦點，O為坐標原點，現有一圓，圓心為F，半徑為FO，并且與C交于A、B兩點，若cos∠OFA=59，求C的離心率。

變式題其實就是原題的一個意思的另一種表達方式，有部分學生只能理解題目的表面信息，卻很難理解其真正含義，不知從何處著手解決問題，究其原因，是缺乏一種變式的思想。在教學過程中，學生遇到在課堂中見過的題型還是不會做時，教師應該有意識地引導學生將變式題與原題進行對比，啟發他們尋找變式題與原題之間的區別和聯系，并探究其中的解題思路和技巧，從而提高學生的應變能力以及分析解決問題的能力。

（二）培養發散思維，提升思維的靈活性

解決問題時，分析觀察問題，快速抓取問題的核心，靈活地探索思考，是迅速尋找出解決問題方法的關鍵，恰當使用一題多變的教學方法有利于幫助學生拓展知識，讓學生用發散的思維來認識事物，并啟發學生多采用逆向思維來思考問題，訓練學生思維的靈活性。

例4若α∈0，π2，tan2α=cosα2-sinα，求tanα。

變式一：已知α∈0，π2，sinα-cosα=2，求tanα。

變式二：已知sinα=-35，求1-tanα21+tanα2。

變式三：已知tan2α-4tanα+1=0，求cos2α+π4。

上述題目與題目的變式，主要是根據同角三角函數的基本關系來引申，從而形成了一系列的變式題，雖然都是相似的題目，但所要考慮的內容和采用的解法卻大不相同。因此相同的問題在不同的條件下，會有不同的解題方法和結論。在教學過程中，教師應通過變換題目來訓練學生分析問題的能力，使學生能夠在解決問題時靈活應用知識，解題時知其一更知其二，能夠舉一反三。

（三）培養邏輯思維能力，提高解決問題的能力

在教學過程中，教師不能就題論題，而是應該從題目本身出發，適當變換題目，引導學生延伸思路，喚起學生的探究欲，讓學生自己探索，總結題目的規律，進而提高學生分析問題的能力。

例5設an是等比數列，且有a1=1，數列bn滿足b3=na33，已知a1，3a2，9a3成等差數列。

（1）求an和bn的通項公式。

（2）記Sn和Tn分別是an和bn的前n項和。證明：Tnlt;Sn2。

變式一：已知數列an滿足a1=1，an+1=3an+1。

（1）證明an+12是等比數列，并求an的通項公式。

（2）證明：1a1+1a2+…+1anlt;32。

變式二：記Sn為等差數列an的前n項和，已知a1=-7，S1=-15。

（1）求an的通項公式。

（2）求Sn，并求Sn的最小值。

變式三：記Sn為等差數列an的前n項和，已知S9=-a5。

（1）若a3=4，求an的通項公式。

（2）若a1gt;0，求使得Sn≥an的n取值范圍。

教師一步一步將題目從簡單變復雜，使問題之間不再相互孤立，這樣的練習，可以讓學生在遇到不同的變式題型時能夠積極調動自己的邏輯思維去解決問題，碰到相似的題目時不再不知所措，寸步難行，而是能夠游刃有余，甚至能夠舉一反三，從而培養了學生的邏輯思維能力，使其形成自主的邏輯意識。

適當且正確地應用一題多解和一題多變的方法不僅能夠讓學生鞏固課堂內容，并且能夠讓學生掌握具體的方法和技能，達到打下扎實的基礎的目的，還能幫助學生深入理解問題的本質及其結構特征，了解問題的不同的與相同之處，進而解決問題，讓學生利用更廣泛的知識、方法以及技巧解決問題，防止學生形成思維定式和思維僵化，減輕學生的學習負擔。

任何實用的方法都只是起到輔助的作用，雖然一題多解與一題多變的應用能夠提高學習效率，培養學生的思維能力，但是教師在教學過程中要量力而行，實事求是，聯系學生的實際情況進行教學，對于學習能力較強的學生，教師可以鼓勵學生探索，以幫助他們建立自信心，形成主動思考和探索的習慣。但對于學習能力不強、基礎較差的學生，應以簡單易懂為主，不能一味地追求“一題多解”和“一題多變”，否則可能適得其反。

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