初中數(shù)學(xué)方程無解的類型及應(yīng)用

［摘 要］文章結(jié)合具體實例，探討初中數(shù)學(xué)方程無解的類型及應(yīng)用，以幫助學(xué)生更好地認識方程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］方程；無解；應(yīng)用；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0031-03

方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，也是解決實際問題的重要模型。本文結(jié)合具體實例，探究初中數(shù)學(xué)方程無解的不同情形，以幫助學(xué)生從另一角度認識方程、了解方程，從而更好地應(yīng)用方程。

一、方程無解的類型

（一）一元一次方程無解

[ax=b]是一元一次方程的最簡式，解該含參一元一次方程需分類討論，即當(dāng)[a≠0]時，方程有唯一解；當(dāng)[a=b=0]時，方程有無窮解；當(dāng)[a=0]，[b≠0]時，方程無解。

1.原方程本身無解

［例1］解方程：[2x-12=5x+25-1]。

解析：去分母，得[5（2x-1）=2（5x+2）-10]，去括號，得：[10x-5=10x+4-10]，移項，得：[10x-10x=4+5-10]，合并同類項，得：[0x=-1]，由乘法的意義可知，0與任何數(shù)的乘積都是0，所以原方程無解。

2.原方程有解但不符合題意

［例2］2024年1月日歷排列如圖所示，用“X”形的方式任意框五個數(shù)。

（1）若框住的5個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為10，則這5個數(shù)的和為" " " " " " " "；

（2）用式子表示“X”形框內(nèi)五個數(shù)的和；

（3）“X”形框能否框住這樣的5個數(shù)，使得它們的和等于120？若能，求出正中間的數(shù)；若不能，請說明理由。

解析：（1）[10+2+4+16+18=50]，故答案為50；（2）設(shè)正中間的數(shù)為[x（9≤x≤23]，且[x≠14]，15，21，22），則[x+（x-8）+（x-6）+（x+6）+（x+8）=5x]，所以“X”形框內(nèi)五個數(shù)的和為[5x]，即正中間數(shù)的5倍；（3）“X”形框不能框住這樣的5個數(shù)，使得它們的和等于120。理由：設(shè)正中間的數(shù)為[x]，則[5x=120]，解得[x=24]，因為[x+8=32gt;31]，不合題意，所以“X”形框不能框住這樣的5個數(shù)，使得它們的和等于120。

（二）二元一次方程組無解

對于一般的二元一次方程組[b1x+a1y=c1，b2x+a2y=c2，]可將兩個二元一次方程都化成一次函數(shù)的解析式，即[y=-b1a1x+c1a1，y=-b2a2x+c2a2。]當(dāng)[-b1a1=-b2a2]且[c1a1≠c2a2]，即[a1a2=b1b2≠c1c2]時，對應(yīng)的兩直線平行，二元一次方程組無解。

［例3］解方程組：[x3-y+12=1，2x-（3y-5）=8。]

解析：由第一個方程得：[y=23x-3]；由第二個方程得：[y=23x-1]，因為這兩個一次函數(shù)的[k]值相同，[b]值不同，所以對應(yīng)的兩條直線平行，沒有交點，即原方程組無解。

（三）一元二次方程無解

解一元二次方程時，先要將其化為一般形式[ax2+bx+c=0]（[a≠0]），然后通過[Δ=b2-4ac]的值判斷解的情況。當(dāng)[b2-4aclt;0]時，一元二次方程無解。也可以畫出二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象，當(dāng)拋物線與[x]軸無交點時，其對應(yīng)的一元二次方程[ax+bx+c=0]無解。

1.原方程本身無解

［例4］解方程：[3x2-5x+8=0]。

解析：∵[a=3]，[b=-5]，[c=8]，∴[Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×8=-71lt;0]，∴方程沒有實數(shù)根。

2.原方程有解但不符合題意

［例5］某商場雅戈爾襯衫平均每天可售出30件，每件襯衫可以盈利50元，為了進一步減少庫存，商場決定開展一定的促銷活動。通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元銷售，商場平均每天可以多售出2件。（1）設(shè)每件襯衫降價[x]元，則商場日銷售量增加" " " " " " "件，每件襯衫盈利" " " " " " "元（用含[x]的代數(shù)式表示）；（2）在上述銷售正常情況下，每件襯衫降價多少元時，商場日盈利可達到2000元（降價應(yīng)小于銷售量為30件時盈利的20%）？

解析：（1）因為每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，所以當(dāng)每件襯衫降價[x]元，則商場日銷售量增加[2x]件，每件襯衫盈利（[50-x]）元。

（2）根據(jù)題意，得：[（50-x）（30+2x）=2000]，整理，得：[x2-35x+250=0]，解得[x1=10]，[x2=25]，因為降價應(yīng)小于銷售量為30件時盈利的20%，所以[x]應(yīng)小于10，所以沒有符合題意的降價。

