2021年新高考Ⅰ卷第22題中函數模型再探究

一、問題呈現

二、模型探究

將函數y=xlnx與其它函數組合成函數模型來研究它的性質，是高考導數壓軸題中的一個熱點．文獻［1］對例1中的函數模型進行了變式拓展探究，得到函數y=xlnx與兩個特殊一次函數（即y=ax－1與y=x－b）組成函數的兩個零點和的上、下界估計．其實，我們可以將這兩個特殊一次函數一般化為y=ax+b，依然可探究得到類似性質．

性質1 若x1，x2為方程xlnx=ax+b的兩個根，則2ea－1lt;x2+x1lt;ea．

如圖1，結合題意，可知b∈（－ea－1，0）．不妨設0lt;x1lt;ea－1lt;x2lt;ea，從圖象可觀察出f（x）的極值點左偏，根據常規的“極值點偏移”問題處理方法，可證明x1+x2gt;2ea－1．

要證x1+x2gt;2ea－1，即證x2gt;2ea－1－x1，即證f（x2）gt;f（2ea－1－x1），即證f（x1）gt;f（2ea－1－x1）．構造函數g（x）=f（x）－f（2ea－1－x），0lt;xlt;ea－1，通過求導判斷單調性可得到g（x）gt;0恒成立，則f（x1）gt;f（2ea－1－x1），即x1+x2gt;2ea－1．

以下證明x1+x2的范圍上限．

由0lt;x1lt;ea－1，得lnx1lt;a－1，x1lnx1lt;（a－1）x1，有x1lnx1－ax1lt;－x1，則x2lnx2－ax2lt;－x1，即x1lt;ax2－x2lnx2，從而x1+x2lt;（a+1）x2－x2lnx2．令φ（x）=（a+1）x－xlnx，x∈（ea－1，ea），則φ′（x）=a－lnxgt;0，可得φ（x）在（ea－1，ea）上單調遞增，有x1+x2lt;φ（ea）=ea．

綜上，可知2ea－1lt;x2+x1lt;ea．

以下我們只討論特殊二次函數y=ax2與y=xlnx組合時是否也有類似性質的模型．性質1的分析是基于函數f（x）的圖像類似于二次函數，為保持這圖象特征，需限制alt;0，從而探究得到如下性質．

不難得知，存在x0∈（0，1），滿足lnx0=ax0，即x0為f（x）的零點．

圖2如圖2，結合題意，可知b∈（clnc－ac2，0）．不防設0lt;x1lt;clt;x2lt;x0，猜想：2clt;x1+x2lt;x0．

先證2clt;x1+x2，即證x2gt;2c－x1，其中2c－x1gt;c，則只需證f（x2）=f（x1）gt;f（2c－x1）．

參考文獻

［1］周威.對2021年新高考Ⅰ卷導數題中函數模型的探究［J］.數學通訊，2021（15）：38-39+43.