例析模長與共軛的關系在強基復數中的考查
2024-12-31 00:00:00何可
中學數學研究 2024年8期
本文例舉模長與共軛的關系在近年強基真題中的考查及應用.
例1（2019北大寒假學堂）已知復數z滿足|z|＝1，且z17＋z＝1，則z＝（）．
解：由z17＋z＝1，得z17＝1－z．兩邊同時取模，得|z|17＝|1－z|，從而|1－
評注：例1及變式均需建立模長與共軛的關系，完成相應的計算與證明.
例2（2022清華強基）已知復數|z|＝1，求|（z－2）（z＋1）2|的最大值．
變式1 （2021清華自強）已知復數z滿足|z|＝1，求|z3－z＋2|的最值.
評注：本題為復數的單位根為切入點，反復使用模長與共軛的關系來消元與降低次數，最后再通過韋達定理整體代入，求出定值，為一道難度較高的綜合題.
強基計劃對接高校數學專業，旨在選拔基礎學科拔尖創新人才并加以持續培養.又由于復數是后續學習《復變函數》的基礎，因而強基校測對復數要求較高，尤其是模長與共軛的關系更是高頻出現，值得我們去認真研究.
