橢圓內一類定角三角形相關最值問題探究

非特殊角度條件往往是解析幾何問題中轉化的一個難點，本文將一道經典教材習題中的角度一般化，借助信息技術探究并利用三角函數、導函數等相關知識嚴格證明，得到了一些有意義的結論，希望對大家命題及解題有所啟示.

1.探究緣起

在人教版高中數學老教材選修4-4坐標系與參數方程中，有這樣一道橢圓習題：

這個問題等價于探究用頂點在原點的直角去截橢圓所產生的定值與最值，將直角一般化為定值角度θ（0lt;θlt;π），借助信息技術探索，可以得到許多類似有趣的最值和定值.

2.問題情境

3.問題解答

仿照極坐標的思想，初始時，讓△OAB的OA邊與x軸的正半軸重合，當△OAB繞原點逆時針旋轉時，記OA邊與x軸正方向所成角度為x（0≤x≤π），如圖1.（說明：為簡化運算，基于橢圓的對稱性，只探究半個橢圓的情形，下述結論在整個橢圓上依舊成立）.為便于求解，先表示出線段OA，OB的長.

若考慮整個橢圓的情形，結合橢圓對稱性也較容易求出S取到另外兩個最大值時x的值.

（2）∠OAB為鈍角時，可類比上述銳角情形進行詳細推理，這里僅給出結論，不再贅述.

（3）∠OAB為直角時.

4 結語

除了上述探究的問題之外，還有很多值得探究的問題，例如sin∠OAB、弦長AB及△OAB周長的最值等，感興趣的讀者可以繼續深入探究.將問題情境中的原點替換成橢圓的焦點、頂點，甚至類比到雙曲線和拋物線，仍然有許多類似的美妙結論，定角截圓錐曲線最值問題還有廣闊的探索空間.

參考文獻

［1］普通高中課程標準實驗教科書選修4-4［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］孫承雄.對一道課本教材習題得探究與推廣［J］.中學數學研究（江西師大），2019（10），27-28.