數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透

摘 要：數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透意義深遠(yuǎn).據(jù)此，本文重點(diǎn)探討如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中高效滲透數(shù)學(xué)思想.華羅庚曾說過，數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操.所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以磨煉意志，提升綜合能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；高中；數(shù)學(xué)；滲透方法

中圖分類號：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）24-0046-04

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：李云章（1981.6—），男，廣東省信宜人，本科，一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2023年廣東省中山市教育科研青年項(xiàng)目“數(shù)學(xué)文化融入高中課堂教學(xué)的有效途徑及意義”（編號：C2023144）.

數(shù)學(xué)思想如同明燈，照亮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路.數(shù)學(xué)思想的有效應(yīng)用可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握數(shù)學(xué)的概念和內(nèi)涵.所以，教學(xué)中教師需加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想滲透，幫助學(xué)生正確地理解數(shù)學(xué)并有效解決問題.

1 數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的意義

1.1 提升數(shù)學(xué)能力

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會接觸到諸如函數(shù)與方程、數(shù)列與不等式、立體幾何與解析幾何、建模思想等知識點(diǎn).這些知識背后，都蘊(yùn)含著豐富深刻的數(shù)學(xué)思想.以函數(shù)思想為例，它幫助學(xué)生從變化的角度看問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，更直觀、更準(zhǔn)確地找到問題的解決方案.此類思想不但能幫助學(xué)生拓展解題思路，還可以促使學(xué)生的抽象意識和數(shù)學(xué)理念得到進(jìn)步和發(fā)展.

1.2 培養(yǎng)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想于無形中培養(yǎng)著學(xué)生的思維品質(zhì).以函數(shù)為例，它不僅是數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)且核心的概念之一，更是訓(xùn)練邏輯思維和抽象思維的利器.在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，學(xué)生不僅要掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，更要在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)會將具體問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.

1.3 激發(fā)創(chuàng)新潛力

在現(xiàn)代社會中，創(chuàng)新能力成為衡量個人綜合素質(zhì)和競爭力的重要指標(biāo).數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心，不僅具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，還能夠激發(fā)人的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透數(shù)學(xué)思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，為其未來的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).教師通過引導(dǎo)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，幫助學(xué)生建立起一套完整的數(shù)學(xué)思維體系，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能.

1.4 奠基學(xué)術(shù)研究

高中數(shù)學(xué)作為連接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，其內(nèi)容和方法對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)術(shù)素養(yǎng)和研究能力具有關(guān)鍵作用.通過滲透數(shù)學(xué)思想，教師可以幫助學(xué)生建立起扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為他們在未來的學(xué)術(shù)研究中提供有力的支撐.數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)不僅能夠幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，還能夠培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)美感，使他們在面對復(fù)雜的學(xué)術(shù)問題時能夠迅速找到切入點(diǎn)^［1］.

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的方法

2.1 分類討論——化繁為簡的智慧

面對復(fù)雜多變的問題，人們往往可以通過分類討論，將其拆解成若干個子問題逐一解決，而這種思想在高中數(shù)學(xué)中有著大量的訓(xùn)練素材.如研究函數(shù)性質(zhì)時，將其分為單調(diào)函數(shù)、周期函數(shù)等不同類型，再針對不同類型的特點(diǎn)進(jìn)行分析討論，從而理解概念并找到解題的突破口.如在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中對焦點(diǎn)位置的討論和集合是否包含空集的討論等，通過這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅能夠掌握具體的知識，更能學(xué)會如何運(yùn)用分類討論的思想，將復(fù)雜問題變得更加簡單，實(shí)現(xiàn)化整為零、逐一攻克的效果.

2.2 對比分析——尋找異同的慧眼

對比分析是一種通過比較不同對象之間的差異和聯(lián)系，揭示事物本質(zhì)的方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師落實(shí)對比分析可以促使學(xué)生全面理解數(shù)學(xué)概念和原理.例如，在學(xué)習(xí)向量時，教師可以通過對比分析，讓學(xué)生明確向量與數(shù)量、向量與有向線段在性質(zhì)、運(yùn)算等方面的異同，理清新舊知識間的聯(lián)系，在舊知識的基礎(chǔ)上掌握新知識，從而深入理解向量的概念和應(yīng)用.學(xué)生通過對比分析增強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的理解記憶，培養(yǎng)尋找異同、揭示本質(zhì)的能力.

