基于BCS-KL方法的地層邊界不確定性研究

摘要：在工程建設中獲取的現場鉆孔數據有限，利用鉆孔數據解釋地下地層不可避免地存在不確定性，進而影響樁基礎等工程設計的可靠性。對此，提出了從有限鉆孔數據中量化地層邊界不確定性的方法，并研究地層邊界不確定性對單樁豎向承載力特征值的影響。首先依據鉆孔數據，通過貝葉斯壓縮采樣-KL展開（BCS-KL）方法重建地層邊界，并生成大量隨機場數據量化地層邊界的統計不確定性；然后依據地層邊界數據，對單樁豎向承載力特征值進行不確定性分析。分析結果表明：BCS-KL方法生成的大量隨機場數據能很好地表征地層邊界的不確定性；在鉆孔間距較大時，單樁豎向承載力特征值在95%置信區間內相差4 660.88 kN，差距較大。通過BSC-KL方法科學評估地層邊界不確定性對單樁豎向承載力的影響，對確保工程設計可靠性具有重要意義。

關 鍵 詞：地層邊界不確定性；BCS-KL方法；鉆孔數據；單樁豎向承載力特征值

中圖法分類號：P642.4

文獻標志碼：ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.08.020

0 引 言

地質剖面圖的繪制是巖土工程勘察工作的重要內容。繪制地質剖面中的地層邊界線時，往往通過鉆孔數據將地層在不同鉆孔的界面位置連接^［1］。然而，由于投入勘察資源不夠，通過現場鉆孔獲得的地層測量數據往往偏少，需要推測未測量點的地下地層邊界。另外，由于鉆孔設備、過程、操作人員和隨機測試的影響，鉆孔點位處的測量數據也存在誤差^［2-3］。因此，傳統方法，例如折線連接繪制的地層界面具有顯著的不確定性，這隨之會影響設計結果，從而影響工程設計的安全性。因此，評估地層邊界不確定性，量化其對工程設計的影響，具有重要的現實意義。

在場地未勘測點處，通常運用空間內插法來預估地層性質。普通克里金法是應用較為廣泛的方法之一，它運用半變異函數對測量數據點的空間結構進行建模^［4-5］。但是，測量數據量對半變異函數的準確性有顯著影響，當測量數據稀疏時，半變異函數可能給出不可靠的估計^［6］。另外，馬爾科夫鏈方法也常用于模擬二維地層邊界的不確定性。但基于小樣本鉆孔數據時，馬爾科夫鏈方法在估計地層變換的轉移概率時較為困難。因此，在傳統方法中基于小樣本測量數據進行地層邊界不確定性分析較為困難^［7-8］。本文提出的貝葉斯壓縮采樣法（Bayesian compressive sampling，BCS），能夠用非常少的測量數據點重建一個完整的信號，克服了上述方法的缺點，還提供了量化與解釋地層統計不確定性的方法。另外，概率巖土設計和分析需要使用隨機場發生器，本文采用BCS-Karhunen Loeve展開法，其BCS-KL隨機場發生器能夠從有限的測量數據中生成大量隨機場樣本。

基于BCS-KL方法能很好地從稀疏測量數據中重建地層邊界，生成的大量模擬隨機場數據可以合理、客觀地給出稀疏測量數據引起的統計不確定性。本文利用江西新余二期電廠勘察資料重建地層邊界，并驗證該方法的可行性。在此基礎上，進一步研究不同鉆孔數據下地層邊界不確定性對單樁豎向承載力特征值的影響。

1 BCS-KL方法

BCS是對壓縮采樣的概率擴張，它能夠從測量的部分信號中重建完整的信號。壓縮采樣技術基于許多自然界的信號可以被“壓縮”的原理，換言之，自然界的信號能利用有限個基函數的加權求和來簡明地表示^［9］。在數學上，當一個信號被定義為隨時間或空間變化的物理量時，它可以用一個長度為N的列向量f表示。將待測地層信號用N個存儲于向量f的離散點表示，并將其表達成一組基函數的加權求和形式：

