例析排列組合中一類有序數(shù)組問題的解法

在高中數(shù)學排列組合問題的教學過程中，學生有時會遇到一類有序數(shù)組問題，這類題目往往呈現(xiàn)一個華麗的外表，需要我們有一雙慧眼，通過觀察由表及里，見微知著，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，從而洞見癥結(jié)，使問題獲解.本文擷取幾例，予以說明．

例1 設ΔABC的內(nèi)角滿足A≤B≤C，且cos20A=cos20B=cos20C=1，則滿足要求的有序數(shù)組（A，B，C）共有個．

解：由已知得20A=2k1π，20B=2k2π，20C=2k3π，其中k1，k2，k3∈N+，k1≤k2≤k3．在ΔABC中，由A+B+C=π，可得20（A+B+C）=2（k1+k2+k3）π=20π，即k1+k2+k3=10．用枚舉法可知（k1，k2，k3）=（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4），相應的有序數(shù)組（A，B，C）共有8個．

評注：本題由A，B，C為三角形的內(nèi)角，得A+B+C=π，又根據(jù)余弦值為1求出20A=2k1π，20B=2k2π，20C=2k3π，于是可得k1+k2+k3=10，從而將求角的有序數(shù)組的個數(shù)抽絲剝繭，轉(zhuǎn)化為求有序數(shù)組（k1，k2，k3）的問題，其中k1，k2，k3∈N+．這樣，將已知條件進行轉(zhuǎn)化與化歸，就能達到求解問題的目的．

例2 若正整數(shù)a，b，c，d滿足a+b=c+d，ac=bd，ad=bc，且20≤ab+bc+cd+da≤2020，則滿足以上條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）共有多少個？

f（b），又f（x）在區(qū)間2，+∞上單調(diào)遞增，故a=b.又ac=bd，故c=d．再由a+b=c+d，可得a=b=c=d．結(jié)合20≤ab+bc+cd+da≤2020，可得5≤a2≤505，故3≤a≤22，相應有序數(shù)組（a，b，c，d）共有20個．若a=1或b=1，同理可得a=b=c=d=1，此時ab+bc+cd+da=4，與已知條件矛盾．綜上，所求有序數(shù)組（a，b，c，d）共有20個．

評注：本題已知條件比較多，形式有其中兩個數(shù)的和相等，另外兩個數(shù)的乘積相等，還有其中兩個數(shù)的指數(shù)冪相等，兩兩乘積的和又規(guī)定了范圍，條件較多，并且條件紛繁無序，不易找到解法，但若注意觀察，化繁為簡，從不等式的條件入手，不難看出a≥2且b≥2，于是再由指數(shù)冪和乘積的這兩個等式得出c與d的一個比值，從而得到alna=blnb，于是借助函數(shù)的單調(diào)性，問題就迎刃而解了．

例3 設a，b，c，d是1，2，3，4，…，100中4個不同的數(shù)，且滿足（a2+b2+c2）（b2+c2+d2）=（ab+bc+cd）2，則這樣的有序數(shù)組（a，b，c，d）共有多少個？

當nlt;m時，由對稱性可知，亦有20個滿足條件的等比數(shù)列a，b，c，d.

綜上可知，共有40個滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）．

（3）當公比為4時，a，b，c，d可取1，4，16，64中的任意連續(xù)4個數(shù)，有2C11種取法．

由分類加法計數(shù)原理可知，所求有序數(shù)組（a，b，c，d）共有40個．

評注：本題求解需要具有較好的知識網(wǎng)絡，審題時要能夠?qū)⒖挛鞑坏仁絻?nèi)容聯(lián)想起來，并快速聯(lián)想到等比數(shù)列、取整等方法．

例4 數(shù)論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如，正整數(shù)12=32+12+12+12=22+22+22+02．設25=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）有多少個？