2.3 數(shù)形結(jié)合——數(shù)形的和諧共舞

數(shù)形結(jié)合是一種將數(shù)量與圖形緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，它可以將抽象的基礎(chǔ)概念和原理以圖形方式呈現(xiàn)出來，促進(jìn)知識的有效掌握.數(shù)形結(jié)合主要是利用“數(shù)”來表現(xiàn)“形”的特征和利用“形”來表現(xiàn)“數(shù)”的聯(lián)系，學(xué)生可以通過數(shù)形結(jié)合更好地理解問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵.例如，在解析幾何中通過數(shù)形結(jié)合的思想，將幾何圖形與代數(shù)表達(dá)式相結(jié)合，從而更加直觀地理解幾何性質(zhì)和代數(shù)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合不僅使數(shù)學(xué)變得更加直觀易懂，更能將幾何與代數(shù)這兩個貌似不相關(guān)的事物連成和諧共生的一個整體.

3 高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何滲透數(shù)學(xué)思想

3.1 在概念中探尋數(shù)學(xué)思想的脈絡(luò)

教師在講授新知識前，首要任務(wù)便是引導(dǎo)學(xué)生深入理解這些概念，以及它們背后的形成過程.而數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)語言的基石，更是邏輯思維和數(shù)學(xué)推理的起點(diǎn)，它們的形成往往經(jīng)歷了漫長的歷史沉淀和無數(shù)數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶.因此，教師在講授概念時，不僅要闡述其定義和性質(zhì)，更要揭示其背后的數(shù)學(xué)思想和方法.以“一元二次函數(shù)”為例，其概念表達(dá)式較為簡潔，但背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想?yún)s十分豐富.所以，當(dāng)教師在講授一元二次函數(shù)的表達(dá)式時，不能單純地停留在表面形式上，還需深入挖掘其概念和公式背后的數(shù)學(xué)思想.如一元二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）中a，b，c的意義和作用，三個系數(shù)就決定了一元二次函數(shù)的位置和形狀.除了這些基本的性質(zhì)，它還有一個重要的特性——軸對稱性，就此例而言它的對稱軸是x=-b/2a，其性質(zhì)不僅是一元二次函數(shù)的重要特征，也是解決一元二次函數(shù)問題的一個關(guān)鍵工具.通過這一性質(zhì)，學(xué)生結(jié)合其開口方向可以輕松找到函數(shù)的最大值或最小值，也可以快速判斷函數(shù)與x軸的交點(diǎn)情況，從而為后面的學(xué)習(xí)作鋪墊.在講授這些知識點(diǎn)時，教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生理解和把握這些概念形成的具體過程，不僅要讓學(xué)生知道一元二次函數(shù)的表達(dá)式和性質(zhì)，更要讓他們明白這些性質(zhì)是如何得來的，在數(shù)學(xué)中有什么應(yīng)用^［2］.

3.2 在問題情景中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的碰撞

以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和生活情境為教學(xué)活動的增長點(diǎn)，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想并能主動應(yīng)用解決實(shí)際問題.如在《指數(shù)函數(shù)》章節(jié)中，以兔子的繁殖數(shù)量作為問題情景引入，學(xué)生更能理解指數(shù)爆炸的實(shí)際意義，同時對指數(shù)函數(shù)的增長趨勢等有了更深層次的理解.數(shù)學(xué)解題能力作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的核心技能，不僅關(guān)系到學(xué)業(yè)成績，更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想如邏輯思維和問題解決能力的關(guān)鍵.例如“求函數(shù)y=x²-4mx+4在區(qū)間［2，4］上的最大值和最小值”問題中，教師先引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析.隨著分析的深入，學(xué)生的認(rèn)知沖突會越來越激烈，會意識到其是一個開口向上的一元二次函數(shù)且對稱軸x=2m是一個不定值.教師可以趁機(jī)提問：“同學(xué)們，你們覺得這個函數(shù)在區(qū)間［2，4］上的最大值和最小值可能出現(xiàn)在哪里？”有的學(xué)生認(rèn)為最大值會出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)，有的則認(rèn)為會出現(xiàn)在對稱軸上，還有的提出了更加復(fù)雜的可能性，這個過程正是數(shù)學(xué)問題情景中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的碰撞.基于此，教師需引導(dǎo)學(xué)生一步步分析、一步步推理，最終得出答案.