式中：f是待測的地層數據；B是一個N×N的固定正交矩陣，B的每一列代表一個預先指定的基函數，如小波函數。需要指明的是，B是獨立于f的，它可以很容易地使用軟件構造，如在線免費軟件WAVELET850，可將其作為MATLAB函數以方便利用。ω_s是一個長度為N的權重向量，ω_s的每個元素代表與B對應列或基函數相關聯的一個權重系數。由于f的可壓縮性，ω_s的大部分元素的量級非常小或幾乎為零。因此，如果使用稀疏地層數據y可以識別和估計ω_s中的非平凡系數（即具有顯著大量級的系數），信號f可以近似重構。y是一個長度為M的列向量，M＜N，y可以表示為

式中：Ψ為M×N的位置矩陣，它能反映采樣點（即鉆孔位置）在待測地層向量f中的位置；A=ΨB是維數為M×N的矩陣。

利用地層數據y推斷權重向量ω_s，根據貝葉斯公式，推斷ω_s服從多元學生t分布，其均值μ（ω_s）和協方差Covω_s計算如下

式中：H=（A^TA+D）^-1，A為M×N矩陣且滿足A=ΨB；D為對角矩陣，對角元素D_ii=α_i=1μ²（ω_si）（M+2c）/（y^TC^-1y+2d）+H_ii （i=1，2，…，N），且c和d為非負常數，α_i可以通過使地層數據y的似然概率最大而估計得到；c_n=M2+c；d_n=d+（y^T?μ^T（ω_s）H^-1μ（ω_s））/2；C^-1=（I+AD^-1A^T）^-1，其中I為M×M的單位矩陣。讀者可參考文獻［10］了解更多細節。然后，根據公式（1），利用基本概率論計算地層信號f的平均值μf︿和協方差Covf︿

式中：均值μf︿表示地層信號沿水平方向的空間變異性，協方差Covf︿ 矩陣的對角元素表示均值μf︿ 統計不確定性，非對角元素則表示地層信號沿水平方向在兩個不同位置上的相關性。

KL方法是基于隨機過程協方差函數譜分解的序列展開方法，該方法能得到較高的計算精度和計算效率。KL展開表明，一個隨機函數可以用一組完整的具有相應隨機變量的確定性函數表示。它是由Spanos^［11］提出的，作為表示隨機場的一種方法。在KL展開的情況下，給定地層信號f的平均值μf︿和協方差Covf︿，將協方差Covf︿相似對角化

式中：U是Covω_s的N×N特征矩陣；Covω_sd為對角矩陣；V為Covf︿ 的特征矩陣。將地層信號f用Karhunen-Loeve級數展開，近似地表示為

式中：λ（ω_si）為Covf︿ 的特征值；v_i為矩陣V的列向量，即Covf︿ 的特征向量；z為相互獨立的標準正態變量的向量；z_i為z中的元素。將式（8）中得到的級數展開式在前S個特征值處截斷，即

式中：利用蒙特卡洛模擬隨機生成多組相互獨立的標準正態變量的向量z，即可獲得大量模擬的地層信號。

2 BCS-KL方法應用結果

在獲取地層邊界后，以單樁豎向承載力特征值作為量化地層邊界不確定性對工程設計影響的指標，計算不同邊界條件下單樁豎向承載力特征值^［12］，公式為

式中：R_a為單樁豎向承載力特征值；q_pa、q_sia為樁端端阻力、樁側阻力特征值；A_p為樁底端橫截面面積；u_p為樁身周長；l_i為第i層巖土層厚度。

該電廠擬建場地原始地貌屬于丘陵地貌，主要由剝蝕殘丘及丘間洼地組成。場地內出露地層包括大面積深厚的人工素填土（Q₄^ml）、坡積粉質黏土（Q₄^dl）、殘積粉質黏土（Q₂^el）和震旦系神山組上段（Pt₃sh²）千枚巖。千枚巖千枚理發育，通過現場地質調查，巖層產狀為270°～285°∠13°～25°，呈單斜產出。該場地經歷數個不同形式的構造運動，各種形式的構造在空間上相互迭加，形成一套淺陸海相沉積巖及變質巖構造，后經過多次構造運動后相變劇烈，場地內巖層界面復雜。

