例析基本不等式應用的十二個意識

基本不等式是高中數學的重要知識點，是求最值問題的強大工具，在具體應用時，要注意其必須滿足的“一正二定三相等”這三個條件，不然很容易出錯.另外，基本不等式還因題型變化多端技巧性強著稱，本文筆者整理出其應用的十二個意識，希望對大家有所幫助.

1.符號意識

所謂“一正”就是各項必須為正數，這一點很容易在解題中被忽略而導致錯解.

2.定值意識

所謂“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值.

3.等號意識

所謂“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，注意多次運用不等式，等號成立條件一定要一致，若不一致，即等號不能同時取，將導致錯誤.

只用了一次基本不等式，就不用擔心等號能否同時取的問題，所以正確應用基本不等式還要建立等號意識.

4.用“1”意識

“1”的代換在基本不等式的應用中發揮著非常重要的作用，這也是我們需要掌握的意識之一.例3的正解就用了“1”的代換.但有時題目也會加大難度，需要局部用“1”的代換.

5.配湊意識

在應用基本不等式時往往涉及到兩個正數，我們希望這兩個正數的和或積為定值，但題目不會直接給出，這時就需要我們通過恒等變形來進行配湊，以發現定值.實際上，例2就用了配湊法.

例5 已知正數a，b滿足a2+3ab=2，則a+b的最小值為.

錯解直接把兩個正數a，a+3b相加，只能得到2a+3b，而得不到a+b，所以我們需要做變形，換成另兩個正數2a，a+3b，這樣他們相加后就會出現a+b，注意往往不會直接出現，而是間接出現，要會根據表達式靈活配湊，所以正確應用基本不等式還要建立配湊意識.

6.消元意識

在應用基本不等式時，我們還可以利用題中給出的兩個正數的等量關系，用消元法解出其中一個正數.

例6 已知正數x，y滿足x+y=xy，則x+2y的最小值為.

消元法可以把兩個變量變成一個變量，從而降低難度.消元后往往需要再做適當處理后運用基本不等式解題，所以正確應用基本不等式還要建立消元意識.

7.換元意識

實際上，消元具有一定的局限性，有時題目雖然提供了等量關系，但根本無法進行消元，這些題往往具有一定的難度，這時就需要有換元意識，從而攻克這樣的難題.

這里由等量關系2x2+xy－y2=1無法進行消元，我們通過因式分解得到一對正數（2x－y），（x+y）的乘積為定值，但表達式過于復雜，所以通過換元以簡化表達式，然后運用基本不等式解題，所以正確應用基本不等式還要建立換元意識.

8.減元意識

有些題目根本就沒有提供任何等量關系，這時無法消元也無法換元.這種情況下就要有減元意識，即通過對目標表達式做恒等變形讓變量集中，然后再用基本不等式解題.

這里對表達式進行不斷地進行變形，技巧性較強，最終以達到讓變量集中的目的，然后再借助換元法簡化表達式，最后運用基本不等式解題，所以正確應用基本不等式還要建立減元意識.

9.齊次意識

當已知表達式和待求表達式次數不等時，我們可以通過平方來統一次數，然后再用基本不等式解題.

例9 設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 .

這里已知表達式是二次齊次式，而待求表達式是一次齊次式，所以我們可以將待求表達式平方，再通過基本不等式解題，當然，次數不等的情形有很多種，實際上，例4就用了奇次法，所以正確應用基本不等式還要建立齊次意識.

10.目標意識

所謂目標就是題中要求最值的表達式，我們要對題目的已知條件做恒等變形以待求目標，注意這里的變形往往要求更高，技巧性更強，然后再應用基本不等式求最值.

首先將已知等式恒等變形，然后利用基本不等式，建立關于3x+y的一元二次不等式，最后求解不等式得到答案.此題的變形技巧性較強，在例10的基礎上增加了難度.這里我們把目光盯在目標表達式上，不達目標誓不休，最后再通過基本不等式解題，所以正確應用基本不等式還要建立目標意識.

11.局部意識

有時整體應用基本不等式不能一次性解決問題，這時我們需要先局部應該基本不等式，然后再整體應用基本不等式.

這里含有兩個變量，直接整體應用基本不等式根本無法達成目的，所以我們先局部再整體，當然，兩次基本不等式等號成立的條件沒有沖突，所以正確應用基本不等式還要建立局部意識.

12.方程意識

有時還可以回避基本不等式，由已知和待求之間的關系通過消元得到一個方程，從方程有解的角度來得到待求的最值.

元二次方程有正解，由判別式及韋達定理得到不等式組，從而求得2a+b的最小值，這樣我們就回避了基本不等式，也同樣能成功解決問題，所以正確應用基本不等式還要建立方程意識.

綜上可見，基本不等式是個很難的知識點，其題型豐富多彩變幻無窮，代數恒等變換的要求較高，技巧性強.運用時若仔細研究，還是有規律可循的，上文給出的基本不等式正確應用的十二個意識，體現了代數恒等變換的十二個常用方向.當然，這些意識并不是相互孤立的，每道題都可以用多種意識去思考，不可死搬硬套，要做到具體問題具體分析，更多的應用意識留待讀者在解題中歸納總結.

參考文獻

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