3.3 在轉(zhuǎn)化中感悟數(shù)學(xué)思想的魅力

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想作為一種高效的解題策略，其本質(zhì)在于利用等價變換原理，將未知的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的、 簡單的形式^［3］.這一思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有廣泛的應(yīng)用，可以有效提高解題效率，而且在面對不同的問題時學(xué)生需要靈活運(yùn)用各種轉(zhuǎn)化方法，這種過程不僅能進(jìn)一步鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)技能，還可以持續(xù)拓寬學(xué)生的思維視野.比如這樣一道題：“滿射”是何物？它描述了一個集合中每個元素在另一集合中都有對應(yīng)的原像.想象有兩個集合，一個擁有6個元素，另一個則有5個.如何從6到5建立這千絲萬縷的聯(lián)系，確保每個元素都能找到它的歸宿？這不僅僅是數(shù)字的排列組合，更是對邏輯思維和想象力的挑戰(zhàn).許多同學(xué)初次面對此題，如同霧中的行者，不知所以然.但是這樣的疑惑和探索，教師只需利用轉(zhuǎn)化思想，實(shí)施題目轉(zhuǎn)變和演化，轉(zhuǎn)變描述方式：“假設(shè)我們有6個不同顏色的小球，現(xiàn)在要將這些球放置在5個顏色不同的紙箱之中，且所有箱子不能是空的，即每個小球都必須放入一個箱子中.那么，請問有多少種不同的投放方式？”讓原本抽象的題目變得生動而直觀.這個時候，學(xué)生可以通過想象小球和箱子的關(guān)系，更好地理解題目的含義.

3.4 在數(shù)形結(jié)合中領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的深度

數(shù)形結(jié)合作為一門跨學(xué)科的研究領(lǐng)域，旨在通過數(shù)學(xué)和形式思維的結(jié)合，探究事物內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律和形式美感.在這個領(lǐng)域里，我們不僅可以通過數(shù)學(xué)模型來解釋和分析形式感知，還可以通過形式感知來啟發(fā)并拓展數(shù)學(xué)思維.這種綜合性思維方式，讓我們在研究過程中頻繁地穿梭于數(shù)學(xué)與形式之間，從而進(jìn)一步領(lǐng)略到思想的深度^［4］.

例如問題：一元二次方程x²+2kx+3k=0在（-1，3）上存在兩個根，求k的取值范圍.從題目上分析其涉及了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的求解等多個知識點(diǎn)，如果我們能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為圖形問題，問題解決就會變得一目了然.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生動手畫圖找好關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果拋物線的對稱軸x=-k在-1和3之間，它的兩個根怎樣分布？對稱軸還可以擺在哪些位置？待有初步結(jié)論時教師再借助信息工具如GeoGebra進(jìn)行動態(tài)演示引導(dǎo)學(xué)生深入探究、討論、總結(jié)得出問題的解，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識從問題到本質(zhì)的飛躍.通過這個環(huán)節(jié)，學(xué)生不但可以掌握正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的方式，更重要的是，他們也深刻領(lǐng)悟到了從基本的數(shù)學(xué)問題如何延伸到數(shù)學(xué)思想的深度和廣度，所以數(shù)形結(jié)合是思維訓(xùn)練的最好例證.

4 結(jié)束語

學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上不僅僅是掌握數(shù)學(xué)知識來應(yīng)付考試，最主要的是要獲得數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)思想的支持下解決實(shí)際問題，同時也為其進(jìn)一步學(xué)習(xí)和生活提供數(shù)學(xué)思維方法.因此，高中數(shù)學(xué)教育應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和滲透，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 齊飛和.數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透策略研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（23）：44-46.

［2］ 高菱.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值滲透［J］.理科愛好者，2023（02）：58-60.

［3］ 葛永.數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透和實(shí)施策略［J］.數(shù)理化解題研究，2022（36）：11-13.

［4］ 梁宏暉.審美教育在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透的意義、困境及策略［J］.教師，2022（23）：33-35.

［責(zé)任編輯：李 璟］