在該場地內，按照風化程度不同，千枚巖分為全風化、強風化、中等風化和微風化千枚巖，包含場地內大部分巖層的典型鉆孔巖心如圖1所示。其中中等風化千枚巖為地基主要持力層，其上界面在所有鉆孔中被揭露。本文選取了兩條直線布置的線性鉆孔數據，兩者相距較遠且中等風化千枚巖上界面的波動程度相差較大。樣本1直線距離為280 m，鉆孔數量為14個，鉆探點平均間距為20 m，其地層剖面圖如圖2所示；樣本2直線距離200 m，鉆孔數量為16個，鉆探點平均間距為12.5 m。

本文對場地內中等風化千枚巖上界面進行地層邊界不確定性研究，結果如圖3所示。從圖中可以看出，兩條中等風化千枚巖上界面的地層邊界信號的波動尺度差異較大。樣本1的鉆孔數據較稀疏，地層邊界信號波動速度更快，信號更復雜；樣本2的鉆孔數據較密集，地層邊界信號波動速度更小，信號更簡單。本文用BCS-KL方法以128個數據點表示地層邊界，模擬生成1 000個地層邊界隨機場，所有隨機場的均值確定為重建地層邊界。可以看出，重建地層邊界幾乎捕獲了測量數據的所有局部變化，兩者的吻合度較好。地層邊界隨機場信號在重建地層邊界周圍波動，表征地層邊界的可能情況。樣本1的95%置信區間寬度比樣本2的大，是因為樣本2的鉆孔數據可以描述樣本2的大部分特征，而樣本1則需要更多的數據。

樣本2的鉆探點間距較小，重建地層邊界與測量數據接近，將重建地層邊界假設為“真實”地層邊界，研究鉆孔數據量M對地層邊界解釋和地層不確定性表征的影響。本文在樣本2的200 m研究范圍內，均勻地選取“真實”地層邊界值為鉆孔數據，考慮M=8、M=40和M=128三種情況，結果如圖4所示。從圖中可以看出，隨著鉆孔數據量的增大，重建地層邊界與“真實”情況越來越接近，95%置信區間寬度越來越小，直到完全重疊。因此，鉆孔數據量與地層邊界的不確定性呈負相關，利用BCS-KL方法可以很好地從測量數據中重建地層邊界信號，并量化地層邊界的不確定性。

3 單樁豎向承載力特征值不確定性研究

根據廠址區地基巖土的埋藏條件、巖土特性、建（構）筑物的結構特點以及當地的建筑經驗，選擇鉆孔灌注樁加固地基。為了進一步量化地層邊界不確定性對工程設計的影響，選取圖3樣本1和樣本2中95%置信區間寬度較大處的鉆孔數據，進行單點處單樁豎向承載力特征值不確定性研究。選擇的鉆孔編號為CF065（情景1）和MC076（情景2），分別位于樣本1的高程241.3 m和樣本2的高程33.1 m位置處，情景1相比情景2的地層波動性更大，其勘測數據如表1所列。

場地采用的鉆孔灌注樁樁徑一般為0.8～1.2 m，樁端放入中等風化千枚巖1～5 m。本文以樁徑1.2 m，放入中等風化千枚巖2.5 m進行研究，僅考慮中等風化千枚巖上界面的地層不確定性對單樁豎向承載力的影響。利用BCS-KL方法計算1 000組中等風化千枚巖上界面數據，其直方圖和累積分布函數結果如圖5所示，統計結果如表2所列。總的來說，地層邊界的統計不確定性主要源于地層邊界不確定性，地層邊界的統計不確定性明顯受到鉆孔間距的影響。在鉆孔間距較小時（情景2），模擬地層邊界的分布范圍、標準差和置信區間寬度都較小，地層邊界的統計不確定性較小。