解：顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進行分類討論：

（1）最大數(shù)為5的情況：25=52+02+02+02，此時共有A14種情況．

（2）最大數(shù)為4的情況：①25=42+32+02+02，此時共有A24種情況；②25=42+22+22+12，此時共有A24種情況．

（3）最大數(shù)為3的情況：32+32+22+22gt;25gt;32+32+22+12，故沒有滿足題意的情況．

綜上，滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是4+12+12=28．

評注：本題求解的切入點為四個數(shù)中的最大數(shù)，于是分類的依據(jù)也就確定了，接下來進行分類討論時，應找準每一類的個數(shù)．所以，當有些問題存在多種可能性時，就需要我們把各種可能考慮周全，再按照一定標準進行分類討論．

例5 從數(shù)1，2，3，…，14中取出由小到大的三個數(shù)a，b，c，滿足b－a≥3，c－b≥3，則所有符合上述要求的有序數(shù)組（a，b，c）共有多少個？

解：由已知得a－1≥0，b－a－3≥0，c－b－3≥0，14－c≥0．構(gòu)造等式a+b－a+c－b+14－c=14，變形得a－1+b－a－3+c－b－3+14－c=7．令A=（a－1）+1，B=（b－a－3）+1，C=（c－b－3）+1，D=（14－c）+1，得A+B+C+D=11．所以原問題等價于求方程A+B+C+D=11的正整數(shù)解的組數(shù)，由隔板法可知，共有正整數(shù)解C310=120個，即所求有序數(shù)組（a，b，c）共有120個．

評注：這道題看起來很抽象，求解時應該學會退位思考，一直退回到我們最熟悉、最原始的狀態(tài)，通過構(gòu)造等式關(guān)系a+b－a+c－b+14－c=14，然后將其變形成a－1+b－a－3+c－b－3+14－c=7是解決本題的關(guān)鍵，通過觀察這個等式我們不難聯(lián)想到排列組合中的相關(guān)知識隔板法，從而將問題轉(zhuǎn)化為已有的思維模型求解．

例6 已知xi∈－1，0，1（i=1，2，…，n，n∈N且n≥1），則滿足x1+x2+x3+…+xn=2的有序數(shù)組（x1，x2，x3，…，xn）共有多少個？

解：由x1+x2+x3+…+xn=2可知有兩個xi=1，有（1，1），（－1，1），（－1，－1）三種情況．①當為（1，1）時，有C2n個；②當為（－1，1）時，有2C2n個；③當為（－1，－1）時，有C2n個.

故共有C2n+2C2n+C2n=4C2n=2n2－2n個．

評注：本題求解的關(guān)鍵是通過已知條件x1+x2+x3+…+xn=2得到有兩個xi=1，從而判斷出共有3類情況，再對每一類情況進行討論，分類討論過程中應注意當有兩個1和兩個－1時，兩個相同元素不管怎么排列，只有1種情況，于是相當于從n個元素中取2個元素等于1或－1，而當兩個元素不同時，應考慮順序，于是要在前面的基礎上乘以2，切不可漏解．

例7 設正整數(shù)x，y，z滿足1≤x，y，z≤6，且10整除xyz，則有序數(shù)組（x，y，z）共有多少個．

解：由題意易知，（1）x，y，z的取法有63種；（2）x，y，z都不取2，4，6的取法有33種；（3）x，y，z都不取5的取法有53種；（4）x，y，z都不取2，4，5，6的取法有23種．

故x，y，z的乘積能被10整除的情形種數(shù)為63－33－53+23=72種．

評注： 本題可以從正面考慮，也可以從對立面考慮．若從正面考慮，根據(jù)能被10整除的數(shù)一定能被2和5整除，所以x，y，z三個數(shù)中必然至少有一個數(shù)為5，一個數(shù)為2或2的倍數(shù)，于是得到分類討論標準.而就本題而言，從對立面入手會更加簡單，將不符合要求的情形排除，同時注意將重復排除的情形進行彌補，從而解決問題．