一道三角形競賽題的解法探析

2023年全國高中數學聯賽北京預賽一試第7題將三角形和三角恒等變換巧妙地組合，考查對基本數學公式的應用和恒等變形能力，是一道非常有創意的競賽題，下面和同學們來探析該賽題的解法.

1.試題再現

2.試題解答

分析1：（1）題中僅有a=2b這一邊長關系，其它的均為角的三角函數，于是我們首先想到利用正弦定理化邊為角把a=2b轉化為sinA=2sinB，這樣根據已知cosB的值，就可以求出sinB及sinA的值.

開，分解因式，再根據已知條件在分別討論角的范圍的基礎上，利用平方關系和正弦二倍角公式分別求出兩個因式平方的值后代入求得結果.

分析5：由于目標式均為半角的形式，因而分別將A、B半角的正弦和余弦引入變量進行換元，根據平方關系得到新元之間的關系.然后將目標式表示為關于新元的關系式，最后利用正弦定理、余弦二倍角公式及代數恒等變換求得結果.

3 結語

用多種方法探析一道試題，就是從不同角度對試題進行分析思考，這也是突出數學本質，培養、落實數學核心素養的一條有效途徑.以上從五種不同角度對一道三角形競賽題的解法進行探析，五種方法各具特色，精彩紛呈，對于提高同學們的數學學科素養頗有裨益.