（四）分式方程無解

分式方程無解一般有兩種情形，一是去分母后化成的整式方程有解，但這個解使原分式方程的最簡公分母為0，即出現(xiàn)增根，原分式方程無解；二是分式方程去分母后化成的整式方程無解，使原分式方程無解。

1.分式方程出現(xiàn)增根

［例6］解方程：[5x-4x-2=4x+103x-6-1]。

解析：等式左右兩邊同乘[3（x-2）]，得：[3（5x-4）=4x+10-3（x-2）]，去括號，得：[15x-12=4x+10-3x+6]，移項合并同類項，得：[14x=28]，解得：[x=2]，檢驗：當(dāng)[x=2]時[x-2=0]，所以原分式方程無解。

2.化成的整式方程無解

［例7］解方程：[1-xx+2=3-2x2+x+1]。

解析：等式左右兩邊同乘[x+2]，得：[1-x＝3-2x+x+2]，移項，得：[-x+2x-x＝-1+3+2]，合并同類項，得：[0x=4]，此整式方程無解，所以原分式方程無解。

3.化成的一元二次方程無解

［例8］解方程：[2xx-2+8x2-2x=1]。

解析：等式左右兩邊同乘[x（x-2）]，得：[2x2+8=x（x-2）]，整理，得[x2+2x+8=0]，因為[Δ=22-4×8=-28lt;0]，此一元二次方程無實數(shù)根，所以原分式方程無解。

二、方程無解的應(yīng)用

（一）由一元一次方程無解確定參數(shù)關(guān)系式

［例9］解一元一次方程一般是先將一元一次方程整理為[ax=b]的形式（[a]，[b]為常數(shù)），再利用等式的基本性質(zhì)2，將未知數(shù)的系數(shù)化為1。若關(guān)于[x]的一元一次方程[ax-42=13-bx]無解，求[a]和[b]關(guān)系。

解析：[ax-42=13-bx]，去分母，得：[3（ax-4）=2-6bx]，移項合并同類項，得：[3（a+2b）x=14]。因為原方程無解，所以[a+2b=0]。

評注：如果一元一次方程[ax=b]無解，那么[a=0]，[b≠0]，反過來也成立。由[a=0]可以求參數(shù)的值，也可以確定參數(shù)的關(guān)系式。

拓展：已知關(guān)于[x]的方程[（m+3）xm-2+6n=0]為一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于[x]的方程[2x+15]-1=[x+n2]的解相同。（1）求[m]，[n]的值；（2）在（1）的條件下，若關(guān)于[y]的方程[ay+a=m+1-2ny]無解，求[a]的值。

解析：（1）∵關(guān)于[x]的方程[（m+3）xm-2+6n=0]是一元一次方程，∴[m-2=1]，[m+3≠0]，解得：[m=3]，當(dāng)[m=3]時，方程為：[6x+6n=0]，解得：[x=-n]。將[2x+15-1=x+n2]去分母，得：[2（2x+1）-10=5（x+n）]，去括號得：[4x+2-10=5x+5n]，移項得：[4x-5x=5n+10-2]，合并同類項得：[-x=5n+8]，解得：[x=-5n-8]，∴[-5n-8=-n]，∴[n=-2]。（2）把[m=3]，[n=-2]代入[ay+a=m+1-2ny]，得：[ay+a=4+4y]，∵[y]的方程[ay+a=4+4y]無解，∴[a-4=04-a≠0]，∴[a=-4]。

（二）由二元一次方程組無解求參數(shù)的值

［例10］當(dāng)[k]為何值時，二元一次方程組[kx+2y=2，3x-5y=2]無解？

解析：[kx+2y=2]可化為[y=-k2x+1]，[3x-5y=2]可化為[y=35x-25]。∵二元一次方程組[kx+2y=2，3x-5y=2]無解，∴[2-5=k3≠]1，解得：[k=-65]。故當(dāng)[k=-65]時，二元一次方程組[kx+2y=2，3x-5y=2]無解。

評注：如果二元一次方程組[b1x+a1y=c1，b2x+a2y=c2]無解，那么[a1a2=b1b2≠c1c2]。據(jù)此可以求得參數(shù)的值。

拓展：已知關(guān)于[x]，[y]的方程組[y=kx+b，y=（3k-1）x+2。]（1）當(dāng)[k]，[b]為何值時，方程組有唯一一組解？（2）當(dāng)[k]，[b]為何值時，方程組有無數(shù)組解？（3）當(dāng)[k]，[b]為何值時，方程組無解？

解析：（1）當(dāng)[k≠3k-1]，即[k≠12]時，直線[y=kx+b]與直線[y=（3k-1）x+2]只有一個交點，所以當(dāng)[k≠12]，[b]為任意數(shù)時，方程組有唯一一組解；（2）當(dāng)[k=3k-1]，[b=2]，即[k=12]，[b=2]時，直線[y=kx+b]與[y=（3k-1）x+2]重合，所以[k=12]，[b=2]時，方程組有無數(shù)組解；（3）當(dāng)[k=3k-1]，[b≠2]，即[k=12]，[b≠2]時，直線[y=kx+b]與直線[y=（3k-1）x+2]沒有交點，所以[k=12]，[b≠2]時，方程組無解。