根據公式（10）計算的單樁豎向承載力特征值統計結果如圖6所示。從圖中可以看出，情景1單樁豎向承載力特征值范圍為4 205.1～11 568.75 kN，分布范圍更寬；情景2單樁豎向承載力特征值的分布范圍為3 333.63～6 230.65 kN，分布范圍更窄。情景1鉆孔間距為20 m，情景2鉆孔間距為12.5 m，這表明單樁豎向承載力特征值的統計不確定性隨著鉆孔間距的減小而減小。情景1單樁豎向承載力特征值的標準差為1 189 kN，95%置信區間為5 227.26～9 888.14 kN，95%置信區間寬度為4 660.88 kN；情景2單樁豎向承載力特征值的標準差為470.85 kN，95%置信區間為3 770.60～5 613.00 kN，95%置信區間寬度為1 842.40 kN。

兩種情況對比可以看出，單樁豎向承載力特征值統計不確定性受到鉆孔間距的影響較大，在鉆孔間距較大的情景1中，95%置信區間寬度較大，單樁豎向承載力特征值的不確定性較大。假設以均值7557.7 kN作為單樁豎向承載力標準值，95%置信區間內的單樁豎向承載力最大差距為2330.44 kN，對于工程建設中鉆孔灌注樁的設計具有很大的影響。在設計鉆孔灌注樁埋深時，根據上部建筑物荷載確定單樁豎向承載力標準值，提前評估主要持力層的地層邊界不確定性對單樁豎向承載力的影響，預留相應的承載力差值，對于鉆孔灌注樁的設計具有重要意義。

4 結 論

本文以江西新余某電廠擬建場地為實例，依據場地內兩條鉆孔路線的勘測數據，通過BCS-KL方法對中等風化千枚巖的地層上界面進行地層邊界隨機場模擬，量化了地層邊界的統計不確定性，并對單樁豎向承載力特征值進行不確定性研究。

（1）依據鉆孔數據，BCS-KL方法能很好地從稀疏鉆孔數據中重建地層邊界，并量化地層邊界的統計不確定性。

（2）隨著鉆孔間距的減小，獲取的地層邊界測量數據增多，BCS-KL方法生成地層邊界隨機場數據的95%置信區間寬度減小，重建地層邊界能更好地捕捉地層邊界的變化特征。

（3）單樁豎向承載力特征值的統計不確定性隨著鉆孔間距的減小而減小。在本文鉆孔間距較大的路線中，95%置信區間內的單樁豎向承載力最小值與其均值相差2 330.44 kN，對工程建設中基礎的設計具有較大影響。通過BCS-KL方法提前評估地層邊界不確定性對單樁豎向承載力的影響，對于工程建設具有重要意義。

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（編輯：鄭 毅）

Uncertainty analysis on stratigraphic boundary based on BCS-KL method

ZHANG Jiulong，ZHANG Jun，TAO Yongzhi，LI Bingbing

（PowerChina Jiangxi Electric Power Design Institute Co.，Ltd.，Nanchang 330096，China）

Abstract：Due to the limited borehole data obtained during constructions，it is inevitable to interpret the underground stratigraphic boundary with uncertainty，which affects the design reliability of pile foundation and other engineering projects.In this paper，a method was proposed to quantify the uncertainty of stratigraphic boundary with limited borehole data，and the influence on the characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile was discussed.Firstly，based on the borehole data from a power plant，the stratigraphic boundary was reconstructed and a large number of random field data was generated to quantify the statistical uncertainty of the stratigraphic boundary by Bayesian compressive sampling-KL expansion （BCS-KL） method；then，according to the stratigraphic boundary data，the uncertainty analysis on the characteristic value of vertical bearing capacity of a single pile was carried out.The results showed that a large amount of random field data generated by the BCS-KL method can well characterize the uncertainty of the stratigraphic boundary;when the borehole spacing was sparse，the characteristic value of vertical bearing capacity of single pile has difference of 4 660.88 kN in the 95% confidence interval，showing great difference.It is of great significance to evaluate the influence of stratigraphic boundary uncertainty on the characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile for engineering design by BSC-KL method.

Key words：stratigraphic boundary uncertainty; BCS-KL method; borehole data；characteristic value of the vertical bearing capacity of a single pile