基于同構思維破解數列問題

在解決數列的相關應用問題中，同構思維也是處理數列問題中的一種基本解題意識與技巧方法，往往依托數列遞推關系式或數列通項公式的結構特征等從而發現式子結構中蘊藏的同型與共性，并提取對應式子中相同或相似的結構形式與特征模型等，發現式子間的內在關聯與內涵，進而合理加以同構化處理，利用同構后的模型所對應的基本性質予以解題，是一種非常重要的方法．本文通過數例予以探究.

1．數列中的通項問題

數列通項問題中的同構思維，往往是依托數列通項的遞推關系式，進行合理的同構處理，并結合整體思維來轉化與應用，實現數列通項的分析與求解.

分析：借助數列中an與a n－1的線性遞推關系，一時無法直接看出相應的關系，而是利用數列自身的性質借助待定系數法，合理同構新數列加以轉化，進而得以分析并確定對應數列的通項公式．

評注：涉及數列的通項公式的求解與應用問題時，經常借助題設條件中數列的遞推關系式，合理通過同構數列，結合數列通項中的累加或累乘、待定系數法、不動點解特征方程法等來分析與處理，抓住對應的結構特征，巧妙同構處理，進而合理應用相應的技巧與策略來切入與應用．

2．數列中的參數問題

數列參數問題中的同構思維，往往是依托問題場景中含參數列關系式的同構與轉化，進而利用定義、公式或性質來綜合與應用，實現參數值的確定與求解.

A．2023B．2024C．2025D．2026

分析：利用關系式成立條件中的數列關系式的結構特征入手，合理同構一個新數列{bn}，從數列的遞推關系式入手，結合數列的定義來合理判斷數列類型，進而得以確定新數列的通項公式，在此基礎上進一步加以分析與求解，得以確定相應參數的值．

解：結合題意，同構新數列{bn}：bn=a12+a22+…+an2－a1a2…an（n≥5），則有bn+1－bn=（a12+a22+…+an+12－a1a2…an+1）－（a12+a22+…+an2－a1a2…an）=an+12－（an+1+1）（an+1－1）=1，可知該數列是一個首項為b5=a12+a22+…+a52－a1a2…a5=4，公差為d=1的等差數列，可得bn=4+（n－5）×1=n－1．結合題設可得bk=2024，由bk=k－1=2024，解得k=2025，故選C．

評注：上述解法抓住題設條件中的對應的遞推關系式的結構特征，找出同型或共性，合理同構數列，是解決問題的關鍵所在．特別是涉及數列中的一些參數問題時，合理抓住數列場景中的關系式，借助數列通項或遞推關系式等加以變形轉化，為進一步抽取性質與巧妙同構奠定基礎，合理變形，從而實現問題的突破與求解．

3．數列中的求和問題

數列求和問題中的同構思維，往往是依托數列求和中相關項的巧妙同構與合理相消處理，給數列求和開創一個全新的局面，實現數列中的求和應用.

例3 （2023年邵陽市二模試題）已知Sn為數列{an}的前n項和，a1=2，滿足Sn+1=Sn+4an－3，記數列{bn}的通項為bn=log2（an－1）+3．

（1）求數列{an}的通項公式和數列{bn}的通項公式；

分析：（1）借助an與Sn的關系加以變形與轉化，合理同構數列{an－1}來確定對應數列{an}的通項公式，進而結合條件來分析與求解數列{bn}的通項公式；（2）利用數列關系式的變形與轉化，合理進行同構裂項處理，進而通過數列求和來變形，分奇數項來合理放縮與證明．

解：（1）由Sn+1=Sn+4an－3，得Sn+1－Sn=4an－3，所以an+1=4an－3，則an+1－1=4（an－1）．又a1－1=2－1=1，所以數列{an－1}是以1為首項，4為公比的等比數列，所以an－1=4n-1=22n－2（n∈N*），即an=22n－2+1（n∈N*）．因為bn=log2（an－1）+3，所以bn=log222n－2+3=2n+1（n∈N*）．

評注：數列求和問題中的裂項相消技巧方法一直是高考命題的一種基本視角，是一種重要而靈活的命題方式．而依托同構思維，結合一些常見的緒如指數型、無理型、奇偶性以及三角型等幾個比較新穎的裂項問題，合理同構思維，巧妙分析與處理，實現數列的求和與應用問題．

基于此，在那些有規律可循的數列問題之中，同構意識與同構應用成為解決一些復雜數列問題或創新數列問題中一種創新思維與應用.實際上，這體現了回歸數列的函數性，求解時往往可依托函數的基本性質等來合理同構，進而利用數列的知識來轉化與應用.由此，教學時對結構的同構意識、理念尤其重要．并且，解題實踐中應注重求同存異，趨同結構，重新建構，使得結構達成同構化，從而解決數列中的通項，求和等諸多問題，進而全面提升數學關鍵能力，優化數學良好品質，培養數學核心素養．