（三）由一元二次方程無解求參數(shù)的值

［例11］當(dāng)[m]為何值時，一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]沒有實數(shù)根。

解析：因為一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]沒有實數(shù)根，所以判別式[Δ=b2-4ac=2（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8lt;0]，解得：[mgt;1]，所以當(dāng)[mgt;1]時，一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]沒有實數(shù)根。

評注：此題考查了一元二次方程[ax2+bx+c=0]根的判別式。若根的判別式的值大于0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若根的判別式的值小于0，則方程沒有實數(shù)根；若根的判別式的值等于0，則方程有兩個相等的實數(shù)根。據(jù)此可以求得參數(shù)的值。

拓展：已知方程①：[1+k2x2+（k+2）x-1=0]和方程②：[x2+（2k+1）x-2k-3=0]。（1）若方程①和②中只有一個方程有實數(shù)根，請說明此時哪個方程沒有實數(shù)根，并化簡[1-4k+12（k+4）2]。（2）若方程①和②有一個公共根[a]，求代數(shù)式[（a2+4a-2）k+3a2+5a]的值。

解析：（1）方程①[1+k2x2+（k+2）x-1=0]中的[Δ1=（k+2）2-41+k2×（-1）=k2+6k+8]，方程②[x2+（2k+1）x-2k-3=0]的[Δ2=（2k+1）2+4（2k+3）]，∵[Δ2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4gt;0]，∴無論[k]為何值，方程②總有實數(shù)根，∵方程①和②只有一個方程有實數(shù)根，∴此時方程①沒有實數(shù)根，∴[k2+6k+8lt;0]，即[（k+2）（k+4）lt;0]，∵[1-4k+12（k+4）2=（k+4）2-（4k+12）（k+4）2=（k+2）2（k+4）2=k+2k+42=k+2k+4]，∵[（k+2）（k+4）lt;0]，∴[1-4k+12（k+4）2=k+2k+4=-k+2k+4]。（2）∵[a]是方程①[1+k2x2+（k+2）x-1=0]和方程②[x2+（2k+1）x-2k-3=0]的公共根，∴記[1+k2a2+（k+2）a-1=0]③，[a2+（2k+1）a-2k-3=0] ④，由[（③-④）×2]得：[ka2=2（k-1）a-4k-4]⑤，由④得：[a2=-（2k+1）a+2k+3]⑥，將⑤⑥代入[（a2+4a-2）k+3a2+5a]得：[ka2+4ak-2k+3a2+5a=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a=5]。

（四）由分式方程無解求參數(shù)的值

［例12］已知關(guān)于[x]的分式方程[2x-2+mxx2-4=3x+2]。若該分式方程無解，試求[m]的值。

解析：方程兩邊同乘[（x+2）（x-2）]，得：[2（x+2）+mx=3（x-2）]①，整理得：[（m-1）x=-10]②，原分式方程無解有三種情況：（1）當(dāng)[x-2=0]，即[x=2]時，分式方程無解，把[x=2]代入②，得[（m-1）×2=-10=0]，解得：[m=-4]；（2）當(dāng)[x+2=0]，即[x=-2]時，分式方程無解，把[x=-2]代入②，得[（m-1）×（-2）=-10]，解得：[m=6]；（3）在[（m-1）x=-10]中，當(dāng)[m-1=0]，即[m=1]時，分式方程無解。所以該分式方程無解時，[m]的值是[-4]或6或1。

評注：分式方程無解一般包括兩種情況，一是求出的解是方程的增根，也就是使最簡公分母為0的[x]的值；二是去分母后所化成的整式方程無解。據(jù)此可以求得參數(shù)的值。

拓展：已知關(guān)于[x]的分式方程[mx+1-2m-x-1x2+x=0]無解，求[m]的值。

解析：方程左右兩邊同乘[x（x+1）]，去分母，得：[mx-2m+x+1=0]。原分式方程無解分為兩種情況：（1）分式方程有增根，得[x=0]或[x=-1]，將[x=0]和[x=-1]分別代入所化成的整式方程，得：[m=12]或[m=0]；（2）分式方程去分母后所化成的整式方程[mx-2m+x+1=0]無解，即[（m+1）x=2m-1]中[m+1=0]且[2m-1≠0]，∴[m=-1]。綜上，當(dāng)原分式方程無解時，[m=12]或[m=0]或[m=-1]。

綜上可知，方程無解的應(yīng)用較為廣泛，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生討論方程解的情況是鞏固方程應(yīng)用的有效途徑，它能使學(xué)生更好地認識方程、了解方程和應(yīng)用方程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯 梁桂廣）